有噪信道编码

1、第第5章章有噪信道编码有噪信道编码 第第5章章 有噪信道编码有噪信道编码 内容提要本章介绍了信道编码和译码的基本概念，介绍了两种常用的译码准则：最大后验概率译码准则和极大似然译码准则,还介绍了在这两种译码准则下错误概率的计算方法。本章还介绍了信道编码定理及信道编码逆定理，以及信息论中的一个重要不等式Fnao不等式。 5 51 1 信道编码的基本概念信道编码的基本概念 将信道用图5-1所示的模型表示。信道编码器信道信道译码器uxyX X图5-1 信道模型 信源输出序列u，经信道编码器编成码字x = f (u) 并输入信道，由于干扰，信道输出y，信道译码器对y估值得 = F (y) 。 X X 我

2、们要尽可能的提高信息传输率，并控制传输误差。信源编码以提高传输效率传输效率作为主要考虑因素，信道编码以提高传输可靠性传输可靠性作为主要考虑因素。这一章讨论信道编码的一些基本概念及信道编码定理。【例例5.3】 逆重复码逆重复码 离散无记忆二进制对称信道，固有误码率为p (p0.5)，信源输出序列为三位二进制数字。编码规则：为提高传输效率，仅向信道发送一位，预先将信源输出序列进行择多编码:00000000011101010011101111001110判决输出接收发送原序列pp图6-3 逆重复编码传输示意图 译码规则：将接收的一位符号重复三次译出，即若接收到1就译码为111，即若接收到0就译码为0

3、00。信源输出的三位符号中有两位或3位是1，信源序列编码为1，若三位符号中有两位或3位是0，就将此信源序列编码为0。计算差错概率pe ：分二步进行： （1）先设p = 0，计算这种编码方法带来的固有错误p1信道输入符号集X = 000,001,010,011,100,101,110,111判决输出符号集Y = 000,111译码规则因为后验概率 则出错概率 111)111110101011(000)100010001000(，FF41)111111()41)000000()y yx xy yx x（43411)111()(43411)000()(epyepepyep假设8组输入序列是等概发送的

4、，由于信道的对称性，两个估值序列也是等概分布的，则每个序列的平均错误概率为 ，误比特率 。（2）再设p0，计算由于信道噪声引起的错误概率p2因为每个序列有三位二进制数字，但只发送一位，这一位的出错概率为p，故序列差错概率为p，误比特率 。（3）总差错概率（误比特率）：43)111(5 . 0)000(5 . 0epep4143311ppp312ppppe314121【例例5.4】 奇偶校验码奇偶校验码 在信息序列后面加上一位校验位，使之模2和等于1，这样的编码称为奇校验码；若使模2和等于0，这样的编码就称为偶校验码，即每个码矢中1的个数固定为奇数或偶数。 5 52 2 译码规则及错误概率译码规

5、则及错误概率 信道总不可避免会搀杂噪声，所以信息在信道传输过程中，差错是不可避免的。选择合适的译码规则可以弥补信道的不足。1最大后验概率译码准则最大后验概率译码准则发送码矢x xk ，其发送概率为q(x xk) ，通过信道转移概率为p(y yx xk)的信道传输，接收到矢量y y，信道译码器输出 通信过程可用图65所示框图表示。,kx x下面介绍两种典型的译码规则： kx x信源信道编码器信道信道译码器信宿干扰xky图55 通信过程框图 当估值 xk 时，就产生了误码，用（xy）表示后验概率，则收到y估错的概率为 （5-2） kx x kikikkepy yx xy yx xy yx xx x

6、y y1通信总希望错误概率最小，由式(5-2)可看出错误概率pe (xk ) 最小等同于后验概率（xky）最大，这就是最大后验概率译码准则最大后验概率译码准则。 根据概率关系式 （5-3） )()()(y yxyxyy yx xp根据式（5-3）后验概率（xy）最的就意味着p（x y）全概率最大，因此最大后验概率译码准则也称为最大联最大联合概率译码准则合概率译码准则。【例例5.5】信源分布 ，信道转移概率矩阵 ,信道输出符号Y = y1, y2, y3，按最大后验概率准则译码。4 . 01 . 05 . 0)(321xxxXqX4 . 03 . 03 . 02 . 07 . 01 . 02 .

7、 03 . 05 . 0P P(1)(1)根据p (xy) = p (yx) q(x) 算出全概率，用矩阵表示 16. 012. 012. 002. 007. 001. 010. 015. 025. 0)(xyp (2)(2)根据 ，算出 （y） = 0.38 0.34 0.28 ijijyxpy)()( (3)(3)再由 算出后验概率，用矩阵表示 )()(yxypyx28. 016. 034. 012. 038. 012. 028. 002. 034. 007. 038. 001. 028. 010. 034. 015. 038. 025. 0)( yx (4) (4)按最大后验概率准则译码

8、，在后验概率矩阵中，每列选一最大值（矩阵中带下划线的值），译为 331211xyxyxy(5)(5)若按最大联合概率译码准则译码，在全概率矩阵 p(xy)中每列选一最大值（矩阵中带下划线的值），也可译出 331211xyxyxy在实际应用中，一般按最大信道转移概率来确定估值 ，即在收到矢量y后，在所有的xm (m =1, 2, , M) 中,选一个转移概率p(yxm)最大的xm值，作为对y的估值 = xk ，这一译码规则称为极大似然译码规则极大似然译码规则。 x xkx x2极大似然译码准则极大似然译码准则 3平均错误概率平均错误概率 （6-4） 【例例5.6】 计算例6.5的平均错误概率，若

9、信源等概分布，对其译码，并求平均错误概率。 Mjjejepp1)(y yy yMjkMiMjjipp111)()(y yx xy yx xy yx xy yy yx xx xy y)()(kppkpx x- -x xy yx xy y)(Mjkj11)(y yx xy yMjkj1)(1y yx xy y （1）求平均错误概率pe 根据式（6-4）得= 0.01+0.12+0.07+0.12+0.1+0.02 = 0.44 kppex x- -x xy yxyxy)(2)当信源等概分布，按最大似然函数译码准则译码，例6.5已给出信道转移概率矩阵 在矩阵的每列中选一最大值(矩阵中带下划线的值)，

10、译码为平均错误概率 4 . 03 . 03 . 02 . 07 . 01 . 02 . 03 . 05 . 0P P332211xyxyxy467. 02 . 02 . 03 . 03 . 03 . 01 . 031ep5 53 3 信道编码定理信道编码定理定理定理5.1 对于任何离散无记忆信道DMC，存在信息传输率为R，长为n的码，当n 时，平均差错概率 pe exp- nE (R)0，式中E (R) 为可靠性函数，E ( R )在0 R C的范围内为正。 一 随机编码方法 选用长为n的定长码，共可构成k n个矢量，设有M个消息待传（M k n），每次随机地从k n个矢量中抽出M个矢量构成一

11、个码集C（允许重复取）C = x1 , , x m , , x M共可构成k nM个这样的码集。由随机编码的构造方法，得到任何一个码字的概率相同，且相互独立。 上述定理也称有噪信道编码定理信道编码定理，即Shannon第二定理。 二Gallager上界因为上述按随机编码方法构成的码集是等概分布的，按照最大释然译码准则译码，在发送码矢xk时，要得到正确译码须满足 ，即 （5-5） kmppmkx xy yx xy y1mkppx xy yx xy y01mkppx xy yx xy y定义示性函数MmppppImkmkk, 2 , 1)()(1)()(0)(x xy yx xy yx xy yx

12、 xy yy y则发送码矢xk判错的概率为 （5-6） kkkepIpx xy yy yx xy y根据式(5-5)，当0 , 1时，下式成立mkmkkmkmppppppx xy yx xy yx xy yx xy yx xy yx xy y当当10用示性函数Ik (y)表示上式，即 （5-7） kikmkppIx xy yx xy yy y将式(5-7)代入式(5-6)，得kmkmkkeppppx xy yx xy yx xy yx xy y式中0 , 1，因为 , 都是任意数，可取 ，则有 （5-8） 11kmmkkeppp1111x xy yx xy yx x三三 随机编码错误概率上界随

13、机编码错误概率上界 Gallager限仅给出发送码矢xk时的错误概率上界，还要对全部码矢求平均，下面对上述的随机编码集合求平均。 对于随机编码，各码字等概且独立，有，对式(6-8)求统计平均值，得平均错误概率上界 MmmMmqq11x xx xx xx x, keMmpqpMx xx xx xx xx xx x,e,11 y yx xx xx xy yx xy yx xx xx xkmmkMppqqqM1111211, y yx xx xx xy yx xx xy yx xkmkmmmkkpqpq1111(5-9) 后面一项 ，因为0 1，而x 是x的型凸函数，由型凸函数的定义知：函数均值 均

14、值函数，即有 (5-10)mkmmmpqx xx xy yx x11kmmmkmmmpqpqmm1111x xy yx xx xy yx xx xx x因为 xm (m = 1,2, M) 都通过同一信道传输，故p(y yxm)值相同，记为p(y yx)，代入式（510）得 (5-11) kmmmpqm11x xy yx xx x 11)1(x xy yx xx xpqM 将式(5-11)代回式(5-9)， （512） 1111) 1(x xy yx xx xy yx xx xy yx xpqMpqpkkke y yx xx xy yx x111) 1(pqM四离散无记忆信道DMC的错误概率上

15、界 对于n维离散无记忆信道DMC，有 ，对于随机编码 ，将这两个关系式代入式(5-12)，有niiixypp1)(x xy y niixqq1)(x x 1111111111)()()()(1yyxxNNNeNNxypxqxypxqMp NiyxiiiiixypxqM1111)()(1（513） 序列x = x1, xi, , xn 中的 xi,取自同一符号A=a1,a2,ak，故分布q(xi)相同, yxyxiiixypxqxypxqii111111)()()()(（514） 将式（514）代入式（513），得 （515） nyxexypxqMp 111)()(1nyxxypxqM 111)

16、()(五 可靠性函数E (R ) 信息传输率 ，则式(515)可写为： (5-16) RneMnMRlnnyxxypxqRneeep 111)()(ln记10, ),()()(ln0111 qExypxqyx则式(5-16)可写成 pe exp -n -R + E0 (, q ) (5-17) 对式(5-17)右边求极小值，即对指数-R + E0 (, q )求极大值,记这个极大值为则式(5-17)可写为pe exp -n E (R ) 称E (R )为可靠性函数可靠性函数,也称随机编码指数，它与信道转移概率p(yx)有关。 RqEREq),(maxmax010 在0 R C的范围内，E (R

17、 )是下降的、下凹的正值函数，说明E (R )有界，这样，当 时，有exp -nE (R ) 0，从而pe C，不可能存在任何方法使差错概率任意小。H (U) = H (U1L-1,UL) = H (U1L-1) + H (ULU1L-1) (5-26) LUHLHLHLLL)()()(1111U UU UU U式中 U1L 1 = U1U2UL-1 (5-27) LHUHLL)()(11U UU U另一方面根据熵的链规则有H (U) = H ( U1) +H (U2U1) +H (U3U1U2)+ +H (ULU1U2UL-1) H (U1U1U2UL-1)+ H (U2U1U2UL-1)

18、+ +H (ULU1U2UL-1)= L H (ULU1L 1 ) 因 ul 取自同一符号集将式（527）代入式（526），得 (5-28) LHLLHLHL)(1)()(11U UU UU U1)()(11LHLHLU UU U式（528）表示 是L的单调降序列。而由熵的非负性，说明 有下界，其下界为H (U) ，即LH)(U ULH)(U U UHLHLU Ulim 考虑图56所示的通信过程，矢量u、x、y、 中的所有元素都取自同一符号集A = a1, a2, , ak 。u u图56 通信过程信源信道编码器信道信道译码器信宿u uuxy干扰根据数据处理定理：不论经过何种数据处理均使信息量减少。 由图56可见 , 对于离散无记忆信道，根据定理5.1有Cn nC ,则 Cn nC （529） );();(Y YX XU UU UII);();(Y YX XU UU UII另一方面 )U UU UU UU U()();(HHIU U )( );()(U UU UU UU UU UHIH(5-30) 将Fano不等式的矢量式（524）及式（629）代入式（530）得 H(U) - nC L H2 (pe) + pe log (k -1) (5-31) 考虑到式（525），在L 条件下，H(U) = L H (U)，代入到式（5