最小方差控制

1、最小方差自校正调节器最小方差自校正调节器 被控系统 控制器 控制器参数计算 (自适应机构) 参数估计器 u(k) y(k) 图 1 自校正控制方法原理 q 自校正调节器(Self-Tuning Regulator, STR)最早是由Astrom和Wittenmark于1973年首先提出来的,其结构如图1所示. STR是以RLS参数估计方法在线估计最优预报模型,并在此基础上以输出方差最小为调节指标的一种可以适应参数未知或慢时变的自适应控制系统. 欲讨论参数未知时能调节系统输出方差至最小的STR,需先引入参数已知时调节系统输出方差最小的最小方差调节器. 最小方差调节的基本思想是: 由于系统中信道存

2、在着d步时滞,这就使得当前的控制作用u(k)要到d个采样周期后才能对输出产生影响. 因此,要获得输出方差最小,就必须对输出量提前d步进行预报,然后根据预报值来计算适当的调节作用u(k). 这样,通过不断的预报和调节,就能始终保持输出量的稳态方差为最小. 在最小方差调节器的研究中,所讨论的被控系统的模型为 A(q-1)y(k)=B(q-1)u(k-d)+C(q-1)e(k) (1)nnnnnnqcqcqCqbqbbqBqaqaqA11111011111)()(1)( 其中：对该系统,有如下假设:1. 被控系统时滞时间d以及时滞算子q-1的多项式A、B和C的阶次及系数都已知;2. 被控系统为最小相

3、位系统,即多项式B(q-1)的所有零点都在单位圆内;3.A(q-1)、C(q-1)所有零点都为稳定的,即所有零点都在单位圆内;4. e(k)为零均值白色噪声序列,且Ee2(k)=2.1 最小方差预测最小方差预测 设在k时刻已观测到输出值y(k),y(k-1),等，希望由此得到预测值 。)( kdky)()()()()()()(1111dkeqAqCkuqAqBdky 右边为u(k),u(k-1),；e(k+d),e(k+d-1),e(k+1),e(k),e(k-1),等变量的线性组合， u(k),u(k-1)为系统输入，可直接测量。 随机变量e(k),e(k-1)可根据在k时刻为止的系统输入输

4、出值计算得到。 e(k+1), ,e(k+d)为系统在k时刻以后的干扰输入，与直到k时刻为止的系统输入输出观测值无关。 为了有效利用直到k时刻为止的系统输入输出观测值进行预测，须将这两类变量区分开。为此可将C(q-1)/A(q-1)分成两部分：(2)由式(1)有：)1(11101)1(111111111)(1)()()()()()(nndddqgqggqGqfqfqFqAqGqqFqAqC F和G可通过长除法得到，F为商，而q-dG(q-1)为余因子。也可通过将式(3)写成(3)()()()(1111qGqqFqAqCd 然后比较两边系数得到。由(3)可将(2)右边的噪声项写成：(4)()()

5、()()()()()(11111keqAqGdkeqFdkeqAqC(5) 代入(2)可得：)()()()()()()()()(11111keqAqGdkeqFkuqAqBdky 而由式(1)有：)()()()()()()(1111kuqqCqBkyqCqAked(6) 代入式(6)有：)()()()()()()()()()()()()(111111111kyqCqGkuqCqAqBqqGqAqBdkeqFdkyd(7) 利用式(4)可将式(8)化简为：(8)()()()()()()()()()(111111kyqCqGkuqCqFqBdkeqFdky(9) 记基于k时刻的观测值对y(k+d)

6、的预报为： 则它是k时刻及以前的输入输出的函数。若对预测的要求是使预测的误差平方即系统误差的方差为最小，则损失函数可表示为：)( kdky)()()()()()()()()()( )()( 21111112kyqCqGkuqCqFqBdkeqFkdkyEdkykdkyEJ 上式中F(q-1)e(k+d)与其它项均不相关，且由于e(k)为零均值白噪声序列，式(10)可写为)()()()()()()()( )()(21111121kyqCqGkuqCqFqBkdkyEdkeqFEJ(10)与 的选择无关 )( kdky 因此当上式中第2项为0时，可使J最小。因此最小方差预测为：(11)()()()

7、()()()()( 11111kyqCqGkuqCqFqBkdky(12)最小方差预测估计的误差 的方差为2212121)1 ()()()(vardffdkeqFEkdky(13)( -)()(kdkydkykdky2 最小方差控制最小方差控制 最小方差控制的目的是要确定u(k)，使得输出的方差为最小，由于u(k)最早只能影响到y(k+d)，因此选择性能指标为)(2dkyEJ 上式可改写为：(14)()( )()( )(2222kdkyEkdkyEkdkykdkyEdkyEJ(15) 预测误差，e(k+1),e(k+d)的线性组合。显然，使式(15)中性能指标取最小值的充要条件是：0)()()

8、()()()()()( 11111kyqCqGkuqCqFqBkdky(16)因此最小方差控制律为：)()(-)()()(111kyqGkuqFqB此时系统输出的方差为：2212122)1 ()()(dffkdkyEdkyE(17)(18) 由式(16)可见，最小方差控制律可以通过先求出输出提前d步的预测值 ，然后令 等于理想输出值yr(这里yr=0)而得到，因此最小方差控制问题可分离成两个问题，一个是预测问题，另一个是控制问题。)( kdky)( kdky 例1 求解被控系统(1-1.7q-1+0.7q-2)y(k)=(1+0.5q-1)u(k-d)+(1+1.5q-1+0.9q-2)e(k

9、)的最小方差控制.解 首先考虑时滞d=1的情况，这时显然有F(q-1)=1。 设G(q-1)=g0+g1q-1则由式(4)可得 (1+1.5q-1+0.9q-2)= (1-1.7q-1+0.7q-2)+q-1(g0+g1q-1)2 . 0, 2 . 310gg则由式(17)可得最小方差控制：)(5 . 012 . 02 . 3-)()()()(-)(11111kyqqkyqFqBqGku2)(varky而： 其次考虑时滞d=2的情况，这时设G(q-1)与前面一致。而 设F(q-1)=1+f1q-1 则通过比较系数可得f1=3.2,g0=5.64,g1=-2.24.最小方差控制：)u(k-.)-

10、u(k-.)-y(k-.y(k).-ku2611731242645)(222124.11)1 ()(varfky而：最小方差调节系统的闭环稳定性质最小方差调节系统的闭环稳定性质由被控系统模型Ay(k)=Bu(k-d)+Ce(k)和最小方差调节律u(k)=-G/(BF)y(k)可得调节系统的闭环框图如图2所示. 由图2可以导出最小方差调节系统的闭环方程 e(k) - + y(k) u(k) + q-dB A C A G BF 图图2 最小方差调节器系统框图最小方差调节器系统框图 )91 ()()(/1/)(keBGqBFABFCkeqkyddBFABGAC 因此,当B为稳定多项式（即系统(1)为

11、最小相位系统）时,上式中分子和分母中的多项式B可以对消,于是y(k)=Fe(k) (20) 不难看出,最小方差调节系统的实质,就是利用调节器(17)的极点去对消被控系统的零点.3 自校正调节器自校正调节器(STR) 前面我们讨论了被控系统在参数已知时的随机离散系统的最小方差调节规律,而STR主要解决被控系统参数未知或慢时变时的最小方差调节问题. 对STR问题, 有直接法直接法和间接法间接法. 所谓间接法间接法,即在每一控制(采样)周期先辨识系统模型,然后基于实时辨识模型求解丢番图方程,计算最小方差调节律及相应的在线控制量. 所谓直接法直接法,则直接辨识系统的输出预报模型,以避免在每一控制周期求

12、解丢番图方程和计算最小方差调节律. 由最小方差控制的原理可知，最小方差是通过置输出的d步预测值 为0而实现的。因此最小方差控制的核心是预测。 令)( kdky (q-1)=G(q-1) = 0+ 1q-1 +.+ n-1q-(n-1) (q-1)=B(q-1)F(q-1)=0+1q-1 +.+ n+d-1q-(n+d-1) (21)则最小方差控制律式(17)可写成： (q-1)u(k)=- (q-1)y(k) (22)或：011110/ ) 1() 1() 1() 1()()(dk-nuk-unkykyky-kudnn显然，若能直接估计出参数i和i ，则可由上式立即得到最小方差控制，为了能估计

13、参数i和i，我们设定一个具有白噪声干扰的预测模型： y(k+d)= (q-1)y(k)+ (q-1)u(k)+(k+d) (24)(23)由式(12)，系统的d步最优预测为 )()()()()()( )(1111kuqFqBkyqGkdkyqC预测误差 )()()( )()(1dkeqFkdkydkykdky因此 )()( 1)()()()()()()( 1)()()()()()()(1111111kdkykdkyqCkuqkyqkdkykdkyqCkuqFqBkyqGdky(25)(26)(27)式(27)与设定的预测模型式(24)一致。根据系统辨识原理可知，这时采用最小二乘法等即可得到i和

14、i 的无偏估计。将消失 为了保证预报模型在闭环下的参数可辨识性的要求,可以设定多项式 (q-1)的首项系数0为一合理的估计值0,则可列写出如下自回归方程y(k+d)-0u(k)= T(k) +(k+d) (28)其中)1-(.) 1-() 1-(.)()( . . 111 -0dnkukunkykykdnnq 自回归方程(28)的未知参数向量 可由带遗忘因子的渐消记忆ELS法或SA法来估计。 基于参数向量 的在线估计值 (k)和最小方差调节律有如下自校正调节律q 上述自校正调节器为保证闭环可辨识性，未辨识参数0，而是辨识其估计值。 可以证明，若0的估计值满足:)92(/ )()()(0kkku

15、2/2/100则上述自校正调节律一样可以收敛。 广义最小方差自校正控制广义最小方差自校正控制 在前一讲讨论最小方差调节器和STR的稳定性时已指出,STR仅适用于最小相位系统。 再者,最小方差调节器和STR中仅考虑使输出的方差为最小, 没有考虑使系统的输出跟踪给定的伺服输入项, 也没有考虑对控制作用加以约束以避免使控制作用变化剧烈或频繁以降低控制仪表和测量仪表的损耗率. 而许多实际控制系统的目的是使系统的输出跟踪给定的伺服输入项,并对系统的输入及输入的变化量加以约束以提高系统的稳定性,系统运行的平稳性,以及降低仪表的损耗. 为了克服最小方差调节器和STR的上述缺陷,Clake和Gawthrop等

16、人于1975年提出了广义最小方差控制算法. 这种算法仍然采用二次型的指标函数,但在指标函数中引入了对伺服输入项的跟踪和对控制作用的约束. 由于引入了对控制作用的约束,不仅限制了控制作用的不适当的变化,同时使得可以通过适当选择对控制项约束的权因子的大小来使得该算法能适用于非最小相位系统. 考虑到使系统的输出能跟踪给定的伺服输入项,以及对控制作用加以约束以避免使控制作用变化剧烈并使该控制方案能适用于非最小相位系统,最小方差控制器的指标函数为 J=EP(q-1)y(k+d)-R(q-1)w(k)2+Q(q-1)u(k)2 (31) 式中w(k)为已知的参考输入量; P,R,和Q分别为对实际输出、参考

17、输入和控制输入的加权多项式。 对指标函数J的意义有如下说明: 该指标函数中的第一项的作用为跟踪伺服输入w(k). 该指标函数中的第二项的作用为约束控制量u(k)幅值和变化量. 加权多项式Q的作用为约束控制量的幅值和变化,因此Q的选取要兼顾对控制量的幅值和变化量的约束. 该指标函数中若Q=0,即不对控制项加以约束,则由该指标函数所定义的控制问题即为输出跟踪问题. 若R=Q=0,即不考虑跟踪伺服输入,则该指标函数所定义的控制问题即为上一讲中讨论的最小方差调节器问题. 也就是说,最小方差调节器可视为广义最小方差控制器的特例.由上一节的结果可求出y(k+d)的d步最优预报为：)()()()()()()

18、()( 11111kyqCqGkuqCqFqBkdky(32)预报误差：)()()( )()(1dkeqFkdkydkykdky(33)将以上两式代入J中可得： )()( )()(- )()( )(E 2-12-1-1kuqQkwqRkdkykdkyqPJ 不相关于y(k-i),u(k-i);i0。记 )()( -1kdkyqP)()(2-12kdkyqPEa )()( )()(-)( )( 22-12-1-1akuqQkwqRkdkyqPJ则：(34)(35)(36) )()( 2 )()(-)( )( 2)( 1 -001 -1 -kuqQqbkwqRkdkyqPkuJ由：其中b0,q0分

19、别是多项式B(q-1)和Q(q-1)中的常数项，可得使J为最小的广义最小方差控制0)()(-)()()( )(-1-1-1kwqRkuqQkdkyqP0-10-1)/( )(bqQqqQ式中：也可写成： )( )(-)()()()(-1-1-1-1kdkyqPkwqRqQku上式中d步最优预测值 由式(32)给出。(37)(38)( kdky )()( )()(-)( )( 22-12-1-1akuqQkwqRkdkyqPJ(36)另一种表示方法是直接求变量)()()(-1dkyqPdk的d步最优预测 。采用类似于求 的方法。)( kdk )( kdky)()()()()(-1-1-1-1-1

20、qDqqAqEqCqPd首先，其中)1 -( -1 -1 -101 -1)-(1 -11-1)(1)(ppnnnnddqdqddqDqeqeqEnp为多项式P(q-1)的次数。(39)(40)(41)()()()()()()()()(111111dkeqAqCqPkuqAqBqPdk类似上一节的式(6)到式(8)推导过程可得)()()()()()()()()()()()(1 -1 -1 -1 -1 -1 -1dkeqEkuqCqEqBkyqCqDdkyqPdk与其他项不相关(42)再类似上一节由式(10)到式(12)的推导过程可得)()()()()()()()( 11111kuqCqBqEky

21、qCqDkdk)()()( -)()(1dkeqEkdkdkkdk)( kdk (43)(44)0)()(-)()()( -1-1kwqRkuqQkdk )( -)()()()(-1-1-1kdkkwqRqQku(45)(46)利用 可以将广义最小方差控制律式(37)写为： 辅助系统方法 (Clark等) 首先定义如下辅助系统 其中 称为广义输出。 利用 ，立即可以得到)()()()()()(11kwqRkuqQdkdk)(dk )( kdk )()()()()( )( 11kwqRkuqQkdkkdk 其最优预测误差 。与求解最小方差控制的思想一样，令关于广义输出的d步最优预测值 即可得广义

22、最小方差控制律： 与直接通过优化过程而得到的式(45)完全一致。)()(kdkkdk0)( kdk0)()()()()( 11kwqRkuqQkdk(47)(48)(49) 将式(43)代入式(48)：)()()()()()()()()()()()( 1111111kwqRkuqQkuqCqBqEkyqCqDkdk(50) 式(50)可简写成：)()()( )()()()()( )()( )()()()()()()( )(11111111111111qRqCqqQqCqEqBqqDqkwqkuqkyqkdkqC(51) 由 ，立即可得到与式(49)等价的广义最小方差控制律0)( kdk0)()

23、()()()()(111kwqkuqkyq(52) 也可写成：)()()()()(-)(1111kwqkyqqku(53) 将上式代入受控对象模型式(1)，可得到采用广义最小方差控制后的闭环系统模型：)()()()()()()()()()()()()()()()()(11111111111111keqPqBqQqAqQqCqEqBkwqPqBqQqAqRqBqkyd(54) 闭环系统的特征方程：0)()()()()(11111qPqBqQqAqT(55) 选择Q和P，可以配置闭环系统的极点，即P,Q的选择将影响到系统的稳定性。当Q=0时，闭环特征方程为 0)()()(111qPqBqTB(q-1)的零点成为闭环特征方程的根。 因此当受控对象为非最小相位系统时，闭环系统就不稳定