2021中考数学压轴题专题训练11开放探究[附解析]

1、开放探究1定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做三角形的“中垂心”如图1，在ABC中，PA=PB，则点P叫做ABC的“中垂心”（1）根据定义，中垂心可能在三角形顶点处的三角形有_（举一个例子即可）；（2）应用：如图2；在ABC中，请画出“中垂心”P，使PA=PB=PC（保留作图痕迹，不写画法）（3）探究：如图3，已知ABC为直角三角形，C=90°，ABC=60°，AC=，“中垂心”P在AC边上，求PA的长如图4，若PA=PB且“中垂心”P在ABC内部，总有AC+BC2AP，请说明理由【解析】解：（1）根据题意，若点C为ABC的“中垂心”可得CA=CBABC为等腰三角形故

2、答案为：等腰三角形（答案不唯一）；（2）分别作出BC和AB的垂直平分线，交于点P根据垂直平分线的性质可得PA=PB=PC点P即为所求；（3）C=90°，ABC=60°，A=90°ABC=30°AB=2BC设BC=x，则AB=2xBC2AC2=AB2x2（）2=（2x）2解得：x=4或-4（不符合实际，舍去）BC=4，AB=8P在AC边上，C=90°PBPC，即不存在“中垂心”P，使PB=PC若PA=PB，如下图所示设PA=PB=a，则PC=ACPA=aPC2BC2=BP2（a）242=a2解得：a=即PA=；若PA=PC，如下图所示则点P为AC

3、的中点PA=综上：PA=或；理由如下延长AP交BC于D根据三角形的三边关系可得：ACCDAD，DPDBPBACCDDPDBADPBAC（CDDB）DPPADPPBACBCPAPBPA=PBAC+BC2AP2如图，在中，为的中点，将绕点顺时针旋转得到，连结、.（1）若为等边三角形，试探究与有何数量关系？证明你的结论；（2）若为等边三角形，当的值为多少时，？（3）当不是等边三角形时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请添加一个条件，使得结论成立，并说明理由.【解析】解 （1），证明如下：为等边的中线，即，即，由旋转的性质得到，.（2）或240.当时，由为等边三角形，得到，；当时，.（3）不成立，

4、添加的条件为理由如下：，即.，即.由旋转的性质得到，.3在ABC中，AB=AC，点D与点E分别在AB、AC边上，DEBC，且DE=DB，点F与点G分别在BC、AC边上，FDGBDE（1）如图1，若BDE=120°，DFBC，点G与点C重合，BF=1，直接写出BC=；（2）如图2，当G在线段EC上时，探究线段BF、EG、FG的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当G在线段AE上时，直接写出线段BF、EG、FG的数量关系：_【解析】（1）DEBC，BDE+ABC=180°，BDE=120°，ABC=60°，DFBF，BFD=90°，DF=BFtan

5、60°，CDFBDE=60°，DFC=90°，CF=DFtan60°，BC=BF+CF=1+3=4；（2）如图2中，结论：FG=BF+EG理由：在EA上截取EH，使得EH=BFAB=AC，B=C，DEBC，ADE=B，AED=C，ADE=AED，DEH=B， 在DBF和DEH中，DBFDEH（SAS），DF=DH，BDF=EDH，FDGBDE，BDF+EDG=EDH+EDG=GDHBDE，GDF=GDH，在DGF和DGH中，DGFDGH（SAS），FG=HG，HG=EG+HE=EG+BF，FG=BF+EG；（3）如图3中，结论：FG=BF-EG理由：在射

6、线EA上截取EH，使得EH=BFAB=AC，B=C，DEBC，ADE=B，AED=C，ADE=AED， DEH=B，在DBF和DEH中， DBFDEH（SAS），DF=DH，BDF=EDH，BDE=FDH，FDGBDEFDH， GDF=GDH，在DGF和DGH中，DGFDGH（SAS），FG=HG，HG=HE-GE=BF-EG，FG=BF=-EG4如图，点的坐标为，点的坐标为，将沿直线对折，使点与点重合，直线与轴交于点与交于点（1）求出的长度；（2）求的面积；（3）在平面上是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由【解析】解：（1）点的坐标为，点的坐标为，O

7、A16，OB12，在RtAOB中，AB20；（2）如图，连接BC，折叠，ACBC，ADCBDC90°，ADBD10，设ACBCx，则OC16x，在RtBOC中，解得，在RtACD中，的面积为；（3）如图1，当点P在第一象限，PBAB且PBA90°时，过点P作PEOB交y轴于点E，则PEBAOB90°，PBEBPE90°，PBA90°，PBEABO90°，BPEABO，PEBAOB，BPEABO，PBAB，PEBBOA，PEOB12，BEOA16，OEBEOB28，点P的坐标为（12，28），如图2，当点P在第三象限，PBAB且PBA9

8、0°时，过点P作PFOB交y轴于点F，则PFBAOB90°，PBFBPF90°，PBA90°，PBFABO90°，BPFABO，PFBAOB，BPFABO，PBAB，PFBBOA，PFOB12，BFOA16，OFBFOB4，点P的坐标为（12，4），如图3，当点P在第一象限，PAAB且PAB90°时，过点P作PGOA交x轴于点G，则PGAAOB90°，PAGAPG90°，PAB90°，PAGBAO90°，APGBAO，PGAAOB，APGBAO，PAAB，PAGABO，PGOA16，AGOB12

9、，OGOAAG28，点P的坐标为（28，16），如图4，当点P在第四象限，PAAB且PAB90°时，过点P作PHOA交x轴于点H，则PHAAOB90°，PAHAPG90°，PAB90°，PAHBAO90°，APHBAO，PHAAOB，APHBAO，PAAB，PAHABO，PHOA16，AHOB12，OHOAAH4，点P的坐标为（4，16），如图5，当点P在第四象限，PAPB且APB90°时，过点P作PMOB交y轴于点M，过点A作ANPM，交MP的延长线于点N，则PNAPMB90°，PANAPN90°，APB90&#

10、176;，APNBPM90°，PANBPM，PNAPMB，PANBPM，PAPB，PANBPM，PMAN，BMPN，设PMANa，则PNBM12a，MNOA16，a12a16解得a2，PM2，OMAN2，点P的坐标为（2，2），如图6，当点P在第一象限，PAPB且APB90°时，过点P作PIOB交y轴于点I，过点A作AJPI，交IP的延长线于点J，则PJAPIB90°，PAJAPJ90°，APB90°，APJBPI90°，PAJBPI，PJAPIB，PAJBPI，PAPB，PAJBPI，PIAJ，BIPJ，设PIAJb，则PJBIb1

11、2，IJOA16，bb1216，解得b14，PI14，OIAJ14，点P的坐标为（14，14），综上所述，点P的坐标为（12，28），（12，4），（28，16），（4，16），（2，2），（14，14）5已知，且自然数，对进行如下“分裂”，可分裂成个连续奇数的和，如图：即如下规律： ；（1）按上述分裂要求，可分裂的最大奇数为（2）按上述分裂要求，可分裂成连续奇数和的形式是：；（3）用上面的规律求：【解析】解：（1）通过观察已知算式可得平方数的分裂规律有：平方数的底数是多少，分裂后的奇数加数就有多少个；奇数加数是从1开始算起的连续奇数，又，所以可分裂的最大奇数为19；故答案为=1+3+5+7+

12、9，19；（2）由（1）可以进一步得知，一个平方数分裂后的最大奇数等于平方数底数的2倍减去1，可分裂的最大奇数为2n-1，故答案为；（3）由（2）得： =， =2n+16如图，ABC和CDE都是等边三角形，点E在BC上，AE的延长线交BD于点F（1）求证：ACEBCD；（2）探究的度数；（3）探究EF、DF、CF之间的关系【解析】解：（1）ABC和CDE都为等边三角形，ACE=BCD=60°，AC=BC，CE=CD，在ACE和BCD中，ACEBCD；（2）延长AF到Q，使FQ=DF，连接DQ，ACEBCD，CAE=CBD，又AEC=BEF，AFB=ACB=60°DFQ=60

13、°，DFQ是等边三角形，FDQ=FQD=60°，DF=DQ，CDF=EDQ，在CDF和EDQ中，CDFEDQ，CFD=DQF=60°；（3）CDFEDQ， CF=EQ，EQ=DF+FQ=EF+DF，CF=EF+DF7（1）问题发现:如图（1），在OAB和OCD中，OAOB，OCOD，AOBCOD36°，连接AC，BD交于点M的值为；AMB的度数为；（2）类比探究 :如图（2），在OAB和OCD中，AOBCOD90°，OABOCD30°，连接AC，交BD的延长线于点M请计算的值及AMB的度数（3）拓展延伸:在（2）的条件下，将

14、OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M若OD1，OB，请直接写出当点C与点M重合时AC的长【解析】解：（1）AOB=COD=36°，AOB+DOA=COD+DOA，COA=DOB，又OA=OB，OC=OD，COADOB（SAS），AC=BD，=1，故答案为：1；设AO与BD交于点E，由知，COADOB，CAO=DBO，AOB+DBO=DEO，AMB+CAO=DEO，AOB=AMB=36°，故答案为：36°；（2）在OAB和OCD中，AOB=COD=90°，OAB=OCD=30°，tan30°=，AOB+DOA=COD+D

15、OA，即DOB=COA，DOBCOA，DBO=CAO，DBO+OEB=90°，OEB=MEA，CAO+MEA=90°，AMB=90°，=，AMB=90°；（3）如图3-1，当点M在直线OB左侧时，在RtOCD中，OCD=30°，OD=1，CD=2，在RtOAB中，OAB=30°，OB=，AB=2，由（2）知，AMB=90°，且=，设BD=x，则AC=AM=x，在RtAMB中，AM2+MB2=AB2，（x）2+（x+2）2=（2）2，解得，x1=3，x2=-4（舍去），AC=AM=3；如图3-2，当点M在直线OB右侧时，在Rt

16、AMB中，AM2+MB2=AB2，（x）2+（x-2）2=（2）2，解得，x1=4，x2=-3（舍去），AC=AM=4，综上所述，AC的长为3或4 8综合与实践（1）观察理解：如图1，中，直线过点，点，在直线同侧，垂足分别为，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以（ ）；（请填写全等判定的方法）（2）理解应用：如图2，且，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积_；（3）类比探究：如图3，中，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求的面积（4）拓展提升：如图4，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角已知，求证：；【解析】（1）在和中，故答案

17、为：；（2），由（1）得：，.（3）如图3，过作于，由旋转得：， ，；（4），在和中，；，9如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，与轴相切于点，与轴相交于、两点.（1）点、的坐标分别是（ ， ），（ ， ），（ ， ）.（2）设经过、两点的抛物线的关系式为，它的顶点为，抛物线的对称轴与轴相交于点，求证：直线与相切.（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点（点在轴的上方），使是等腰三角形.如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由.【解析】（1），.提示：连结，则垂直于轴.点的坐标是，.在中，同理在中，.（2）把代入，解得，.如图2，连结，则，.，即，与相切.（3），.在中，.设，如图3.当时

18、，在中，；当时，在中，；当时，和重合，.综上当、或时，是等腰三角形.10已知如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角MBC和NDC，若BAD，BCD（1）如图1，若+150°，求MBC+NDC的度数；（2）如图1，若BE与DF相交于点G，BGD45°，请写出、所满足的等量关系式；（3）如图2，若，判断BE、DF的位置关系，并说明理由【解析】解：（1）在四边形ABCD中，BAD+ABC+BCD+ADC360°，ABC+ADC360°（+），MBC+ABC180°，NDC+ADC180°MBC+NDC180°ABC+

19、180°ADC360°（ABC+ADC）360°360°（+）+，+150°，MBC+NDC150°，（2）90°理由：如图1，连接BD，由（1）有，MBC+NDC+，BE、DF分别平分四边形的外角MBC和NDC，CBGMBC，CDGNDC，CBG+CDGMBC+NDC（MBC+NDC）（+），在BCD中，在BCD中，BDC+DBC180°BCD180°，在BDG中，BGD45°，GBD+GDB+BGD180°，CBG+CBD+CDG+BDC+BGD180°，（CBG+CDG

20、）+（BDC+CDB）+BGD180°，（+）+180°+45°180°，90°，（3）平行，理由：如图2，延长BC交DF于H，由（1）有，MBC+NDC+，BE、DF分别平分四边形的外角MBC和NDC，CBEMBC，CDHNDC，CBE+CDHMBC+NDC（MBC+NDC）（+），BCDCDH+DHB，CDHBCDDHBDHB，CBE+DHB（+），CBE+DHB（+），CBEDHB，BEDF11在平面直角坐标系中，对于平面中的点，和图形，若图形上存在一点，使，则称点为点关于图形的“折转点”，称为点关于图形的“折转三角形”（1）已知点，在点，中，点关于点的“折转点”是_；点在直线上，若点是点关于线段的“折转点”，求点的横坐标的取值范围；（2）的圆心为，半径为3，直线与，轴分别交于，两点，点为上一点，若线段上存在点关于的“折转点”，且对应的“折转三角形”是底边长为2的等腰三角形，直接写出的取值范围【解析】（1）根据“折转点”的定义，要使得的Q才是点O关于点A的“折转点”，如图，根据各个点的坐标，则，是点O关于点A的“折转点”，则，点O关于点A的“折转点”，不是，故答案是：，；如图，点为点关于线段的折转点，则在线段上存在点，使得，即在以为直径的圆上（不含，点），因此，当点在上运动