线性方程组的数值解法与非线性方程求解

1、淮 海 工 学 院实 验 报 告 书课程名称： 数学实验 实验名称： 线性方程组的数值解法与非线性方程求解 班 级 数学091 姓 名： 耿萍 学号： 日 期： 2012.4.27 地点 数学实验室 指导教师： 曹卫平 成绩： 数 理 科 学 系1. 实验目的：（1） 掌握线性方程组的常用数值解法，包括高斯消去法、LU分解法以及校正法。 （2） 体验数值计算的时间复杂度和计算规模的关系。（3） 加深对数值计算误差的理解。（4） 学习使用迭代法等算法，求解非线性方程。（5） 学习如何使用MATLAB解非线性方程组和方程组。2. 实验内容：、（1）输电网络：一种大型输电网络可简化为图所示电路，其中

2、R1,R2,Rn表示负载电阻，r1，r2,rn表示线路内阻，I1,I2,In表示负载上的电流，设电源电压为V。1)列出求各负载电流I1,I2,In的方程；2）设R1=R2=Rn=R，r1=r2=rn=r,在r=1，R=6,V=18，n=10的情况求I1,I2,In及总电流I0。 （2）种群的繁殖与稳定收获：种群的数量因素因繁殖而增加，因自然死亡而减少，对于人工饲养的种群（比如家畜）而言，为了保证稳定的收获，各个年龄的种群数量应维持不变。种群因雌性个体的繁殖而改变，为方便起见一下种群数量均指其中的雌性。种群年龄记作bk（每个雌性个体一年繁殖的数量），自然存活率记作sk（=1-dk，dk为一年的死

3、亡率），收获量记作hk，则来年龄k的种群数量k应为1=cigmabkk，k+1=skk-hk（k=1,2,3，n-1）。要求各个年龄的种群数量每年维持不变就是要使k=k（k=1,2,n）.1)若bk，sk已知，给定收获量hk，建立求各个年龄的稳定种群数量k的模型（用矩阵、向量表示）2）设n=5，b1=b2=b5=0，b3=5，b4=3，s1=s4=0.4，s2=s3=0.6，如要求h1h5为500,400,200,100，100，求15.3）要使h1h5均为500，如何达到？ （3） 1）小张夫妇以按揭的方式贷款买了1套价值为20万的房子，首付了5万元。每月还款1000元，15年还清。问贷款利

4、率是多少？2）某人欲贷款50万元购房，他咨询了两家银行，第一家银行开出的条件是每月还4500元，15年还清；第二家银行开出的条件是每年45000元，20年还清。从利率方面看，哪家银行较优惠（简单地假设年利率=月利率12） （4）用迭代公式yk+1=byk(1-yk)计算序列yk（k=0,1,2，），其中b取1.3,2.8,3.2,3.5,3.55,3.7，任意取y0（0<y0,1）,观察其收敛性。3. 实验步骤： （1）1)记r1rn上的电流为iin。 设电源负极为电势为0，电阻R1上对应节点电压为V1，对于任意节点，根据KCL定律列出方程：而，可得： k=2，3，n-1；k=1时， ，

5、为与上式形式一致，化为 k=m时 ，k=n时， 设以上方程组的矩阵形式为：则  k=n时 ，设以上方程组的矩阵形式为：则 2）代入参数：，V=18，n=10， 输入程序：>> n=10; %由题目要求设定A11=sparse(1:n-1,1:n-1,-1,n,n); %定义A的对角元素，除（n,n)A12=sparse(n,n,-0.5,n,n); %定义(n,n)A1=A11+A12; %对角元素A2=sparse(1:n-1,2:n,0.5,n,n); %输入A的上次对角元素A3=sparse(2:n,1:n-1,0.5,n,n); %输入A的下次对角元素A=A1+A

6、2+A3;b1=0.5nes(n,1); %b的除第一项元素b2=sparse(1,1,18,n,1); %b的第一项元素b=b1-b2;R=Ab得到结果：R = 26.0000 17.0000 9.0000 2.0000 -4.0000 -9.0000 -13.0000 -16.0000 -18.0000 -19.0000所以各阻值为(R1，R2，R10)=(26，17，9，2，-4，-9，-13，-16，-18，-19)总电阻R0（即输入等效电阻）为，又得到 （2）1)要使各年龄种群数量每年维持不变即，依题意得 用矩阵形式表示原方程组为：，  2)代入题中数据 ， 3)要使h1h

7、5均为500，则h变为：输入程序：>> frmat bank;A1=0.4,-1,0,0,0 0,0.6,-1,0,0 0,0,0.6,-1,0 0,0,0,0.4,-1 -1,0,5,3,0;h1=500,400,200,100,0' 1=A1h1 frmat bank;A2=0.4,-1,0,0,0 0,0.6,-1,0,0 0,0,0.6,-1,0 0,0,0,0.4,-1 -1,0,5,3,0;h2=500,500,500,500,0'2=A2h2frmat bank;A3=0.6,-1,0,0,0 0,0.8,-1,0,0 0,0,0.8,-1,0 0,0

8、,0,0.6,-1 -1,0,1,2,0;h3=500,500,500,500,0'3=A3h3 结果：1 = 8481.01 2892.41 1335.44 601.27 140.512 = 10981.01 3892.41 1835.44 601.27 -259.493 = 13467.74 7580.65 5564.52 3951.61 1870.97从1可以看出，第5年龄段：5=140.5>100=h5 ，说明收获量h5可以达到100。从2可以看出，5为-259.49，但种群数量不可能为负数，在本题所给条件下，无法使h1h5均为500。从3可以看出，5=1870>5

9、00=h5，说明收获量h5可达到500，从而h1h5均可达到500。（3）1)由题目已知条件，假设第i月月初待还贷款为ai，贷款月利率为r，则可列出： a1=150000 a2=a1(1+r)-1000 an=1000/r+(a1-1000/r)2) 记第一家银行月利率为s，第二家银行年利率为t,则： bm=4500/s+(b1-4500/r)输入程序：1）r=fzer(inline('1000/r+(150000-1000/r)(1+r)180'),1)2）r1=fzer(inline('4500/s+(500000-4500/s)(1+s)180'),1)r

10、2=fzer(inline('45000/t+(500000-45000/t)(1+t)20'),1)if r1<r2/12 disp('第一家月利率小');else disp('第二家月利率小');end实验结果：r =0.0021r1 =0.0059 r2 =0.0639 第二家月利率小（4）n=20;y=1:n;y(1)=0.5fr k=1:(n-1) y(k+1)=1.3y(k)(1-y(k);end;y;y = Clumns 1 thrugh 12 0.5000 0.3250 0.2852 0.2650 0.2532 0.2458 0.2410 0.2378 0.2356 0.2341 0.2331 0.2324 Clumns 13 thrugh 20 0.2319 0.2316 0.