数与概率统计 相关知识

1、椒江区教师进修学校 潘华文 数数数的整除性数的整除性同同 余余勾股数勾股数 概率统计概率统计随机事随机事 件件等可能概等可能概 型型计数计数排列组合排列组合一、数一、数 数的整除性数的整除性 同同余余 勾股数勾股数整除整除友数友数完数完数 计数计数排列组合排列组合 学生在学习2、 3、 5的数的整除特征时，省编义务教材的呈现方式是：从2与5的倍数中观察它的特征。现代小学数学的呈现方式是：能被2整除的数的特征的用分类的方法，能被5整除的数的特征从整除的定义得出。能被3整除的数的特征，教材都是从能被3整除的数的特征中去寻找。学习上的难点学习上的难点：学习能被2、5整除的数的特征时， 是看个位，而学

2、习能被3整除的数 的特征时，要看各数位的数之和， 学生没有已有的知识经验来支持 此内容的学习。 能被2、5整除的数的特征的研究方法与能被3整除的数 的特征，有无本质联系？如果有，它的本质联系是什么？思考 能被2、5整除的数的特征与能被3整除的数 的特征的研究方法是相通的拆数观察；特征的本质也是相通的拆成的两个数中，其中的一个数能被2，3，5整除，这个数能被2，3，5整除的充要条件是另一个数也能被2，3，5，整除。思考设想：设想：从能被2、5整除的数的特征明白为什么能 被2、5整除的数的特征只要看个位就行了。如：4567=4560+7=456 10+7 判断能被2、5整除的数的特征只要看这个 数

3、的个位，判断一个数是否能被3整除，是 否也只看个位呢？ 如：12，22，123，125，怎么说明是否能被3整除。 （充分发挥学生的潜力） 张流老师对能被7、11、13、17、19、23、29等数整除的研究成果： 要判断一个数能否被要判断一个数能否被7整除，看末两数，去百加整除，看末两数，去百加2后的后的 两位数，若能被两位数，若能被7整除，则原数能被整除，则原数能被7整除。整除。如：623能被7整除吗？ 6236 2+23=35因为7能整除35，故623能被7整除。623=6 100+23 =6 （98+2）+23 =6 98+（6 2+23）请判断1701，1357是否能被7整除。 请创造能

4、被11，13或17整除数的特征，并判断187，754，441能哪些数整除。 （一）、寻找被藏匿的数字游戏（一）、寻找被藏匿的数字游戏 请你随意写下一个四位数，然后求出这个四位数的各数位数码之和b，再随意地将原数中的一个数码隐藏起来，变成一个三位数a，然后再请你计算a-b=c，并告之我的各数位数码之和，我便能说出你藏匿的数码是什么？ 如：567826b 678 a a b =678 26 =65213 c （二）、原（二）、原 理：理：任一正整数与其各数位数字之和的差必是9的倍数。如:正整数563478 563478-（5+6+3+4+7+8） =（510-5）+（610-6）+（310-3）+

5、（410-4）+（710-7）+（8-8） =599999+69999+3999+499+79 =（511111+61111+3111+411+71）9 有人问毕达哥拉斯，“朋友是什么？”他回答说，“这是第二个我，正如220与284。友数你中有我，我中有你。220 的约数（除220外） 1 ,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110284284的约数（除284外） 1，2，4，71，142220完数6的约数（除6外） 1 ,2,3628的约数（除28外） 1，2，4，7，1428一、数一、数 数的整除性数的整除性 同同 余余 勾股数勾股数 计数计数排列组合排列组合（三）、（三）、

6、“同余同余”的概的概 念念“同余”的概念与符号是由“数字王子”高斯最先引进的。定义定义：给定一个正整数m，若用m除a、b所得的 余数相同，则说a与b对模m同余， 记作 a b(mod m) 在“同余”中，我们只关心它们的余数是几，而不是他们的商如何，这在实际中经常用到。如：2007年的元旦是星期几？我们关心的便是它的余数是几；一个循环小数2.374857485，它的第2006位上的数是几这样的内容在我们的教材中是很多的。（四）、（四）、游戏游戏 俩人从1说到25，谁说到25，谁就赢。它的规则是每人每次只准说1，2，或3个数。试问：试问：1、该如何才能取胜？、该如何才能取胜？ 2、有没有先说与后

7、说之区别？、有没有先说与后说之区别？思考人教版四(上)第116页数字游戏： 两人轮流报表，每次只能报1或2，把两人报的所有数加起来，谁报数后和是10，谁就获胜。想一想：如果让你先报数，为了确保 获胜，你第一次应该报几？ 接下来应该怎么报？ 请设计一个同余同余的游戏思考 我们都知道整数集按能否被2整除可以分为奇数、偶数两大类，记为2k, 2k+1。 当取模为3时，整个整数集合便分为3类，它们分别为： 3k, 3k+1, 3k+2。 我们利用同余可以很方便地给整数集合分类：当取模为m时，整个整数集合便分为m类，它们分别为： mk, mk+1, mk+2, mk+(m-1)一一 、数、数 数的整除性

8、数的整除性 同余同余 勾股勾股 数数 计数计数排列组合排列组合勾股数: 能使等式 a2 + b2 = c2 成立的任何三个正整数，组成勾股数。 3，4，5。 4，3，5 5，12，13。 6，8，10 7，24，25。 8，15，17 : : : : : :一般来说：大于1的奇数m，可以构成一组勾股数 m， 1/2 (m2-1), 1/2(m2+1) 大于2的偶数可以构成一组勾股数 n, (n/2)2-1, (n/2)2+1（五）、（五）、“如果我们宇宙飞船到了一个星球上，如果我们宇宙飞船到了一个星球上，那么也有如我们人类一样高级的生物存在。我们那么也有如我们人类一样高级的生物存在。我们用什么

9、东西作为我们之间的媒介？带幅画去吧，用什么东西作为我们之间的媒介？带幅画去吧，那边风景殊不了解。带一段录音去吧，也不能沟那边风景殊不了解。带一段录音去吧，也不能沟通。我看最好带两个图形去，一个通。我看最好带两个图形去，一个数数，一个，一个数数形关系（勾股定理）形关系（勾股定理）。” 华罗庚华罗庚数学的用场和发展数学的用场和发展也有人主张用也有人主张用“光线信号光线信号”表示出勾股数，来与其表示出勾股数，来与其他他星球上的人星球上的人“谈话谈话”。比方说，当我们遇到其他星。比方说，当我们遇到其他星球球上的上的“人人”时，就用灯光打亮三次，如果对方打亮时，就用灯光打亮三次，如果对方打亮四四次，那我

10、们就打亮五次回答次，那我们就打亮五次回答 。虽然这种谈话方。虽然这种谈话方式还没有经过实践，但却被一些科学幻想小说的作式还没有经过实践，但却被一些科学幻想小说的作者利用了。因为勾股定理与勾股数它有着不可磨灭者利用了。因为勾股定理与勾股数它有着不可磨灭的共同本质，它们所表现的数学内容，不论古今中的共同本质，它们所表现的数学内容，不论古今中外，都几乎不谋而合，是其它数学定理所没有的，外，都几乎不谋而合，是其它数学定理所没有的，于是人们猜想其它星球上的于是人们猜想其它星球上的“人人”也可能有这种不也可能有这种不谋谋而合，所以就这样勾股定理或勾股数作为与外星人而合，所以就这样勾股定理或勾股数作为与外星

11、人进行第一次对话的语言。进行第一次对话的语言。 人教人教 义务教育五上第义务教育五上第122页页 一个直角三角形的三条边长分别是一个直角三角形的三条边长分别是3，4，5 厘米，以这三条边分别为连长画三厘米，以这三条边分别为连长画三个正方形，这三个正方形的面积各是多少？个正方形，这三个正方形的面积各是多少？ 你能发现这三个正方形的面积之间你能发现这三个正方形的面积之间有什么关系吗？有什么关系吗？ 如果直角三角形的三条连长分别是如果直角三角形的三条连长分别是6，8，10厘米或厘米或5，12，13厘米呢？厘米呢？ 一、数一、数 数的整除性数的整除性 同同余余 勾股数勾股数 计数计数排列组合排列组合1

12、、分类计数原理、分类计数原理加法加法 原理原理2、分步计数原理、分步计数原理乘法原乘法原 理理例例1、从甲地到乙地，可以乘汽车，还可以乘轮船。 一天中，从甲地到乙地有4班火车，7班汽车， 2班轮船，一天中乘这些交通工具从甲地到 乙地，共有多少种不同走法？ 4+7+2=13(种)例例2、书架上有5本故事书，6本画报，7本科普 读物，小明从书架中选一本，有多少种 不同取法？ 5+6+7+18(种)如果如果做完一件事情，有n种不同的方式，第一种方式中有m1种不同方法可达到目的。在第二种方式中有 m2 种方法可达目的，在第n种办法中有mn种不同的方法可达到这一目的，共有 N=m1+m2+ +mn称为称

13、为分类计数原理分类计数原理例例3、从甲地到乙地有4条不同的道路，从乙 地到丙地有7条不同的道路，那么从甲 地到丙地共有多少种不同的走法？甲甲乙乙丙丙47=28(种)例例4、书架上有5本故事书，6本画报，小明 从书架中选一本故事书和一本画报， 有多少种不同取法？56=30(种种)如果如果完成一件事情要n个步骤，做第一步有m1种不同方法，做第二步有m2种不同方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1m2 mn种不同方法种不同方法称为称为分步计数原理分步计数原理：分类计数原理针对的是“分类分类”问题，其方法相互独立，用任何一种方法都能达到目的；分步计数原理针对的是“分步分步”问题

14、，各步骤的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事。例例5、波音747客机飞行于北京、上海、广州三 城市之间，民航站的售票员要为这架飞机 准备几种飞机票？这三个民航站间有几种 不同的票价？A23=32=6(种)C23= A23 /A22=32/21=3(种)排列：排列： 从3（n）个不同的地点（元素）中任取2（m）个，按照一定的顺序排成一列。就叫做3（n）个不同地点（元素）中取2(m)个地点(元素)的一个排列。所有排列的个数叫做“排列数”。 记作 ： A 23 。 （ Anm） 说明：排列中如元素相同，顺序不同，说明：排列中如元素相同，顺序不同，则为两个不同的排列。则为两个不同的排列。如

15、：上海如：上海广州，广州广州，广州上海，就上海，就是两个不同的排列。是两个不同的排列。组合：组合： 从3（n）个不同的地点（元素）中任取2（m）个，组成一组，就叫做从3（n）个不同地点（元素）中取出2（m）个元素的一个组合，所有组合的个数叫做“组合数”。 说明：组合数与元素的顺序无关。组合说明：组合数与元素的顺序无关。组合数是从排列数中去掉元素相同而顺序不数是从排列数中去掉元素相同而顺序不同的排列数。同的排列数。如：上海如：上海广州，广州广州，广州上海，它上海，它们的票价的相同的，就是一个组合数。们的票价的相同的，就是一个组合数。 记作 ： C 23 （Cnm）例例5、用1、2、3、4、5这五

16、个数字可以组成 多少个没有重复的两位数？ 5 4=20（种）（种）12A25=5 4=20（种）（种）例例1、（1）由1、2、9可以组成几个三位数？ （2）从1、2、9九个自然数码中选 三个，可以组成几个三位数？没有限制可重复没有限制可重复: n= 999A93 = 987A91 A91 A91 = 999不允许重复不允许重复: n= 987人教版义务教育二年级上册人教版义务教育二年级上册9999页页例例1、用1、2能摆成几个两位数？用1、2、 3呢？每两个人握一次手，三人共握几次每两个人握一次手，三人共握几次 手？手？思考一个篮球队参加某次比赛的五个队员中，一个篮球队参加某次比赛的五个队员中

17、，其中一个由于特殊原因不能做中锋，其其中一个由于特殊原因不能做中锋，其余余4个可以分配到个可以分配到5个位置中的个位置中的任何一个，那么共有几种布局方法？任何一个，那么共有几种布局方法？思考同学们春游，同学们春游，1010人一组，他们约好，人一组，他们约好，每每3 3个人都要合影一张，问需要准备个人都要合影一张，问需要准备多少胶卷多少胶卷。C103=A103/A33=1098/321=120（张）（张）120364（卷）（卷）思考5+4+3+2+1=15（条）数一数有几条线段C62=A72/A22=65/21=15（条）（条）数一数有几个长方形？数一数有几个长方形？C62C72=A62A72/

18、A22A22=657 6 /22（5+4+3+2+1）（6+5+4+3+2+1）二、概率统计二、概率统计随机事件随机事件等等可能可能概型概型不确定事件不确定事件（知道它知道它有什么结果，但又不能确定是什么结果有什么结果，但又不能确定是什么结果）投掷总次投掷总次数（数（n） 10 100 1000 40401200024000“出正面出正面”次数次数 （m） 4 61 522 2048 6019 12012频率频率（m/n） 0.4 0.61 0.522 0.5069 0.5016 0.5005掷硬币实验；掷硬币实验； 种子数种子数 10 130 700 1500 3000 发芽数发芽数 8 1

19、16 639 1364 2715 频率频率 0.8 0.892 0.913 0.909 0.905种子发芽实验：种子发芽实验：频率频率： 一般地，在一般地，在n 次试验中，次试验中，我们关心的某个结果出现我们关心的某个结果出现 m次，次，我们就说出现这个结果的频率我们就说出现这个结果的频率是是m/n 。概率的统计概率的统计定义定义： 在大量重复地进行同一试验时，如果事件发生 的频率m/n总是接近于某个常数，并在它的附近 摆动，则此常数为事件A发生的概率， 记为记为P(A)。 概率的这个定义说明,任一事件的概率是客观存在的,是不以人的意志为转移的事实.另外,我们是从大量重复试验这个角度来理解事件

20、的概率的.事实上,一粒种子试验下来,不是发芽 ,就是不发芽,而不会有90%发 ,10%不发芽.对一粒种子的发芽可能性的认识是通过对一批种子进行考察才得出的.次数次数 1 2 3 4 5 6 7 8颜色颜色 白白 白白 白白 白白 白白 白白 白白 黄黄一个黄球一个白球的实验：一个黄球一个白球的实验：次次数数12345678910111213141516颜颜色色黄黄黄黄黄黄白白白白黄黄黄黄黄黄 白白 白白黄黄黄黄黄黄白白白白白白3个黄球个黄球3个白球的实验：个白球的实验：1、你在设计该课时，希望达到什么目的或结果？ 3、为什么学生会惊讶，教师会困惑？4、该如何认识处理？思考 2、出现这种情况正常

21、吗？你对摸白球与黄球的可 能性相等，都是1/2是怎样理解的？教学中的矛盾 几次试验结果的不确定性和大量重复试验时呈现的统计规律性 需要着重注意把握教学中的矛盾 教师和学生的心理期待与实验的随机性。 感悟: 连续7次摸到白球与多次的3黄2白给教学内容生成了富有价值的学习材料，比一次摸白球一次摸黄球更有利用学生感悟随机现象的本质。组织讨论思考，感悟随机现象的本质。1、每次摸球前是无法确定的随机事件2、心理期待和实验结果是没有任何联系的。3、只有足够的实验，才能显示它的统计规律性。 我们做的只是十几次，二十几次的实验，所 以它的频率与概率会有较大的偏差。4、只要盒子里有其它颜色的球，肯定会摸到。二、

22、概率统计二、概率统计随机事件随机事件等等可能可能概型概型“古典概型古典概型”又称又称“等可能概型等可能概型”，它有两个特征，它有两个特征：1、所有可能结果只有有限个。 2、每个基本事件发生的可能性是相等的。满足以上两个条件的概率模型，有一个固定的公式： P(A)=m/n (n为基本事件总数，为基本事件总数，m为为A包含的基本事件。包含的基本事件。 ）例例1、袋中有大小、重量都相同的红、白、黄 球各一个，任意从袋中摸出一只记下颜 色后放回去，然后再摸一只，求下列事 件发生的概率：A、两次都摸出红球、两次都摸出红球B、两次摸出的球颜色相同、两次摸出的球颜色相同 P（B）=1/9+1/9+1/9=1/3 P（A）=1/31/3=1/9A、两次都摸出红球、两次都摸出红球B、两次都摸出白球、两次都摸出白球例例2、袋中有大小、重量都相同的红球2只，白 球1只，任意从袋中摸出一只记下颜色后 放回去，然后再摸一只