理论力学动力学22015下半学期

1、回顾：动力学研究对象：质点、质点系、刚体质点：三定律（质点微分方程）描述整个质点系特征的一些物理量：动量、动量矩、动能质点系的动量定理质点系的动量矩定理质点系的动能定理主要内容质点系动力学：研究质点系整体特征量（动量、动量矩和动能）的变化与作 力 的。动量定理动量、冲量与动量定理 10-1一、动量和冲量p 质点的动量 质点的质量与质点速度的乘积，称为质点的动量。mvv为绝对速度。p = mu动量表征物体机械强度的一种度量。p 质点系的动量各质点动量的矢量和，称为质点系的动量。 r = m urururm ur+ m+L + m= p 1122nnii设质点系由n个质点组成，其中第i个质点的质量

2、，矢径为 ri ，则质点系的质量中心（质心）C的坐为mi 标为rmrimr=iirCmrcrirzrCy3xp 质点系的动量各质点动量的矢量和，称为质点系的动量。 r = m urururm ur= mur+ m+L+ m= p 1122nniiC对于刚体系，应用分割法的思想，则有rnr=pm viCii=1r式中 vCi 表示第i个刚体质心的速度。设作用于质点（系）的力这段时间内的冲量定义为，作用时间为t，则该p作用的情况：I = F t p用的情况：= Fdt 称为元冲量dI例wvmmp=mvp=0w例2、椭圆规机构的规AB的质量为滑块A和2m1，曲柄的质量BB的的质量均为m2。已知AC细

3、直杆。m rl。曲柄和规尺均为均C1wt1曲柄以角速度w转动。求机构位置处的动量。：由质点系动量公式有Orm2vArrrm vC1 + m2vA + m坐标系，则动量的投影为m vC1 sin wt - m2n wt - m2 2lw sitcoswoswt + m2vpy = 2v= 2m1lw com2 2lw coswtt + m12swtlw (5m + 4m12yr量的大小和m2vB2m rC*1vClw+ 4m2(5m1C2Orwt解2：yrrrr= pAB+ pBp1pAm2 )vCrrr= pOC=p2rB1Cprrrr= p1 + p2= pABpA + pB2CwtrO+

4、m2 )vC + m1m2 )vCA2r例3、质杆OA量为m，长为l，AB杆的角速度亦为置时，OA杆的角速的动量解：由刚体系统的动量公式O2v= l w1CC121rrr= vA + vCvCA22v= lw + l w = 3 lwC2CC2222p = m l w + ml3w = 2mlw22例：曲柄连杆机构的曲柄OA以匀角速度设OA=OBAB都是均质杆，质量各为的动量。，曲柄B的质量也是。求当解:曲柄OA作D的速度,vDOA,指向如图AB作平面vE 以及滑转动，它的速度都须根据平面I，当f = 450连杆AB并根据几何时，cosq =l , sinq =1算得1010AB的角速度是 w

5、= 5lw ,2。= w2lw,vB系统的动量为- vB )i +(vDcosf +inq)j例求机构在图示瞬时的动量。设摆杆O1A=平行，且质量均为m1，角速度为，板AB的质量为由学知道，摆杆作转动，板AB作平动他们的质心速度分别为：AO1C1OO2方向均与摆杆垂直 vAB = vA = lw根据动量的定义，可计算出机构的动量为：方向与摆杆垂直例曲柄O2=lm1，角速度为的固定内齿轮内滚动，导杆质量为m2，在半径为量为m3，在水平槽内滑动，求该机构的总动量。分析：C曲柄作转动O2vvO2小齿轮作平面vvC1导杆作平动速度计算：曲柄质心速度为：AvO1BvAB vO= lw2小齿轮质心速度：导

6、杆速度：C 是瞬心w = vO2= wly动量计算：CP2P1曲柄的动量：O2O1小齿轮动量：BxP3导杆动量：考虑到这些动量的方向不尽相同，需要建立惯性参考系P = P= 1 (m + 2m + 4m )lw sinjx12123二、质点系的动量定理设质点系由个质点所组成，将每一个质点，内力的合力Fi所受的力分为外力的合力对于每一个质点rdF *(i = 1, 2,L, n( mii个方程求和r d ( m u= d ( Fi +iidt dt 投影式 n(e)Fixddpy= i=1ndpi=(e)izz Fdt微分形式积分形式= t1= Smiv2 x - Sx冲量定理投影形式:miv2

7、 y - Smiv1 y =FSmiv1 z = rr Fi常矢量= p1（1）若恒有miui，即质点系的动量守恒定理若作用于质点系的量和恒等于零，则质点系的动量保持为常量。 Fi，即质点系的动量守恒定理d p = rFdti讨 论例: 图示为起吊机构,已知吊装物体的重量P1、P2及P1下落的度a，不计的重量与半径，求支座处的约束反力。Fyv/2解：将整个系统作为研究对象vFxwdpx= F = F= 0xxdtv,adpy= FydtP1d ( - P1 v + P2 v ) = -P - P+ F12ydtgg 2P- 2P1 - P22F = P + Pay12 2g约束反力= 静反力

8、+ 附加 动反力例BDP解：受力分析（以中间轮为例）O2分析（杆平动、三轮平面r）Qu=w r =FDO2RFN2应用动量定理Pdp = Dd tO2= o + o + o + P uQcosj =FggFN22r sin j = F+ F- 3Q FVDON1NN 3VD= 3Q + P - P w 2r siVg静反力与附加动反力2r =10-2 质点系动量定理的应用流体是理想的、不可压缩的，流体密度是定常的。q：管道内每点的压强、速度、密度等都不随时间改变的时间内流经管内任一横截面的流体体积。、流进和流出管道的流量相等。以弯曲管道ABC流体为研究对象，考虑在 dt 时间内该段流体动量的变

9、化。Drrp = pabcd- pArrr( pabCD + pCDdc )( pABba+- rpABbaur设进口和出口截面处流体速度为2Drp =p = limdt tDt0由动量定理rqn (u2其中，FN为管壁反力。+ F1 + F2 + FNr - rF= rqv1 ) -F )Nv2由此可见，管壁反力可分成两部分：静反力和附加动反力。r= rq (vFv1 )Ndv2流体在管道中时对管壁的附加动F*r - r= rqv (v1v2 )qv =F *例水流流经固定水道。水道截面逐渐改变，并为对称截面，如图所示。水流入的速度vo=2m/s，水道进口处横截面积为0.02m2，水流出的速

10、度v1=4m/s，方向。假设水是不可压缩的，水流是定常的。试求水流作用在水道壁上的水平。解系如图vo90o= 2 0= 0Fx= vqAv11= 403xv1rr - r= rqv (v1v2 )F *例: 水泥泵以速度去，已知：流量Q解：将砂浆喷射在:上，又以速度受到的力。Fx=Q r(v2cosa)(- Qrv1)Q r(v2cosa+ Qv2aFxv1av2F动= r Q(v2-v1)例uu12解：b空气流经过风扇，由叶片转动形成的边界所限定。b气流没有进入叶片之前，横截面很大，在入口处气流的速度与出口处相比很小，即b分析质量流的受力考察刚要进入和刚刚排出的一段空气流，空气流所受叶片的约

11、束力为Ff ；F fu1uy2q(u2-u1 )向 y 轴投影= Au。因此，上式可写为b分析不空气流的风扇受力F 静滑动摩擦力；FN 台面对风扇的约束力；空气流对风扇的反作用力Ff=fs min Au 2A=fminW10-3质心定理设质点系由n个质点组成，其中第i个质点的质量为矢径为ri，则质点系的质量中心（质心）C的坐标为rrm rC = mirrC将上式对时间求两次导数m d u dt rC= mur= =rm=m aCCirrr iiu = muCp =mrF质点系质量与质心于作用于质点系上外度乘积等矢量。d 2 x=F= FmC eixRxdt 2d 2 y=F= Fmc e 质心

12、定理的直角坐标iyRydt 2d 2 z= Fmc eFizRzdt 2v2=e inm c Fr 质心定理的自然坐标d v=emc dtFtyF= 0eb2 v2 vm d rcdrci= m刚体系统：idt 2= Fidt 2r iCi=FRem ar Fim aCr=m aFi，设想此质点集中了整个质点系所有的质量刚体系统质心定理中，中各质点的迹不同，但质心的轨迹近似一抛物线，由此可初步估计出大部分物块堆落的地方。，设想此质点集中了整个质点系所有的质量rF = 0,= 0 ，即则有aC（1）若恒有iruC = 常矢量rr若开始时 uC= 0, 则有 rC = 常矢量，即质心的位置不变 F

13、xi= 0, 则= 常量，则有xc常数，即质心的 轴坐标不变 质心守恒定理 质心质心定理的意义：定理在质点系动力学中具有重要义。当作用于质点系的外力已知时，根据这一定理可确定质心的规律。学的知识可知，若将质心取为基点，可分为随质心的平移（质心的转动两部分。若这两部分都已知和相对于动定理可求出其中平移部分的规律皆可知。规律例 质量为m，可以在水平弹簧常量为k的弹簧，一端与滑块相连接，另杆AB长L，质量忽略不计，A端与滑块铰接，质量m1，在铅直面内可绕点转动，设在力偶转动角速度w为常数。如在初瞬时，角j = 0，弹簧恰，求滑块A的方程。解：取滑块A、杆AB和质量m1组成的系统为研究对象，画受力图，

14、建坐标系如图。坐标原点为初瞬时弹簧未伸长时的滑块A所在位置。解：由质心定理= SFxSmi ai x= &x&a1x= (x + l sinj)- lj& 2 sinjm&x& + m (&x& - ljj )= -k (m + m1 )+ kx =(称k=m + m1已知：杆长为 2l； m ；w ；a求： 转轴 O 处的约束力。j解：取杆为研究对象wata ; a= l= ln2学原理)aCCa= -atsinj - acosj = -l(a sinj - w2 cosj)nCxCCFOya= -atcosjsinjacosj- w sinj)+ a= -n2l(CyCCFOx F (e)

15、= F= maOanxOxCxC F (e)= F- mg = mayOyCyaC= -ml(a sin j - w 2 cosj )= mg - ml(a cosj - w 2 sin j )FOxmgFOy例解：m2 g外壳、定子、转子m g1FxMFy2、分析，各刚体质心的度C2a= 0,aaC1C2C2C1m1 gm2 g应用质心定理Fx= FximaCxMma= FFyCyyi= ew 2coswt =2sin wt = Fy- m- m2 gm2ewcoswt=FxFym2 w sin wt1g + m2 gew 2coswt- m2ew si wt2Fy = + Fy、约束反力（

16、约束反力=静反力 +附加动反力）Fx0, Fy = m静约束反力F = -mw2coswt动约束反力xFy = -m2ewwtF = -m2x2wF = -m e2y2AB长为 l ，铅垂地立在光滑的水平例面上，求它从铅垂位置无初速度地倒下时，端点解：AB杆初始静止，且下落过程中始终有 Fx=（仅在铅垂方向受重力、地面竖向约束力作用，受力图略）故水平方向（建直角坐标系如图，即沿应守恒，质心轴上，在任意位置（位置应始），A点l2yA = l sinqcosqxA =By例等腰直角三角形B长为12cm，AB铅垂平板在重力作用下无初速边的中点M点的光滑MCD解：1.以板为研究对象，画受力图。qxAM

17、 2.标法。建坐标系如图（直角坐)= 03.假设质心为C， 显然，水平方向质心守恒。x=C4. 在三角形下落过程中的任意位置建立M点的2维方程。y例等腰直角三角形B长为12cm，AB铅垂平板在重力作用下无初速边的中点M点的轨迹MCD解：AM =AD2 + DM2=90cmAC = 2 AM = 2CM =AM =90cmqx33AM 190cm33yAM = BM sin 45o = 3cm=x常量BCM y= AM sin j =90 sin jMC90 cosj= x+ CM cosj = 2 +xMC3D9( x - 2)2 + y2 = 90jAx例:浮吊举起质量m的P为300,求夹角

18、转到60 时浮吊的位移，设浮吊质量AO=8m,水阻力不计。解：yvc=0,xc=c 。t=0,xm ( a + l cos 60+ m 0 12m1 + m2cos 300 - Dx ),Dx,am + m12266m,例一木板放光滑的水平面上在某一时刻，人以相对于板的速度u沿板试求人的绝对速度v1绝对速度v。设板人的质量为m （初始人与板均静止）.解：取人和板为研究对象水平方向系统合力为零， 平方向系统动量守恒。M v + m(v + u) = px0 = 0mMv = v + u = -u + u =u1m + Mm + M 例 今有长AB质量为M的小车，假设车轮与地面间的摩擦力可忽略不计

19、，初瞬时静止。求当人从B点时，车移动距离解：取人和小车为研究对象因水平方向系统合力为零，且VC0=0，所以水平方向质心位置守恒。 例4 今有长AB质量为M的小车，假设车轮与地面间的摩擦力可忽略不计，初瞬时人车静止。求当人从B点时，车移动距离。解：建立图示坐标系，假设初O与A点重合。假点走到B点时，= Gi xixCG= mi xixCm例：在质量Mg的驳船上用绞量m=5kg的箱子，不计水阻力，开始子均静止，试求：与箱）当箱子相对于船的移动速度为3m/s时，驳船移动的速度v；当箱子相对于船拉过10ms。驳船移例一梯形块置于光滑水平面上，质量为m4C分别为 m =20kg、 m3=10kg，假设滑轮和绳索的质量忽略不计，求物块A分析：m 时，梯形块的位移。ll2l3B定理中El1CC1x60 x&C 0 = 0质心位置不变C1标系，在系统初始位置建立y系统初瞬时质心坐标为：ll2l3BEl1CC1D x设梯形块位移为x60末瞬质心坐标为：m D x + m (