专题十二 探索性问题的解法

1、专题十二专题十二 探索性问题的解法探索性问题的解法专题十二专题十二 探索性问题的解法探索性问题的解法试题特点试题特点 探索性问题常常需要由给定的题设条件去探索相应的结论，或由问题的题干去追溯相应的条件，要求在解题之前必须透过问题的表象去寻找、去发现规律性的东西.问题增加了许多可变的因素，思维指向不明显，解题时往往难于下手. 近年来，探索性问题在高考试题中多次出现，主要有以下几类： (1)探索条件型问题：探索条件型问题： 从给定的问题结论出发，追溯结论成立的充分条件； (2)探索结论型问题：探索结论型问题： 从给定的题设条件出发， 探求相关的结论； (3)探索存在型问题：探索存在型问题： 从假设

2、相关结论存在出发，从而肯定或否定这种结论是否存在； (4)探索综合型问题：探索综合型问题： 从变更题设条件或问题的结论的某个部分出发，探究问题的相应变化. 2007年数学试卷中继续保持了探索型、开放型、研究型等题型，形式上也有突破，如只猜不证，只算不写等；填空题中出现了条件、结论完全开放的设计，题型的创新，带来了新的理念，也必将促进教学的创新.专题十二专题十二 探索性问题的解法探索性问题的解法试题特点试题特点 专题十二专题十二 探索性问题的解法探索性问题的解法应试策略应试策略 问题的条件不完备，结论不确定是探索性问题的基本特征, 从探索性问题的解题过程来看, 没有确定的模式, 可变性多，对观察

3、、试验、联想、类比、猜想、抽象、概括，特别是对发现问题、分析问题的能力要求较高.探索性问题的常见解法有： (1)从最简单、最特殊的情况出发, 有时也可借助直觉观察或判断，推测出命题的结论，必要时给出严格证明； (2)假设结论存在，若推证无矛盾，则结论确实存在, 若推出矛盾，则结论不存在； (3)使用等价转化思想，找出命题成立的充要条件.专题十二专题十二 探索性问题的解法探索性问题的解法考题剖析考题剖析1.（2007上海市新中第一考试）（1）证明：当a1时，不等式a3+ a2+ 成立.（2）要使上述不等式a3+ a2+ 成立，能否将条件“a1” 适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也

4、请说明理由;（3）请你根据（1）、（2）的证明，试写出一个类似的更为 一般的结论，且给予证明.31a21a31a21a专题十二专题十二 探索性问题的解法探索性问题的解法考题剖析考题剖析解析解析（1）证明： a3+ a2 = (a1)(a51), a1， (a1)(a51)0， 原不等式成立31a21a31a31a（2）a1与a51同号对任何a0且a1恒成立， 上述不等式的条件可放宽为a0且a1专题十二专题十二 探索性问题的解法探索性问题的解法考题剖析考题剖析（3）根据（1）（2）的证明，可推知： 若a0且a1，mn0，则有am+ an+ 证明：左式右式 =aman+ =an(amn1) (am

5、n1) = (amn1)(am+n1) 若a1，则由mn0 am-n0,am+n0 不等式成立；若0a1，则由mn0 0amn1, 0am+n1 不等式成立ma1na1ma1na1ma1ma1专题十二专题十二 探索性问题的解法探索性问题的解法考题剖析考题剖析 点评点评这是一道类比研究探索结论的问题.阅读理解原有结论、观察规律，然后将命题增加元素、增添次数等方式进行拓展，这是从特殊到一般的研究问题的方式，也是探索型学习的一种常见方式.专题十二专题十二 探索性问题的解法探索性问题的解法考题剖析考题剖析2.（2007上海市十一所实验示范校联考）我们把数列 叫做 数列an的k方数列（其中an0，k，n

6、是正整数）, S(k，n) 表示k方数列的前n项的和.（1）比较S（1，2）S（3，2）与S（2，2）2的大小；（2）若an的1方数列、2方数列都是等差数列，a1=a，求 an的k方数列通项公式;（3）对于常数数列an=1，具有关于S（k，n）的恒等式如： S（1，n）=S（2，n），S（2，n）=S（3，n）等等，请 你对数列an的k方数列进行研究,写出一个不是常数数列 an的k方数列关于S（k，n）的恒等式, 并给出证明过程.kna专题十二专题十二 探索性问题的解法探索性问题的解法考题剖析考题剖析解析解析 （1）S（1，2）=a1+a2,S(3,2)= + ，S(2,2)= +S（1，2）

7、S（3，2）S（2，2）2=(a1+a2)(a31+a32)(a21+a22)2=a1a32+a2a312a21a22=a1a2(a1a2)2an0,S(1,2)S(3,2)S(2,2)231a32a21a22a（2）设anan-1 =d， =p 则 d(an+an1)=p d(an+1+an)=p 得 2d2=0， d=p=0 an=an1 =0 =ak2na21naknakna1kna专题十二 探索性问题的解法考题剖析专题十二 探索性问题的解法考题剖析（3）当an=n时，恒等式为S（1，n）2=S（3，n）证明：S(1,n)2=S(3,n)S(1,n1)2=S(3,n1)(n2,nN*)相

8、减得： anS(1,n)+S(1,n1)=S(1,n) + S(1,n1)= S(1,n1) + S(1,n2)=相减得：an+an1= , an0anan1=1, a1=1an=n3na21na2na21na点评点评本题主要考查等差数列、数列求和等数列基本知 识，是一道结论型的探索问题.2na3.（2007广东江门一中）函数f(x)=x3+ax2+x+2(xR) （）若f(x)在x(，+)上是增函数,求实数a的取值范围; （）a=0时，曲线f(x)=x3+x+2的切线斜率的取值范围记为集 合A，曲线f(x)=x3+x+2上不同两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)连线 斜率取值范围记为集合B

9、，你认为集合A、B之间有怎样 的关系,（真子集、相等），并证明你的结论; （）a=3时, f(x)=x3+3x2+x+2的导函数f(x)是二次函数, f(x) 的图象关于轴对称.你认为三次函数f(x)=x3+3x2+x+2的图 象是否具有某种对称性，并证明你的结论. 专题十二 探索性问题的解法考题剖析专题十二 探索性问题的解法考题剖析解析解析 （）f (x)=x3+ax2+x+2得f(x)=3x2+2ax+1若=4a2120即3a 时对于xR，有f(x)0f (x)在R上单调递增若=4a212=0，即a= 时对于xR，有f(x)0当且仅当f( )=0故f (x)在R上单调递增若0，显然不合综合

10、所述，f (x)在R上是增函数,a取值范围为a , 33333a专题十二 探索性问题的解法考题剖析（）B A证明：f (x)=x3+x+2 有f(x)=3x2+11故A=1,+)设PQ斜率k，则k= 2121)()(xxxfxf=21212313)()(xxxxxx=2122211221) 1)(xxxxxxxx= x21+x1x2+x22+1=(x1+ )2+ +122x4322xx1x2，故若x2=0，有x1+ =x1022x若x1+ =0，有x1= 0得x2022x22x(x1+ )2+ 022x4322x得k1 B=(1,+)故B A专题十二 探索性问题的解法考题剖析专题十二 探索性问

11、题的解法考题剖析（）f (x)=x3+3x2+x+2的图象具备中心对称 证法1：由f(x)=3x2+6x+1对称轴x=1 现证f (x)图象关于点C(1,3)中心对称 设M (x, y)是y=f (x)图象上任意一点,且M (x, y) 关于C(1,3)对称的点为N(x0,y0)专题十二 探索性问题的解法考题剖析则 321200yyxxyyxx6200得f(x0)= +3 +x0+2=(2x)3+3(2x)2+(2x)+2=(8+12x+6x2+x3)+3(4+4x+x2)x=(x3+3x2+x+2)+6=y+6=y0 即y0=f (x0)故M关于点C(1,3)对称的点N(x0,y0)也在函数

12、y=f(x)图象上.函数y=f (x)图象关于点C(1,3)对称.30 x20 x专题十二 探索性问题的解法考题剖析证法2：设y=f(x)图象的对称中心(m,n) 则把y=f(x)图象按向量b=(m,n)平移,得到y=g(x)图象关于原点对称,即y=g(x)是奇函数g(x)=f(x+m)n =(x+m)3+3(x+m)2+(x+m)+2n =(x3+3x2m+3xm2+m3)+3(x2+2mx+m2)+x+m+2n =x3+(3m+3)x2+(3m2+6m+1)x+m3+3m2+m+2ng(x)是奇函数的充要条件是02303323nmmmm专题十二 探索性问题的解法考题剖析得31nmy=f (

13、x)的图象关于点(1,3)中心对称 点评点评本题主要是考查导数的运用、集合的关系、函数的对称性等问题，第一问实则是探索问题成立的充分条件，第二问是结论探索、第三问是是否存在性问题.专题十二 探索性问题的解法考题剖析4.（2007山东省泰安市第一次考试）如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD， PA=AD，AB= AD，E是线段PD上的点，F是线段 AB上的点，且 =(0).（）判断EF与平面PBC的关系，并证明；（）当=1时，证明DF平面PAC；（）是否存在实数，使异面直线EF与 CD所成角为60？若存在，试求出 的值；若不存在，请说明理由.FABFEDPE2专题

14、十二 探索性问题的解法考题剖析解析解析 （）EF平面PBC. 证明如下作FGBC交CD于G，连结EG，则 =PCEG又FGBC，BCPC=C，FGGE=G.平面PBC平面EFG.又EF 平面EFGEF平面PBCGDCGFABFFABFEDPEGDCGEDPE专题十二 探索性问题的解法考题剖析（）证明：=1，则F为AB的中点又AB= AD，AF= AB在RtFAD与RtACD中tanAFD= AFD=CADACDF又PA平面ABCD，DF 平面ABCDPADF.DF平面PAC221222ADADAFADtanCAD=22ADADADCD专题十二 探索性问题的解法考题剖析（）建立如图所示空间直角坐

15、标系，设PA=AD=1，则 A（0，0，0）, B（ ，0，0）, D（0，1，0）, C（ ，1，0） P（0，0，1）又 =(0)FABFEDPEF( ,0,0)12设E(0, y0, z0)则 =(0, y0, z01), =(0,1y0,z0)又 =PEEDPE(0)即 = PEED22ED专题十二 探索性问题的解法考题剖析(0,y0,z01)=(0,1y0,z0) 11100zy即E(0, , ) =( , , )1112111EF =( , 0, 0)假设存在实数，使异面直线EF与CD所成的角为60，则CD2cos60= 2132213|12|22CDEFCDEF2=5 = 存在实

16、数= 使异面直线EF与CD所成的角为60 点评点评本题主要考查立体几何的空间想象能力、推理论证能力和探索问题解决问题的能力.第一问即改变常见提前方 式即只要证明结论成立，而改为一种探索结论的提问方式要求先判断再证明，增大了难度.第三问是是否存在型探索问题，一般是假设存在当成条件进行论证，存在要求说明 理由，不存在或者推出矛盾或者只要能举出个反例即可.55专题十二 探索性问题的解法考题剖析5.（2007湖北地区适应考试2）三角形ABC的三个内角A、 B、C的对边的长分别为a、b、c，有下列两个条件： （1）a、b、c成等差数列；（2）a、b、c成等比数列.现 给出三个结论：（1）0B ;（2）a

17、cos2 +ccos2 ;（3）1 .3232bA2CBBBsincos2sin12专题十二 探索性问题的解法考题剖析 请你选取给定的两个条件中的一个条件为条件，三个结论中的两个为结论，组建一个你认为正确的命题，并证明之.解析解析可以组建命题一：ABC中，若a、b、c成等差数列，求证：（1）0B ；（2）acos2 +ccos2 .命题二：ABC中，若a、b、c成等差数列，求证：（1）0B ；（2）1 .32C232bA3BBBsincos2sin12专题十二 探索性问题的解法考题剖析专题十二 探索性问题的解法考题剖析命题三：ABC中，若a、b、c成等差数列，求证：（1）acos2 +ccos2 ；（2）1 .2C232bABBBsincos2sin12命题四：ABC中，若a、b、c成等比数列，求证：（1）0B ；（2）1 .3BBBsincos2sin12专题十二 探索性问题的解法考题剖析下面给出命题一、二、三的证明：（1）a、b、c成等差数列 2b=a+c，b=cosB= = =2ca acbca2222accaca2)2(2222182682)( 322acacacacacca且B（0，），0B 3专题十二 探索性问题的解法考题剖析（2）acos2 +ccos2 = 2C2A2coscos22cos12cos1AcCacaAcCa