大一几何学速成

1、一一、内容小结内容小结 二、二、实例分析实例分析空间平面与直线 第二二章 空间平面空间平面一般式一般式点法式点法式截距式截距式0 DCzByAx)0(222 CBA1 czbyax三点式三点式0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx1. 1. 空间直线与平面的方程空间直线与平面的方程),(:000zyx点点0)()()(000 zzCyyBxxA),(:CBAn 法法向向量量一般式一般式对称式对称式参数式参数式 0022221111DzCyBxADzCyBxA tpzztnyytmxx000pzznyymxx000),(0000zyxM),(pnms 两点式两点式

2、.010010010zzzzyyyyxxxx面与面的关系面与面的关系0212121 CCBBAA212121CCBBAA 平面平面平面平面垂直垂直: :平行平行: :夹角公式夹角公式: :),( , 0:111111111CBAnDzCyBxA ),( , 0:222222222CBAnDzCyBxA 021 nn021 nn1212cosn nn n,1111111pzznyymxxL ：直线直线0212121 ppnnmm,2222222pzznyymxxL ：212121ppnnmm 直线直线垂直垂直: :平行平行: :夹角公式夹角公式: :),(1111pnms ),(2222pnms

3、 021 ss021 ss1212coss sssCpBnAm 平面平面:垂直：垂直：平行：平行：夹角公式：夹角公式：0 CpBnAm直线直线:),(, 0CBAnDCzByAx 000,(,)xxzzyysm n pmnp 0 ns0 nsnsns sin(1) 过直线过直线 00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束的平面束)(1111DzCyBxA 0)(2222 DzCyBxA方程方程 0,21不全为不全为 12的距离为的距离为DzCyBxA 000 d222CBA 到平面到平面 ：A x+B y+C z+D = 0),(0000zyxM d0Mn),(0000zyx

4、M到直线到直线的距离的距离pzznyymxxL111: 为为d ssMMd 10),(pnms ),(1111zyxM),(0000zyxML1L2L1M2M2121,MMLL分别过点它们之间距离为它们之间距离为两异面直线两异面直线21,ss方向向量分别为.,2121sssLL的公垂线方向向量为212121ssssMMdx 4 z =3 和和 2 x y 5 z = 1 的交线的交线解解: 所求直线的方向向量可取为所求直线的方向向量可取为利用点向式可得方程利用点向式可得方程43 x)1,3,4( 401 512 32 y15 z平行平行, 且且 过点过点 (3 , 2 , 5) 的直线方程的直

5、线方程. 21nns kji 解解:.401284, 0405:角的平面方程角的平面方程组成组成且与平面且与平面求过直线求过直线 zyxzxzyx过已知直线的平面束方程为过已知直线的平面束方程为, 0)4(5 zxzyx , 04)1(5)1( zyx即即由题设知由题设知114cosnnnn ) 8, 4, 1 ()1 ( , 5),1() 8, 4, 1 ()1 ( , 5),1( 解得解得.43 代回平面束方程得代回平面束方程得n1n4 L. 012720zyx注意到平面注意到平面04 zx与已知平面也成与已知平面也成4角.所求平面为：所求平面为：, 04 zx. 012720zyx求平行

6、于点求平行于点( 5, 11,3),(7,10, 6),(1, 3, 2)ABC 所确定的平面所确定的平面, ,且与它的距离为且与它的距离为2的平面方程的平面方程. .解解: : 点点,A B C所在平面的法向量为所在平面的法向量为nABAC (12,21, 9)(6,8, 5) ( 33,6, 30)3(11, 2,10) 设所求平面方程为设所求平面方程为112100 xyzD点点C到其距离为到其距离为2, 因此因此222|11 1( 2) ( 3)10 ( 2)|3|21511( 2)10DD 27,D 或或33D 11210270 xyz 或或11210330 xyz 解解:.3)1 ,

7、 0 , 0()0 , 0 , 3(平面方程角的面成且与和求过点xoyBA设平面方程为：设平面方程为：, 1 czbyax，和和因为平面过点因为平面过点)1 , 0 , 0()0 , 0 , 3(BA，故故1, 3 ca这样平面方程为这样平面方程为, 113 zbyx角角，面面成成又又因因为为所所求求平平面面与与3 xoy故故222222100.1)1()31() 1 , 0 , 0).(1 ,1,31(3cosbb,263 b解之得解之得故所求平面为故所求平面为3326 zyx或或222222100.1)1()31() 1 , 0 , 0).(1 ,1,31(3cosbb. 3326 zyx

8、12131 zyx垂直相交的直线方程垂直相交的直线方程.解解: 先求二直线交点先求二直线交点 P. 0)3()1(2)2(3 zyx化已知直线方程为参数方程化已知直线方程为参数方程, 代入代入 式式, 可得交点可得交点),(7371372 P最后利用两点式得所求直线方程最后利用两点式得所求直线方程431122 zyx的平面的法向量为的平面的法向量为故其方程为故其方程为),(312),(011),(123过已知点且垂直于已知直线过已知点且垂直于已知直线, )1,2,3( P 0101zyxzyx在平面在平面上的投影直线方程上的投影直线方程.解：解：过已知直线的平面束方程过已知直线的平面束方程从中

9、从中选择选择01)1(1)1(1)1( 得得 001zyxzy这是投影平面这是投影平面0)1()1()1()1( zyx0)1(1 zyxzyx 即即0 zyx使其与已知平面垂直：使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程从而得投影直线方程,1 思路思路: 先求交点先求交点)1 ,1 ,1(0M,12:1 xzxyL且与两直线且与两直线 1243:2xzxyL都相交的直线都相交的直线 L.21,LL解：将的方程化为参数方程的方程化为参数方程 1243:,12:21tztytxLtztytxLL1L2L0M1M2M设设 L 与它们的交点分别为与它们的交点分别为. )12,43,(2222 tttM

10、再写直线方程再写直线方程.;,21MM),1,2,(1111 tttM2,021tt)3,2,2(, ) 1,0,0(21MM211111:zyxL210,MMM1) 12(1) 1(1)43(1211212121tttttt2010/MMMML1L2L0M1M2M),1,2,(1111 tttM. )12,43,(2222 tttM)1 ,1 ,1(0M三点共线；三点共线；例. 求两直线 之间的距离和它们的公垂线L的方程。1114:121xyzl) 1, 0 , 1 (8)8, 0 , 8() 1 , 6, 1 () 1 , 2 , 1 (2121SSSS，解：25212121SSSSMMd

11、267:161xyzl在直线 L1 与L2上分别取点M1(0,11,4)和点M2(6,-7,0),作M1M2=(6,-18,-4)，则所求距离为S1,S, M1M=0 及 S2,S, M2M=0设点M(x,y,z)为公垂线上一点，则整理得x -y + z + 7 = 03x + y + 3z -11 = 0解：解：(2)设角平分面上有点设角平分面上有点M(x,y,z), d1 =d212( , , ),(0,1,1),(1,0,1)OMx y z vv 1212|OMvOMvvv 0 x20 xyyz解得或L1， L2张成平面张成平面:12(,)0,x0OP v vyz 即所求平分线为所求平分

12、线为:0 x20,x0 x0 xyyzyzyz 设两条直线设两条直线12:,:011101xyzxyzLL（1）证明）证明L1 和和L2 相交；相交；（2）求）求L1 和和L2 的角平分线的方程。的角平分线的方程。 求过点P(1,2,1)且与直线zyx2相交的直线 l 的方程.解解：因l l1, 故有3m+2n+p=0 l1:11231zyxpznymxl121 方程为设直线S=(m,n,p) l2过点A(0,0,0),方向向量为S2=(2,1,-1) l与l2相交，故有 S,S2, AP=0，即m-n+p=0 联立 得npnm25,23512231zyx所求直线方程为垂直，与直线 l2: 6

13、5224BzyDx 在直线方程 中，如何选取B 的值才能使直线平行于xoy平面？D 取何值才能使直线平行于yoz平面？B 和D 取何值才能使直线同时平行于平面3x-2y+2z=0和x+2y-3z=0？解：当B=-6时，直线平行于xoy平面； 当D=2时，直线平行于yoz平面；要使直线同时平行已知两平面，B、D 应满足：3(2-D)-4+2(B+6)=01(2-D)+4-3(B+6)=01118,1150DB即，.23142: 53142:) 3 , 4, 1(21都垂直的直线方程和并与两直线求过点tztytxLyxzyxL)0 , 3 , 1()1 , 4, 2(:11 sL解解:),10,

14、1 , 3( ),2 , 1, 4(:22 sL21:sss 取所求直线的方向向量取所求直线的方向向量),1,46,12( :所求直线方程为.13464121 zyx求在平面求在平面1xyz上上, ,且与直线且与直线11yz 垂直垂直相交的直线方程相交的直线方程. .解：解：所求直线的方向向量所求直线的方向向量(1,1,1),n 垂直于已知平面的法向量垂直于已知平面的法向量s 且垂直于已知直线方向向量且垂直于已知直线方向向量1(1,0,0),s 因此因此1(1,1,1)(1,0,0)sns (0, 1,1) 所求直线过已知平面与已知直线的交点所求直线过已知平面与已知直线的交点0(,1, 1)M x 代入已知平面方程得代入已知平面方程得01,x 所以所求直线方程为所以所求直线方程为111011xyz 求过点求过点( 1,0,4),M 平行于平面平行于平面3410 x