时间序列分析

1、第十章第十章 时间序列分析时间序列分析 时间序列分析是根据系统有限长度的观察时间序列分析是根据系统有限长度的观察数据，建立能够反映时间序列中所包含的动态数据，建立能够反映时间序列中所包含的动态依存关系的数学模型，并借以对系统的未来行依存关系的数学模型，并借以对系统的未来行为进行预测。为进行预测。第十章第十章 时间序列分析时间序列分析 10.1 时间序列分解时间序列分解 10.2 长期趋势分析长期趋势分析 10.3 季节变动分析季节变动分析 10.4 循环波动分析循环波动分析 10.5 时间序列的自相关分析时间序列的自相关分析 10.6 时间序列的动态分析指标时间序列的动态分析指标 10.7 景

2、气循环分析景气循环分析10.1 时间序列分解时间序列分解 按一定时间顺序对现象进行观测并记录下来的数值，称为按一定时间顺序对现象进行观测并记录下来的数值，称为时间序列。时间序列。 例：工农业总产值按年度顺序排列起来的数列；例：工农业总产值按年度顺序排列起来的数列； 某种商品销售量按季度或月度排列起来的数列；等等某种商品销售量按季度或月度排列起来的数列；等等 一个时间序列的形成受到许多因素的共同影响，为了分析一个时间序列的形成受到许多因素的共同影响，为了分析其成因及变动的规律，就需要对其进行分解。其成因及变动的规律，就需要对其进行分解。12,.,.,tny yyy通常表示为：时间序列中每一期的数

3、据都是由不同的因素同时发生作用的综合结果。 各种影响因素按性质不同，可分成四大类：长期趋势因素 T Tt t、季节变动因素 S St t、循环变动因素 C Ct t 不规则变动因素 I It t。季节变动很明显。度的间隔记录时，的数据是按周、月或季动，当反映时间序列原因而引起的周期性变由季节性：季节变动是时间序列季节变动S. 21.1.长期趋势因素长期趋势因素T T：指由于某种关键因素的影响，：指由于某种关键因素的影响，时间序列在较长时间内连续不断地向一定的方向持时间序列在较长时间内连续不断地向一定的方向持续发展（上升或下降），或相对停留在某一水平上续发展（上升或下降），或相对停留在某一水平上

4、的倾向，反映了事物的主要变化趋势的倾向，反映了事物的主要变化趋势. .都可以不很规则。动。循环的幅度和周期某种周期性变的时间序列所表现出的循环变动是以年度记录循环变动:. 3C动和偶然性变动两种。为严格的随机变后余留下来的变动。分动和循环变动之除去长期趋势、季节变列：不规则变动时时间序不规则变动T. 41.乘法模式 Yt = TtStCtIt要求满足条件：(1) Yt与Tt有相同的量纲，St为季节指数，Ct为循环指数，两者皆为比例数； 四种因素的组合形式一般有以下三类：四种因素的组合形式一般有以下三类： 1(2),kttSk k为季节周期长(3)It 是独立随机变量序列，服从正态分布。 要求满

5、足条件：(1) Yt，Tt，St，Ct，It 均有相同的量纲； 2.加法模式 Yt =Tt+St+Ct+It 1(2)0,kttSk为季节周期长 (3)(3)I It t 是独立随机变量序列，服从正态分布。 要求满足条件：要求满足条件：(1) (1) Y Yt t与与T Tt t，C Ct t，I It t 有相同的量纲，有相同的量纲，S St t为季节为季节指数指数 。 1(2),kttSk k为季节周期长(3)(3)I It t 是独立随机变量序列，服从正态分布。是独立随机变量序列，服从正态分布。 3.3.混合模式混合模式 Y Yt t = =T Tt tS St t+ +C Ct t+

6、+I It t 10.2 长期趋势分析长期趋势分析 分解出趋势成分的目的：分解出趋势成分的目的：1、趋势预测、趋势预测 2、分析序列中余下的部分、分析序列中余下的部分 长期趋势测定的方法：长期趋势测定的方法：1、数学曲线拟合法、数学曲线拟合法 2、移动平均法、移动平均法一、数学曲线拟合法一、数学曲线拟合法 一个时间序列为了算出时间趋势值，可以考虑一个时间序列为了算出时间趋势值，可以考虑对原始数据拟合一条数学曲线。对原始数据拟合一条数学曲线。 选择曲线方程有两个途径：选择曲线方程有两个途径： 1、在以时间、在以时间t为横轴，变量为横轴，变量Y为纵轴的直角坐为纵轴的直角坐标图上做时间序列数值的散点

7、图，根据散点的标图上做时间序列数值的散点图，根据散点的分布状态来确定应该拟合的曲线方程。分布状态来确定应该拟合的曲线方程。 2、对时间序列的数值作一些分析，根据分析、对时间序列的数值作一些分析，根据分析的结果来确定应选择的曲线方程。的结果来确定应选择的曲线方程。1.直线趋势的拟合直线趋势的拟合 根据线性函数的特性：根据线性函数的特性：bbtatbaYYYttt) 1(1如果一个数据序列，其相邻的两年数据的一阶差近似如果一个数据序列，其相邻的两年数据的一阶差近似为一常数，就可以配合一直线，然后用最小二乘法来为一常数，就可以配合一直线，然后用最小二乘法来求解参数求解参数a、b。btaYt22211

8、1()()nnntttttttQeyyyabt, a b求使 Q 最小。2.指数趋势线的拟合指数趋势线的拟合 当时间序列的各期数值大致按某一相同比例增长当时间序列的各期数值大致按某一相同比例增长时，可以考虑配合指数方程时，可以考虑配合指数方程bababYYabYabYYtttttttt11113.修正指数曲线修正指数曲线 在指数方程右边增加一个常数在指数方程右边增加一个常数k，即可得到修，即可得到修正指数方程：正指数方程：。趋于的增加，时，随着，取kt100aYbabkYt若若k0,该曲线可描述一种常见的成长现象。该曲线可描述一种常见的成长现象。44(0.8)tY 修正指数曲线参数估计（三和法

9、）修正指数曲线参数估计（三和法） 将时间序列分成3个相等的部分，每部分包括n个数据。 求出每部分的和，可得到：1111000()nnnttttttSYkabnkab21212nnttt nt nSYnkab3131322nntttntnSYnkab123SSS根据 ， ， 的三等式，求参数：3221nSSbSS2111()1nSSkSnb2121()(1)nbaSSb修正指数曲线参数估计（三和法）修正指数曲线参数估计（三和法）4.龚柏兹曲线龚柏兹曲线 龚柏兹曲线可以描述一种新产品从试制期到饱和期产量的增长趋势。(01,01)tbtYkaab-6-4-20246800.511.52ln0 01a

10、b-3-2-101234055ln0 1ab-0.500.511.52025507510012515002460510152025ln0 01abln0 1ab龚柏兹曲线参数估计龚柏兹曲线参数估计lnlnlnttYkba两边取对数：(01,01)tbtYkaabln,ln ,lnttttYY kk aaYka b再令有用修正指数求解参数的方法来求以上参用修正指数求解参数的方法来求以上参数，从而最终求出龚柏兹曲线参数数，从而最终求出龚柏兹曲线参数5.皮尔曲线皮尔曲线 其一般形式为：1tbtLYaetLY其中， 为变量 的极限值，a,b为常数，t为时间变量

11、 技术和经济的发展过程经历技术和经济的发展过程经历发生、发展、发生、发展、成熟成熟三个阶段。在发生阶段变化速度较缓慢；三个阶段。在发生阶段变化速度较缓慢；在发展阶段变化速度加快；在成熟阶段变化速在发展阶段变化速度加快；在成熟阶段变化速度由趋向于缓慢；度由趋向于缓慢；-2-1121234如电视机、手机普及率等。k k-2-1121234k k缓慢快速增长平稳发展饱和状态如电视机、手机普及率等。皮尔曲线的参数估计皮尔曲线的参数估计1tbtLYaettkcdY1令：,bacdeL1其中 k=L1,ttYYkcdY再令有 采用逐期递移的办法分别计算一系列采用逐期递移的办法分别计算一系列移动的序时平均数

12、，形成一个新的派生序移动的序时平均数，形成一个新的派生序时平均数时间数列。时平均数时间数列。二、移动平均法（二、移动平均法（MA法）法）(1)11111(.)1ttttt NtyMyyyNytN指期的预测值； ：计算移动平均所包含的数据个数适用于： 近期预测预测目标的发展趋势变化不大时间序列12,.,.,ty yy选定N N，取若干观察期的数据的算术平均值作为下一期的预测值。1211(.)1()tttt Ntttt NyyyyNyyyyN因此：故：N 的选取：的选取：在实用上，一般用对过去数据预测的均方误差S 来作为选取N 的准则。 例：我国近十年来糖的产量例：我国近十年来糖的产量年序年序 糖

13、产量糖产量三期移动平均三期移动平均 四期移动平均四期移动平均四期移动平均后四期移动平均后的二次移动平均的二次移动平均五期移动平均五期移动平均1985 4451986 5241987 4851988 4551989 4961990 5711991 6311992 8161993 7451994 5821995 566484.7488.0478.7507.3566.0672.7730.7714.3631.0477.25490.00501.75538.25628.50690.75693.50677.25483.6495.9520.0583.4659.6692.1685.4481.6506.2527.

14、6593.8651.8669.0668.0 第一，一次移动平均法一般只适应于平稳模式，当被预测的变量的基本模式发生变化时，一次移动平均法的适应性比较差。 第二，一次移动平均法一般只适用于近期预测，特别是下一时期的预测。一次移动平均法应用时应注意：加权移动平均法加权移动平均法 基本思想：考虑各期数据的重要性，对近期数据给予基本思想：考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权重。较大的权重。 以二项展开式的系数加权的方法来确定权数以二项展开式的系数加权的方法来确定权数1nn若移动平均的期数为 期，在各期的权数为次二项展开式相应的系数与所有系数之和的比例，即1110jnjnjnjCwC（j=0,1

15、,.n-1）jjw其中，为第 期观测值的权数；一次指数平滑法一次指数平滑法11,tttYYYYwt+1t+1设时间序列为，为了预测t+1期的数值Y根据加权移动平均的思路，以的加权平均值代替，各期的权数为可按近期的权数较大，远期的权数较小的原则确定，因此，t+1期的预测值Y 可以表示为：2112121.1.tttttYwYw Yw Ywwwt+1Y2121101,1.111.1ttttwwwtwwwwtwwww 随着 的增大而减小，又因为在 很大时，11,(1)tttwYYY习惯上，令 则1112121.(1)(.)(1)ttttttttYwYw YYww YwYwYw Ywt+1tY=（1-w

16、）()=(1-w)Y11ttYtYt表示第期的预测值；称为平滑系数，是人为确定的权数；为第 期的预测值或修匀值；10.3 季节变动分析季节变动分析1.123()tf按按月月（季季）平平均均法法：（）求求得得若若干干年年内内同同月月（或或季季）平平均均数数（）求求出出若若干干年年内内总总的的月月（或或季季）平平均均数数（）将将二二者者相相比比，求求得得各各月月（或或季季）的的季季节节比比率率也也称称季季节节指指数数tf 同月（季）平均数总平均数它反映序列在某月（或季）内由于受季节变动影响高于或低于总平均数的百分比。只适用于没有明显趋势变动只有季节变动的时间序列，一般至少有三年分月（或季）的数据资

17、料。移动平均趋势剔除法移动平均趋势剔除法t1V（）根据时间序列的数据求出各期趋势值时间序列的趋势变动和季节变动同时存在，先将序列的趋势剔除，再来测定季节变动tt2YVYT S IY TS I（ ）将时间序列的实际观察值 除以 ，得到各个月的样本季节指数，指数中不可避免的包含有不规则变动；可以表示为：(3)将样本季节指数进行简单算术平均，得到理论季节指数，其不包含不规则变动。tt(1).1,2,.tii TmT itYfVffffiTm公式： tiffTm式中， 表示样本季节指数；表示理论季节指数；表示季节周期的长度表示时间序列数据所包含的年数。10.4 循环波动分析循环波动分析 循环波动的循环

18、波动的变动周期变动周期在一年以上且周期长短不一在一年以上且周期长短不一 分析循环波动的分析循环波动的主要目的主要目的：探索循环波动的规律，：探索循环波动的规律，或从时间序列中剔除循环波动的影响。或从时间序列中剔除循环波动的影响。 乘余法乘余法：按照时间序列分解模型的假定，从中逐次：按照时间序列分解模型的假定，从中逐次消除长期趋势、季节变动和不规则变动，剩下的部消除长期趋势、季节变动和不规则变动，剩下的部分就是循环波动。分就是循环波动。循环波动分析循环波动分析按时间序列的乘法模型有：按时间序列的乘法模型有：YT S C I其中其中T与与Y 的度量单位相同，其他变量均表示为相对数的度量单位相同，其

19、他变量均表示为相对数利用时间序列利用时间序列Y，通过一定方法求出趋势值，通过一定方法求出趋势值T和季节和季节变动指数变动指数S后，可以求出剔除了趋势和季节因素影响后，可以求出剔除了趋势和季节因素影响的剩余。的剩余。YC IT S再对剩余再对剩余C*I进行移动平均，进一步消除随机波动进行移动平均，进一步消除随机波动的影响，余下的就是循环波动。的影响，余下的就是循环波动。10.5 时间序列的自相关分析时间序列的自相关分析 时间序列的自相关分析通过对时间序列时间序列的自相关分析通过对时间序列求其求其本期与不同滞后期本期与不同滞后期的一系列自相关的一系列自相关系数和偏自相关系数，来识别时间序列系数和偏

20、自相关系数，来识别时间序列的特性。的特性。 自相关系数说明同一变量不同时期的数自相关系数说明同一变量不同时期的数据之间的相关程度。据之间的相关程度。krk相关系数 说明相差 个时期两项数据序列之间的相关程度，其计算公式为：121()()()ntt kt kknttYYYYrYY 11tnttnYYYn表示时间序列 的数据个数，k表示时滞表示时间序列所有观测值的总平均值偏相关系数偏相关系数121,.tttt kttt kYYYYYkYY 在时间序列中，偏相关是时间序列 在给定了的条件下， 与滞后 期时间序列之间的条件相关。说明了已知其他滞后期（1，2.k-1）时间序列的影响作用下， 与之间的相关

21、程度。1111,111,1,1,1,(1)(2,3.)1,1,2.1kikkki rikkkki rik ikikkkk irkrkik 11计算公式：其中，10.6 时间序列的动态分析指标时间序列的动态分析指标 发展水平和平均发展水平 增长量和平均增长量 发展速度和增长速度 平均发展速度和平均增长速度发展水平发展水平010, ,.nnaa aaaa发展水平是时间序列中原有的统计指标数值，它通常用符号 表示。是各个时期（或时点）的发展水平，其中 是最初水平，是最末水平，中间各项是中间各时期（或时点）的水平。10.6 时间序列的动态分析指标时间序列的动态分析指标 发展水平和平均发展水平 增长量和

22、平均增长量 发展速度和增长速度 平均发展速度和平均增长速度平均发展水平平均发展水平它可以用来修均序列，消除现象在短时间内的波动，使序列能更明显的反映出现象的发展变化趋势。平均发展水平是把不同时间的发展水平加以平均所得到的平均数，统计上称为序时平均数。平均发展水平平均发展水平若时间序列反应的是一个时期指标在各个时期的发展水平，那么可以采用如下公式12.12nniniaaaaannaa i式中： 表示序时平均数；（， ， ）表示各个时期的发展水平；表示时期数目。平均发展水平平均发展水平12111.221nnaaaaan若时间序列反应某一时点指标在不同时期的发展水平，而时点数据资料不齐备，因而不连续

23、，但时点的时间间隔相等时，可以采用下列公式：平均发展水平平均发展水平 如果掌握的时点资料不连续且间隔不相等，这时可以用间隔长度为权数加权来计算序时平均数231121211211.222.(1,2.,1)nnnntttaaaaaafffaffff tnaa代表两个时点指标值之间的时间间隔长度。10.6 时间序列的动态分析指标时间序列的动态分析指标 发展水平和平均发展水平 增长量和平均增长量 发展速度和增长速度 平均发展速度和平均增长速度增长量增长量增长量是两个时期发展水平的差值，即增长量报告期发展水平基期发展水平0110211,.,.,nnna aaaa aaaa逐期增长量是以前一期为基期计算的

24、相邻两个时期的增减绝对量。若以表示时间序列各期发展水平，则逐期增长量为根据基期的不同，分为逐期增长量和累积增长量。增长量增长量10200,.,naa aaaa累积增长量是以某一固时期为基期计算的各报告期与某一固定时期的增减绝对量，即010211.nnnaaaaaaaa累积增长量等于相应各个时期逐期增长量之和，即有（）（）（）10.6 时间序列的动态分析指标时间序列的动态分析指标 发展水平和平均发展水平 增长量和平均增长量 发展速度和增长速度 平均发展速度和平均增长速度平均增长量平均增长量 为了反映一定时期内平均每期增长的数量，可采用平均增长量指标，其计算公式为：1逐期增长量之和平均增长量逐期增

25、长量个数累积增长量时间序列项数10.6 时间序列的动态分析指标时间序列的动态分析指标 发展水平和平均发展水平 增长量和平均增长量 发展速度和增长速度 平均发展速度和平均增长速度发展速度发展速度它是时间序列中两个时期发展水平的比，即发展速度报告期水平 基期水平发展速度是用来研究社会经济现象发展程度的相对指标，说明报告期水平已发展到基期水平的若干倍。发展速度发展速度 根据基准期的不同，发展速度可以分为定基发展根据基准期的不同，发展速度可以分为定基发展速度和环比发展速度速度和环比发展速度01120000nnaaaaaaaaa定基发展速度是以各个报告期水平同某一固定基期发展水平之比。若以表示固定基期，

26、则定基发展速度为：， ，定基发展速度用来说明被研究现象在一定时期内总的发展情况。发展速度发展速度011120121,.,nnnnna aaaaaaaaaa环比发展速度是用各报告期水平同前一期水平相比，若时间序列是那么，环比发展速度为：， ，环比发展速度用来说明研究现象逐期发展变化的情况。10.6 时间序列的动态分析指标时间序列的动态分析指标 发展水平和平均发展水平 增长量和平均增长量 发展速度和增长速度 平均发展速度和平均增长速度增长速度增长速度1增长速度是增长量与基期水平的比值，即增长量增长速度基期水平报告期水平基期水平基期水平发展速度增长速度增长速度 根据所采用的基准期不同，增长速度分为环

27、根据所采用的基准期不同，增长速度分为环比增长速度和定基增长速度比增长速度和定基增长速度1定基增长速度是用累积增长量与固定基期水平相比，即累积增长量定基增长速度固定基期水平定基发展速度它用以反映社会经济现象在一段时间内总的增长程度。增长速度增长速度1环比增长速度是用逐期增长量与前期水平相比，即逐期增长量环比增长速度前期水平环比发展速度它反映社会经济现象逐期的增长程度。10.6 时间序列的动态分析指标时间序列的动态分析指标 发展水平和平均发展水平 增长量和平均增长量 发展速度和增长速度 平均发展速度和平均增长速度平均发展速度平均发展速度 几何平均法（水平法）12n12ii 1,.nnnnx xxx

28、xx xxx若以分别表示各期的环比发展速度，则这段时间内的平均发展速度 为：312001210.nnnnnaaaaaaaaaaxxaa由可知，平均发展速度 也可以为0naa公式表明，几何平均发展速度实际上只与时间序列的最初水平和最末水平有关，而与时间序列中间各期的水平无关。因此，它无法反应序列中间各时期水平的发展变化。平均发展速度累积法平均发展速度累积法01120200012n,.,.,nnna aax xxxaa xa xa xaaa时间序列的各期发展水平为，环比发展速度为，平均发展速度为 ，则从最初水平 出发，每期按固定的平均发展速度发展，则有ni2i10naxxxax即解这个高次方程，得

29、到的 的正根就是所求的平均发展速度。平均增长速度平均增长速度 平均增长速度可以通过平均发展速度来求得，即：平均增长速度平均增长速度 平均发展速度平均发展速度1002.3 预警预测法预警预测法 现象之间的相互联系，有时表现为变动时间上呈现先现象之间的相互联系，有时表现为变动时间上呈现先后顺序。后顺序。预警预测法预警预测法 就是调查研究预测对象前兆现象的变化情就是调查研究预测对象前兆现象的变化情况，用以推断其发展前景的预测方法。况，用以推断其发展前景的预测方法。 经济波动的监测预警是预警预测法最直接最重要的应用。经济波动的监测预警是预警预测法最直接最重要的应用。 经济波动经济波动指经济增长中出现上

30、升与下降交替的循环往复指经济增长中出现上升与下降交替的循环往复运动。运动。 在监测预警过程中，监测侧重于对现行经济运行过程的在监测预警过程中，监测侧重于对现行经济运行过程的测度；而预警是对经济运行中具有突发性、倾向性和不测度；而预警是对经济运行中具有突发性、倾向性和不稳定性的因素及时发出报警信号，预测的意义更加鲜明。稳定性的因素及时发出报警信号，预测的意义更加鲜明。典型的经济波动周期包括：典型的经济波动周期包括：复苏期、扩张期复苏期、扩张期（高涨期）、收缩期（衰退期）、萧条期。（高涨期）、收缩期（衰退期）、萧条期。1.预警指标预警指标预警指标分为预警指标分为先行指标、同步指标、滞后指标先行指标

31、、同步指标、滞后指标先行指标先行指标指它的明显变化，预示着总体经济将要出现变化。指它的明显变化，预示着总体经济将要出现变化。先行指标先行指标的变化可以用来预测的变化可以用来预测同步指标同步指标将要发生的变将要发生的变化。化。滞后指标滞后指标的变化可以用来检验的变化可以用来检验同步指标同步指标发生的变化，发生的变化，使总体经济发生的变化得到确认。使总体经济发生的变化得到确认。同步指标同步指标指它的变化与总体经济的变化相一致的指标。指它的变化与总体经济的变化相一致的指标。滞后指标滞后指标指它的变化比同步指标的变化滞后一个时期，滞后指它的变化比同步指标的变化滞后一个时期，滞后指标的变化，意味着总体经

32、济的变化已经发生，变化的事实指标的变化，意味着总体经济的变化已经发生，变化的事实可通过滞后指标得到确认。可通过滞后指标得到确认。指标体系中代表总体经济变化的基准称为指标体系中代表总体经济变化的基准称为基准循环指基准循环指标。标。先行指标、同步指标、滞后指标的确定：先行指标、同步指标、滞后指标的确定：（1）根据基准循环指标，将其处于高峰和低谷的日期）根据基准循环指标，将其处于高峰和低谷的日期（即循环转折点）定为基准日期。（即循环转折点）定为基准日期。（2）以基准循环指标为参照系，划分先行、同步、滞）以基准循环指标为参照系，划分先行、同步、滞后指标。后指标。图示对比法：图示对比法：把被比较指标的循

33、环与基准循环画在同一张曲把被比较指标的循环与基准循环画在同一张曲线图中，如果被比较指标的峰和谷总是（或绝大部分）保持线图中，如果被比较指标的峰和谷总是（或绝大部分）保持比较稳定的先行关系，则可定为先行指标。用同样的方法可比较稳定的先行关系，则可定为先行指标。用同样的方法可以划分同步指标和滞后指标。以划分同步指标和滞后指标。2.2.预警指标选择的原则预警指标选择的原则（1）经济性质的重要性。）经济性质的重要性。所选指标要能反映某一方面的所选指标要能反映某一方面的经济活动，对经济增长波动有较大影响作用；整个指经济活动，对经济增长波动有较大影响作用；整个指标体系覆盖面广，能反映经济运行的基本趋势。标体系覆盖面广，能反映经济运行