三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质5

1、三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识点总结1 .。是aabc的重心uOA+OB+OC=0；i若o是abc的重心，则:10c=+=产OB=3sMbC故oa+oB+oc=0；PG=1-(PA'+PB'+PC')uG为AABC的重心.32 .O是ABC的垂心uOAOb=ObOc=OcOa;若O是AABC(非直角三角形)的垂心，则S邨oc：s&oc：s&ob=tanA：tanB：tanC故tanAOAtanBOBtanCOC-02223,。是AABC的外心u|OA|=|OB|=|OC|(或OA=OB=OC)若。是AABC的外心则S&oc：S&

2、oc：S&ob=sinBOC：sin/AOC：sinAOB=sin2A:sin2B:sin2c故sin2AOAsin2BOBsin2COC=0ABAC"BABC'CACBOr、*AocR/1)，7TTVO日OA(5一)OB'(r-r)OC'(=-5)04. O是内心AABC的充要条件是|AB|AC|BA|BC|CA|CB|引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB,BC,CA的单位向量为e1，e2，e3,则刚才。是ABC内心的充要条件可以写成OA'(e1*引=OB(ei+e2)=OC(e2+e3)=0,O是ABC内心的充要条件也可以是aOA+b

3、OB+cOC=0。若。是AABC的内心，则S偏OC：S总OC:S小OB=a：b：c故aOAbOBcOC二麒sinAOAsinBOBsinCOC=0；|AB|PC+|BC|PA+|CA|PB=0=P是AABC的内心;向量M7+3CH（九#0）所在直线过AABC的内心（是/BAC的角平|AB|AC|分线所在直线）；（一）将平面向量与三角形内心结合考查例1.O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足一一ABACOP=OA+'（-+），九三b,"）则P点的轨迹一定通过AABCI（）ABAC（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为空是向量AB的单位向量设

4、AB与TC方向上的单位向量分别为ei和e2,又网一OP-OA=AP,则原式可化为AP=Me+e2）,由菱形的基本性质知AP平分/BAC,那么在MBC中，AP平分/BAC,则知选B.（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2.H是4ABC所在平面内任一点，hahb=HBHe=HCHA仁点H是AABC的垂心.由HAHB=HBHC=HB（HC-HA）=0=hBAC=0=HB_AC,同理HC_lAB,HA_lBC.故H是ABC的垂心.（反之亦然（证略）例3.（湖南）P是ABC所在平面上一点，若PA,PB=PB,PC=PC,PA,则P是ABC的（D）A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:由pA

5、pB=pBpd得pApBpBpc=o.即而（PA-PC）=o,即而CA=o则PB_LCA,同理PA_LBC,PC_LAB所以P为AABC的垂心.故选D.（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4.G是4ABC所在平面内一点，gA+gB+gC=Ou点G是4ABC的重心.证明作图如右,图中GB+GC=GE连结BE和CE,WJCE=GB,BE=GCuBGCE为平行四边形=D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将GB+GC=GE代入GA4GB+GC=0,得GA+EG=0=GA=-GE=-2GD,故G是AABC的重心.（反之亦然（证略）例5.P是4ABC所在平面内任一点.G是4ABC的重心up

6、G=1（pA+PB+PC）.3证明PG=PAAG=PBBG=PCCG=3PG=（AGBGCG）（PAPBPC）:G是ABC的重心GA+GB+GC=0=AG+BG-+CG=0,即3PG=PA+PB+PC由此可得PG=1（PA+PB+PC）.（反之亦然（证略）3例6若O为AABC内一点，OA+OB+OC=0,则O是&ABC的（A.内心B.外心C.垂心D.重心-10 -解析：由OA+OB+OC =0得OB+OC=_OA,如图以 ob oc为相邻两边构作平行四边形，则Ob Oc =Od ,由平行四边形性质知 OE =-1OD , OA =2OE ,同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D

7、o（四）将平面向量与三角形外心结合考查，例 7 若。为 AABC 内一点，OApOBjOC,则O是&ABC的（A.内心B.外心 C.垂心D.重心解析：由向量模的定义知 O到AABC的三顶点距离相等。故O是AABC的外心，选B。 （五）将平面向量与三角形四心结合考查例 8.已知向量 op； , op； , op；满足条件 op； + op；+op3 =0, |op； |=|op2 |=|OP3 |二i,求证证明 PiP2P3是正三角形.（数学第一册（下）,复习参考题五B组第6题）1由已知OPi +OP2 =-op；,两边平万得OPi - OP2 =-,2同理- - iOP2 - OP3

8、=OP3 - OPi =-, |晶| = |获| = |PE |=V3 ,从而 PlP2P3是正三角形.反之，若点。是正三角形 PiP2P3的中心，则显然有OPi +OP2+OP3 =0且|OPl | = |OP2 | 二 |OP3 |.即。是4ABC所在平面内一点，OPi +OP2 +OP3 =0 且 |OPi | = |OP2 | = |OP3 |U 点 O 是正 PiP2P3 的中心.例9.在ABC,已知Q G H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证： Q G H三点共线，且 QG:GH=i:2【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系C（x2,y 2） , D

9、 E、F分别为AB BG AC的中点，则有：D （%,0）、Elx1,9）、F（x,无）由题设可设 Q（土 2222 22设 A(0,0)、Bxi,0)、xi "2G;x2 xi- AH =(x2,y4)QF =(YiBC = -XL)；AH _BCAH *BC =x2(x2 -x1) y2y4 = 0x；(x； -xi)y；:QF - ACoy2、"2" y3)QF .AC =x2(x2 xi)72(£73) =0x2(x2-xi)y3二ZT（7Xi、，、，、/X2-X1QH-（x22'4-y3）:2=（x 2 X13xi y 22x 2 -X

10、 1,7 -y 3） =（-2 36y 2 X2J2 -xi %3 一2y2一 22x2-Xi3X2（X2-Xi）12X2-Xi3X2（X2-Xi）一6,一6y""6"）=3（2,一2yl一万）=-QH3即 QH =3QG ,故 QG H三点共线，且QG GH=i： 2例i0.若O、H分别是ABC的外心和垂心.求证OH=OAOBOC.证明若zXABC的垂心为H,外心为O,如图.连BO并延长交外接圆于D,连结AD,CD.1 .AD_LAB,CD_LBC.又垂心为H,AH_LBC,CH1AB,2 .AH/CD,CH/AD,一四边形AHCD为平行四边形，AH=DC=DO

11、-+OC,故OH=OA+AH=OA+OB+OC.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”一一外心、重心、垂心的位置关系：(i)三角形的外心、重心、垂心三点共线一一“欧拉线”；(2)三角形的重心在“欧拉线”上，且为外一一垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例ii.设O、G、H分别是锐角ABC的外心、重心、垂心.求证OG=-OH3证明按重心定理G是ABC的重心=og=：(OA+OB+OC)按垂心定理OH=OA+OB猊由此可得oGOH.3补充练习i.已知A、B、C是平面上不共线的三点，。是三角形ABC的重心，

12、动点P满足OP=1（OA+IOB+ZOC）,则点P一定为三角形ABC的（B）A.AB边中线的中点C.重心i. B取AB边的中点3OP =3OM 2MC点P不过重心，故选M,则， MPB.322B.AB边中线的三等分点(非重心)D.AB边的中点iiiOA+OB=2OM，由OP=-(-OA+OB+2OC)可得322=ZMC,即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且32.在同一个平面上有 MBC及一点O满足关系式：AB1，则O为AABC的（ D ）A 外心 B 内心 C重心 D 垂心2.已知 ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点大+；?=0?+去=0?+P 满足：PA+PB+PC=0 ,

13、WJ P 为AABC 的（C）A外心B内心C重心D垂心3 .已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP=OA+MAB+AC）,则P的轨迹一定通过ABC的（C）A外心B内心C重心D垂心4 .已知ABC,P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：PAPC+PA,PB+PB，PC=0,则P点为三角形的（D）A外心B内心C重心D垂心TT5 .已知AABC,P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：a，PA+b，PB+c,PC=0,则P点为三角形的（B）A外心B内心C重心D垂心-226 .在三角形ABC中，动点P满足：CA=CB-2AB,CP,则P点轨迹一定通过ABC的：（B

14、）A外心B内心C重心D垂心7 .已知非零向量AB与AC满足（"+空）BC=0且”-空=2,则4ABC为（）|AB|AC|AB|AC|2A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形TT解析：非零向量与满足（_A$+4k）=0,即角A的平分线垂直于BC,.AB=AC,又|AB|AC|cosA 二|AB| |AC |/ A=1,所以 ABC为等边三角形，选D.8 .AABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,OH=m（OA+OB+OC）,则实数m=J9 .点O是MBC所在平面内的一点，满足OAOB=OBOC=OCOA,则点O是MBC的（B）（A）三个内角

15、的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点10 .如图1,已知点G是&ABC的重心，过G乍直线与AB,AC两边分别交于MN两点，且太M=xAB,An=yAC,证点G是AABC的重心，知GA+GB十GC=O,得费+（相AG）+（AC对）=0,有星=1（晶+肥）。又M,N,G三点共线（A不在直线MN3上），于是存在九,N,使得AG=九AM+NAN（且九+N=1）,有AG=%xAB+RyAC=1（AB+能）,3-1-1一ii得1,于是得1+=3。x=Jy=-xy3例讲三角形中与向量有关的问题教学目标：1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角

16、形形状判断方法2 、向量的加法、数量积等性质3 、利用向量处理三角形中与向量有关的问题4 、数形结合教学重点：灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题教学难点：针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题教学过程：1、课前练习-2221.1 已知。是ABC内的一点，若OA=OB=OC，则。是ABC勺A、重心B、垂心C、外心D、内心1.2 在ABC+,有命题ABAC=BC；AB+BC+CA=0；若（Ab+Ac>*（Ab-AC）=0,则ABCJ等腰三角形；若ABAC>0,则ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是A、B、C、D、2、知识回顾2.1 三角形的重心、内心、垂心、外心

17、及简单的三角形形状判断方法2.2 向量的有关性质2.3 上述两者间的关联3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题例1、已知ABCt,有iAB+iACi能=0和罂,罟=1,试判断4人3。1勺形状JAB|A+网1AC2练习1、已知ABC,AB=a,BC=b,B是ABCt的最大角，若a，b<0,试判断ABC的形状。4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题例2、已知。是ABC所在平面内的一点，满足|oabc2=|ob|ac2=|oc2|ab|2,则。是ABC勺D 、内心A、重心B、垂心C、外心AB AC5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题例3、已知P是ABCff在平面内的一

18、动点，且点P满足OP=OA+九：一r，儿则动点P一定过ABC的A重心B 、垂心C 、外心D 、内心练习2、已知O为平面内一点,A、B、C平面上不共线的点，动点P满足一 一 /一 1 OP =OA +九 AB +-BC 2九 w (0,+=c 1则动点P的轨迹一定通过 ABC勺A、重心例 4 、B 、垂心已知。是C ABC、外心所在平、内心的一点动点 P满OP =OAAC则动点P一定过ABC勺A、重心AB cosBAC cosC练习 3、已知、垂心O是CABC、外心所在平面内的、内心一点，动点 P满op=OBC .2A、重心例5、已知点ABAC九w(0,),则动点P一定过 ABC的AB cosB

19、B 、垂心G是的重心AC cosC、外心D 、内心作直线与AB、AC分别相交于M、N两点A、重心B、垂心C、外心D、内心5、平面上的三个向量OA、OB、OC满足OA+OB+OC=0,|冈=|丽|=0=1,求证：ABCJ正三角形。6、在ABCt,O为中线AM上的一个动点，若AMh2,求OA（OB+OC）三角形四心与向量的典型问题分析向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小。在高中数学“平面向量”（必修4第二章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何

20、问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系。下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质。既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感重心”的向量风采【命题11 G是4ABC所在平面上的一点,若GA+GB+GC=0,则G是ABC的重心.如图.图图【命题2】 已知。是平面上一定点,A B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+"AB+AC）,LW（0,+吟，则P的轨迹一

21、定通过ABC的重心.【解析】由题意刀=耳后十大），当九10,+到时，由于入温+品）表示BC边上的中线所在直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过ABC的重心，如图.垂心”的向量风采【命题3】【解析】 由PMAABC所在平面上一点，若PAPB=PBPC=PCPA,则P是ABC的垂心.PAPB=PBPC,得PB(PA-PC)=0,即7BCA=0,所以TBCA.同理可证pc ± Ab , PABC . a P是AABC的垂心.如图.Air尸图CEHBFO 图【命题4】已知O是平面上一定点，A B, C是平面上不共线的三个点，动点OP = OA【解析】ABAB I cos BAC| aC cos

22、 C由题意AP = 艮 BCACAB cos BABJABlAC cosC，儿w（0, 十 妙），+ cosBACAC cosC则动点P的轨迹一定通过 ABC的垂心.ABAB cos B+ ACAC cosC也 =|BC|CB|=0J以AP表示垂直于BC的向量，即P点在过点A且垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过4ABC的垂心，如图.内心”的向量风采【命题5】已知I为zABC所在平面上的一点，且AB=c,AC=b,BC=a.若aIA+bIB cIO,则 I 是4ABC 的内心.图【解析】.IB与斌,ic =iA + ac ,则由题意得（a+b+c）IA + bAB+cAC =0 ,V bAB cACt bc AI 二a b cAB AC ab +Iac .与空 分别为AB和"AC方向上的单位向量,AC.K与/BAC平分线共线，即AI平分/BAC.同理可证：BI平分/ABC,CI平分/ACB.从而I是4ABC的内心，如图.【命题6】已知。是平面上一定点，AB,C是平面上不共线的三个点，动点P满足【解