数学必修ⅱ北师大版 空间直角坐标系 课件

1、1空间直角坐标系空间直角坐标系2三年三年1 1考考 高考指数高考指数: :1.1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；2.2.会推导空间两点间的距离公式会推导空间两点间的距离公式. .31.1.本节内容是用向量法解决立体几何问题的基础，属了解内本节内容是用向量法解决立体几何问题的基础，属了解内容，一般不单独命题容，一般不单独命题2.2.本节内容的重点是空间点的坐标的确定及空间两点间的距本节内容的重点是空间点的坐标的确定及空间两点间的距离；离；3.3.通过求点的坐标考查空间想象能力，通过求两点间的距离通过求点的坐标考查空间想象能力，

2、通过求两点间的距离考查计算能力考查计算能力. .41.1.空间直角坐标系空间直角坐标系(1)(1)空间直角坐标系的建立空间直角坐标系的建立( (如图如图) )5()()坐标系为坐标系为_系系; ;()()指指_,_,记为记为_;_;()()指指_轴轴, ,指指_轴轴, ,指指_轴轴; ;()()和和, ,和和, ,和确定的平面分别指和确定的平面分别指_平面平面, ,_平面平面,_,_平面平面. .右手右手原点原点O Ox xy yz zxOyxOyyOzyOzxOzxOz6(2)(2)空间直角坐标系中的点的坐标空间直角坐标系中的点的坐标类似于平面直角坐标系中点的坐标表示，在空间直角坐标系类似于

3、平面直角坐标系中点的坐标表示，在空间直角坐标系中，用一个三元有序数组来刻画空间点的位置，任意一点中，用一个三元有序数组来刻画空间点的位置，任意一点P P的的坐标记为坐标记为_._.(x,y,z)(x,y,z)7【即时应用即时应用】(1)(1)思考思考: :空间直角坐标系中的坐标平面把空间分成几部分？空间直角坐标系中的坐标平面把空间分成几部分？提示：提示：三个坐标平面把空间分为八部分三个坐标平面把空间分为八部分. .(2)xOz(2)xOz平面内点的坐标的特点是平面内点的坐标的特点是_._.【解析解析】点在点在xOzxOz平面内平面内, ,故点在故点在y y轴上的射影一定是坐标原轴上的射影一定是

4、坐标原点点, ,其纵坐标为其纵坐标为0,0,横坐标、竖坐标不确定横坐标、竖坐标不确定. .答案：答案：纵坐标为纵坐标为0 08(3)(3)在空间直角坐标系中，点在空间直角坐标系中，点M(-5,3,1)M(-5,3,1)关于关于x x轴的对称点坐轴的对称点坐标为标为_._.【解析解析】关于关于x x轴的对称点坐标，横坐标不变，其余坐标变轴的对称点坐标，横坐标不变，其余坐标变为相反数为相反数. .答案：答案：(-5,-3,-1)(-5,-3,-1)92.2.空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式(1)(1)如果长方体的长、宽、高分别为如果长方体的长、宽、高分别为a a、b b、c c，那么对角线

5、长，那么对角线长d=_.d=_.(2)(2)空间两点空间两点A(xA(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )、B(xB(x2 2,y,y2 2,z,z2 2) )间的距离间的距离|AB|AB|=_.=_.222abc222212121(xx )(yy )(zz )10【即时应用即时应用】(1)(1)思考思考: :在平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，在平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，那么在空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢那么在空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢? ?提示：提示：是以定点为球心，以定长为半径的球面是以定点为球心，以定长为半径的

6、球面. .11(2)(2)已知空间两点已知空间两点A(2,0,4),B(-6,2,-2)A(2,0,4),B(-6,2,-2)，则线段，则线段ABAB的中点到原的中点到原点的距离为点的距离为_._.【解析解析】由中点坐标公式可得线段由中点坐标公式可得线段ABAB的中点为的中点为(-2,1,1),(-2,1,1),故到故到原点的距离为原点的距离为 答案：答案：2222116.（）612(3)(3)已知点已知点P(1,1,1),P(1,1,1),其关于其关于xOzxOz平面的对称点为平面的对称点为PP，则，则 =_.=_.【解析解析】由题意得由题意得P(1P(1，-1-1，1),1),答案：答案：

7、2 2PP 222PP1 11 11 12. （）（）（） 13 求空间点的坐标求空间点的坐标【方法点睛方法点睛】1.1.建立恰当坐标系的原则建立恰当坐标系的原则(1)(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直；合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直；(2)(2)尽可能地让点落在坐标轴或坐标平面上尽可能地让点落在坐标轴或坐标平面上. .142.2.求空间中点求空间中点P P的坐标的方法的坐标的方法(1)(1)过点过点P P作与作与x x轴垂直的平面，垂足在轴垂直的平面，垂足在x x轴上对应的数即为点轴上对应的数即为点P P的横坐标；同理可求纵坐标、竖坐标的横坐标；同理可求纵坐标、竖坐

8、标. .(2)(2)从点从点P P向三个坐标平面作垂线，所得点向三个坐标平面作垂线，所得点P P到三个平面的距到三个平面的距离等于点离等于点P P的对应坐标的绝对值，再判断出对应数值的符号，的对应坐标的绝对值，再判断出对应数值的符号，进而可求得点进而可求得点P P的坐标的坐标. . 15【例例1 1】(1)(1)空间直角坐标系中空间直角坐标系中, ,点点P(2,3,4)P(2,3,4)在在x x轴上的射影的轴上的射影的坐标为坐标为_._.(2)(2)已知正三棱柱已知正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的各棱长均为的各棱长均为2 2，以，以A A为坐标原点为坐标原点建立适当

9、的空间直角坐标系，求其各顶点的坐标建立适当的空间直角坐标系，求其各顶点的坐标. .【解题指南解题指南】(1)(1)空间直角坐标系中空间直角坐标系中, ,点在点在x x轴的射影的坐标轴的射影的坐标满足横坐标相同满足横坐标相同, ,纵、竖坐标均为零纵、竖坐标均为零.(2).(2)注意空间直角坐标注意空间直角坐标系的建立以及三棱柱底面三角形角的大小系的建立以及三棱柱底面三角形角的大小. .16【规范解答规范解答】(1)(1)点点P(2,3,4)P(2,3,4)在在x x轴上的射影的横坐标与点轴上的射影的横坐标与点P P相同相同, ,纵坐标、竖坐标均为纵坐标、竖坐标均为0.0.故射影坐标为故射影坐标为

10、(2,0,0).(2,0,0).答案：答案：(2,0,0)(2,0,0)(2)(2)以以A A点为坐标原点，点为坐标原点，ACAC、AAAA1 1所所在直线分别为在直线分别为y y轴、轴、z z轴建立空间轴建立空间直角坐标系，如图所示直角坐标系，如图所示. .17设设ACAC的中点是的中点是D D，连接，连接BDBD，则，则BDyBDy轴，且轴，且BD=BD=A(0,0,0), C(0,2,0)A(0,0,0), C(0,2,0)，A A1 1(0,0,2), C(0,0,2), C1 1(0,2,2).(0,2,2).B( 3,1,0),1B ( 3,1,2),3，18【互动探究互动探究】本

11、例本例(2)(2)中若以中若以ACAC的中点的中点D D为坐标原点，以为坐标原点，以DB,DCDB,DC所在直线分别为所在直线分别为x x轴、轴、y y轴建立适当的空间直角坐标系，试写出轴建立适当的空间直角坐标系，试写出各顶点的坐标各顶点的坐标. .【解析解析】建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系, ,如图所示，则如图所示，则A(0,-1,0), C(0,1,0)A(0,-1,0), C(0,1,0)，A A1 1(0,-1,2), C(0,-1,2), C1 1(0,1,2).(0,1,2).B( 3,0,0),1B ( 3,0,2),19【反思反思感悟感悟】1.1.建立坐标系时，常常利用或

12、构造两两垂直的三条直线来解建立坐标系时，常常利用或构造两两垂直的三条直线来解题，特别是所给图形中的垂直关系，更要合理利用题，特别是所给图形中的垂直关系，更要合理利用. .2.2.对同一几何体，建立的坐标系不同，所得点的坐标也不对同一几何体，建立的坐标系不同，所得点的坐标也不同为方便同为方便, ,常将尽量多的点建在坐标轴上常将尽量多的点建在坐标轴上. .203.3.类比平面直角坐标系学习空间直角坐标系类比平面直角坐标系学习空间直角坐标系从二维平面到三维空间，相应的结论也会发生变化，如平面直从二维平面到三维空间，相应的结论也会发生变化，如平面直角坐标系中角坐标系中A(xA(x1 1,y,y1 1)

13、,B(x),B(x2 2,y,y2 2),),线段线段ABAB中点的坐标为中点的坐标为 其两点间的距离公式为其两点间的距离公式为而在空间直角坐标系中而在空间直角坐标系中A(xA(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),线段线段ABAB中点的中点的坐标为坐标为 其两点间的距离公式为其两点间的距离公式为ABAB 在平面直角坐标系中，方程在平面直角坐标系中，方程1212xxyy(,)22，221212ABxxyy,（）（）121212xxyyzz(,).222222121212xxyyzz;（）（）（）21x x2 2+y+y2 2=1=1表

14、示以原点为圆心表示以原点为圆心,1,1为半径的圆，而在空间直角坐标为半径的圆，而在空间直角坐标系中，方程系中，方程x x2 2+y+y2 2+z+z2 2=1=1表示以原点为球心，表示以原点为球心，1 1为半径的球为半径的球. .22【变式备选变式备选】如图所示，长方体如图所示，长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，AB=3AB=3，BC=2BC=2，A A1 1A=1A=1，试写出：，试写出：(1)(1)长方体的所有顶点的坐标；长方体的所有顶点的坐标；(2)(2)棱棱A A1 1B B1 1的中点的中点M M的坐标的坐标. .23【解析解析】(1)(

15、1)依题意知，各顶点的坐标分别为依题意知，各顶点的坐标分别为D(0D(0，0 0，0)0)，A(2A(2，0 0，0)0)，B(2B(2，3 3，0)0)，C(0C(0，3 3，0),0),D D1 1(0(0，0 0，1)1)，A A1 1(2(2，0 0，1)1)，B B1 1(2(2，3 3，1)1)，C C1 1(0(0，3 3，1).1).(2)A(2)A1 1B B1 1的中点的中点M M的坐标为的坐标为即即22 03 1 1()222，3M(21).2，24 空间中点的对称问题空间中点的对称问题 【方法点睛方法点睛】空间直角坐标系中点的对称规律空间直角坐标系中点的对称规律已知点已

16、知点P(x,y,z)P(x,y,z)，则点，则点P P关于点、线、面的对称点坐标为：关于点、线、面的对称点坐标为：点线面点线面对称点坐标对称点坐标x x轴轴 原点原点(-x,-y,-z)(-x,-y,-z)y y轴轴 (x,-y,-z) (x,-y,-z) (-x,y,-z) (-x,y,-z) z z轴轴 (-x,-y,z) (-x,-y,z) xOyxOy平面平面 (x,y,-z) (x,y,-z) yOzyOz平面平面 (-x,y,z) (-x,y,z) xOzxOz平面平面 (x,-y,z) (x,-y,z) 25【例例2 2】如图如图, ,已知长方体已知长方体ABCD-AABCD-A

17、1 1B B1 1C C1 1D D1 1的对称中心在坐标原的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(-2,-3,-1)A(-2,-3,-1)，求其他七个顶点的坐标，求其他七个顶点的坐标. .A A1 1D D1 1D DA AC CB BB B1 1C C1 1Oz zy yx x26【解题指南解题指南】由题意知，长方体的各顶点关于原点由题意知，长方体的各顶点关于原点O O和三个和三个坐标平面及三条坐标轴具有对称性，据此可写出其他七个顶坐标平面及三条坐标轴具有对称性，据此可写出其他七个顶点的坐标点的坐标. .

18、27【规范解答规范解答】由题意得，点由题意得，点B B与点与点A A关于关于xOzxOz面对称，故点面对称，故点B B的坐的坐标为标为(-2,3,-1)(-2,3,-1)；点；点D D与点与点A A关于关于yOzyOz面对称，故点面对称，故点D D的坐标为的坐标为(2,-3,-1);(2,-3,-1);点点C C与点与点A A关于关于z z轴对称，故点轴对称，故点C C的坐标为的坐标为(2,3,-1)(2,3,-1)；由于点由于点A A1 1,B,B1 1,C,C1 1,D,D1 1分别与点分别与点A,B,C,DA,B,C,D关于关于xOyxOy面对称，故点面对称，故点A A1 1,B,B1

19、1,C,C1 1,D,D1 1的坐标分别为的坐标分别为A A1 1(-2,-3,1),B(-2,-3,1),B1 1(-2,3,1),C(-2,3,1),C1 1(2,3,1),(2,3,1),D D1 1(2,-3,1).(2,-3,1).28【反思反思感悟感悟】1.1.求对称点坐标要看点是关于轴对称还是关求对称点坐标要看点是关于轴对称还是关于坐标平面对称，明确哪些坐标发生了变化，哪些没变，一于坐标平面对称，明确哪些坐标发生了变化，哪些没变，一定要记清变化的规律定要记清变化的规律2.2.记清各类对称点坐标间的特征关系是正确解题的关键记清各类对称点坐标间的特征关系是正确解题的关键. .29【变

20、式训练变式训练】已知在矩形已知在矩形ABCDABCD中，中，A(4,1,3)A(4,1,3)，B(2,-5,1)B(2,-5,1)，C(3,7,-5)C(3,7,-5)，求顶点，求顶点D D的坐标的坐标. .【解析解析】由题意知，点由题意知，点A(4,1,3)A(4,1,3)，C(3,7,-5)C(3,7,-5)的中点为的中点为M( ,4,-1).M( ,4,-1).设点设点D D的坐标为的坐标为(x,y,z)(x,y,z)，则，则故点故点D D的坐标为的坐标为(5,13,-3).(5,13,-3).727x222x5y54,y13.2z3z 112 解得30 空间两点间的距离空间两点间的距离

21、【方法点睛方法点睛】1.1.求空间两点间距离的步骤求空间两点间距离的步骤(1)(1)建立坐标系，写出相关点的坐标；建立坐标系，写出相关点的坐标；(2)(2)利用公式求出两点间的距离利用公式求出两点间的距离. .2.2.两点间距离公式的应用两点间距离公式的应用(1)(1)求两点间的距离或线段的长度；求两点间的距离或线段的长度；(2)(2)已知两点间距离，确定坐标中参数的值；已知两点间距离，确定坐标中参数的值；(3)(3)根据已知条件探求满足条件的点的存在性根据已知条件探求满足条件的点的存在性. . 31【例例3 3】(1)(1)已知点已知点B B是点是点A(3,7,-4)A(3,7,-4)在在x

22、OzxOz平面上的射影，则平面上的射影，则|OB|OB|等于等于( )( )(A)(9,0,16) (B)25 (C)5 (D)13(A)(9,0,16) (B)25 (C)5 (D)13(2)(2)如图所示，以棱长为如图所示，以棱长为a a的正方体的三条棱的正方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，点点P P在正方体的体对角线在正方体的体对角线ABAB上，点上，点Q Q在棱在棱CDCD上上当点当点P P为对角线为对角线ABAB的中点，点的中点，点Q Q在棱在棱CDCD上运动上运动时，探究时，探究|PQ|PQ|的最小值的最小值. .32【解题指南

23、解题指南】(1)(1)根据空间点在根据空间点在xOzxOz平面上的射影的特点及距离平面上的射影的特点及距离公式求解公式求解.(2).(2)确定点确定点P P、Q Q的坐标，利用两点间的距离公式得到的坐标，利用两点间的距离公式得到|PQ|PQ|，然后利用函数知识解决，然后利用函数知识解决. .【规范解答规范解答】(1)(1)选选C.C.由题意得点由题意得点B B的坐标为的坐标为(3,0,-4),(3,0,-4),故故|OB|=|OB|=2223045. （）33(2)(2)因为因为B(0,0,a),A(a,a,0)B(0,0,a),A(a,a,0)，P P为为ABAB的中点的中点, ,所以所以又

24、点又点Q Q在棱在棱CDCD上运动，所以可设上运动，所以可设Q(0,a,zQ(0,a,z0 0) )，其中其中z z0 00,a0,a，故故|PQ|=|PQ|=因此当因此当 时，时，|PQ|PQ|的最小值为的最小值为a a aP( , , ).2 2 22222200aaaaa(0)(a)(z )(z)222220az22a.234【互动探究互动探究】本例本例(2)(2)中中, ,若将若将“点点P P为对角线为对角线ABAB的中点的中点”改为改为“当点当点P P在对角线在对角线ABAB上运动时上运动时”, ,其余条件不变其余条件不变, ,则结果如何则结果如何? ?【解析解析】显然，当点显然，当

25、点P P在在ABAB上运动时，点上运动时，点P P到坐标平面到坐标平面xOzxOz、yOzyOz的距离相等，且的距离相等，且P P在第一象限，所以可设在第一象限，所以可设P(t,t,a-t),t0,aP(t,t,a-t),t0,a，又又Q Q在在CDCD上运动，上运动，所以可设所以可设Q(0,a,zQ(0,a,z0 0) )，z z0 00,a0,a. .35所以所以|PQ|= |PQ|= = = =故当故当 时，时，|PQ|PQ|有最小值为有最小值为2220(t0)(ta)(atz ) 22202t2ata(atz ) 2220aa(zta)2(t),22 0azt2 2a.236【反思反思

26、感悟感悟】1.1.解此类问题的关键是确定点的坐标，常出解此类问题的关键是确定点的坐标，常出现的错误是将坐标求错现的错误是将坐标求错. .2.2.利用空间两点间的距离公式，可以求两点间的距离或某线利用空间两点间的距离公式，可以求两点间的距离或某线段的长度，只要建立恰当的坐标系，通过简单的坐标运算即段的长度，只要建立恰当的坐标系，通过简单的坐标运算即可解决可解决. .37【变式备选变式备选】1.1.已知点已知点A(1A(1，a a，-5)-5)、B(2aB(2a，7 7，2)(aR)2)(aR)，则，则ABAB的最小的最小值是值是( )( )【解析解析】选选B.B.|AB|AB|当当a=-1a=-

27、1时时,|AB|,|AB|取最小值取最小值(A)3 3(B)3 6(C)2 3 (D)2 6 2222(1 2a)a( 7)(-5+2)5(a 1)543 6. 3 6.382.2.在在xOyxOy平面内的直线平面内的直线x+y=1x+y=1上确定一点上确定一点M M，使，使M M到点到点N(6,5,1)N(6,5,1)的的距离最小，则此最小距离为距离最小，则此最小距离为_._.【解析解析】由已知，可设由已知，可设M(x,1-x,0),M(x,1-x,0),则则|MN|=|MN|= =|MN|MN|minmin= =答案：答案：222(x6)(1 x5)(0 1)22(x 1)51.51.51

28、39【易错误区易错误区】求点的坐标时忽略解的讨论而致误求点的坐标时忽略解的讨论而致误【典例典例】(2012(2012临沂模拟临沂模拟) )已知点已知点P P在在z z轴上，且满足轴上，且满足|OP|=1(O|OP|=1(O为坐标原点为坐标原点) )，则点，则点P P到点到点A(1,1,1)A(1,1,1)的距离为的距离为_._.【解题指南解题指南】先确定点先确定点P P的坐标，然后利用两点间的距离公的坐标，然后利用两点间的距离公式求解即可式求解即可. .40【规范解答规范解答】设点设点P P的坐标为的坐标为(0,0,z)(0,0,z)，由由|OP|=1|OP|=1得得 =|z|=1=|z|=1

29、，故，故z=z=1.1.当当z=1z=1时，点时，点P P的坐标为的坐标为(0,0,1),(0,0,1),|PA|=|PA|=当当z=-1z=-1时，点时，点P P的坐标为的坐标为(0,0,-1),(0,0,-1),|PA|=|PA|=答案：答案：2z222(0 1)(0 1)(1 1)2;222(0 1)(0 1)( 1 1)6. 26或41【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：下误区警示和备考建议：误误区区警警示示在解答本题时有两点容易造成失误：在解答本题时有两点容易造成失误：(1)(1)忽视对点忽视对点P

30、 P坐标的讨论而丢失一个解；坐标的讨论而丢失一个解；(2)(2)不能分析点不能分析点P P的特点，导致引入的参数较多而无法的特点，导致引入的参数较多而无法解题解题. . 42备备考考建建议议本节的主要内容为空间坐标系的基础知识，高考对这本节的主要内容为空间坐标系的基础知识，高考对这部分内容考查较少，因此备考时要重视如何恰当地建部分内容考查较少，因此备考时要重视如何恰当地建立空间直角坐标系、如何确定点的坐标以及如何利用立空间直角坐标系、如何确定点的坐标以及如何利用两点间的距离公式解决有关问题两点间的距离公式解决有关问题. . 431.(20121.(2012合肥模拟合肥模拟) )已知点已知点A(-3,0,-4)A(-3,0,-4)，点，点A A关于原点的对称关于原点的对称点为点为B B，则，则|AB|AB|等于等于( )( )(A)12 (B)9 (C)25 (D)10(A)12 (B)9 (C)25 (D)10【解析解析】选选D.D.由题意知点由题意知点B B的坐标为的坐标为(3,0,4),(3,0,4),故故|AB|=|AB|=222(3 3)0(44)10.442.(20122.(2012昆明模拟昆明模拟) )空间直角坐标系中空间直角坐标系中, ,设设A(1,2,a),B(2,3,4),A(1,2,a),B(2,3,4),若若|AB|= |AB|= 则实数则实数a a