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文档简介

1、容器的最大容水量问题 某仪器上有一只圆柱形的无盖水桶，桶高6厘米，半径为1厘米，在桶壁上钻有两个小孔用于安装支架，使水桶可以自由倾斜，两个小孔距桶底2厘米，且两孔连线恰为直径，水可从两个小孔向外流出.问当水桶以不同角度倾斜且没有水漏出时，这只水桶最多能装多少水？ 应用背景 物理 相关知识点知识点一：平面方程 知识点二：二重积分计算 知识点三：函数求极值解题方法 建立水桶倾斜且水不流出时液面的平面方程，它是水桶壁上点的坐标的函数，再用二重积分计算该平面下方的水容量，并利用求极值方法求出最大水容量. 解题过程第一步：xyz2ABC(0,1,6)M(0,1,t)D建立直角坐标系，设 为圆柱母线CD上

2、任意一点，两孔分别设为 和 .), 1 , 0(tM)2 , 0 , 1 (A)2 , 0 , 1(B解题过程第二步 ：设当水桶倾斜时，水平面恰好通过A,B,M三点，此平面方程为， ，整理可得 ，且 及 .22yt1022000112xyzt(2)2zty0z 解题过程第三步 ： 计算水平面下方的水容量，即圆柱位于该平面下的体积，故222:1,2D xyyt，其中DyxyttVdd 2)2()(所以 yyyyyytyyytxytytVttttyyd1)1 (4d12d12)2(2d 2)2(d)(1222122212221221122解题过程第四步 ：将V(t)对t求导得22221222)2(2)2(41)221 (4)2(2)2(41)22(2d12)(tttttttyyytVt3/222413(2)t3/232 (4)(26).3(2)t ttt yyytd121222解题过程第五步 ：34233maxV由 知可能的极值点为 ，而由于当 时 当 时 ，故最大值只能在 或 处取得.经计算得 ； ，故水桶的最大水容量为 . ( )V t4, 2tt24t ( )0,V

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