数字电子技术及应用

1、数字电子技术及应用课程特点课程特点：数字电路是一门技术基础课程，它是学习：数字电路是一门技术基础课程，它是学习微机原理、接口技术等计算机专业课程的基础。既有微机原理、接口技术等计算机专业课程的基础。既有丰富的理论体系，又有很强的实践性。丰富的理论体系，又有很强的实践性。数字电路内容数字电路内容：基础内容；基础内容；组合逻辑电路；组合逻辑电路；时时序逻辑电路；序逻辑电路；其他内容。其他内容。学习重点学习重点：在具体的数字电路与分析和设计方法之在具体的数字电路与分析和设计方法之间，以分析和设计方法为主；间，以分析和设计方法为主；在具体的设计步骤与在具体的设计步骤与所依据的概念和原理之间，以概念和原

2、理为主；所依据的概念和原理之间，以概念和原理为主；在在集成电路的内部工作原理和外部特性之间，以外部特集成电路的内部工作原理和外部特性之间，以外部特性为主。性为主。数字电子技术基础数字电子技术基础一、模拟信号和数字信号一、模拟信号和数字信号 模拟信号：在时间和数值上连续变化的信号。模拟信号：在时间和数值上连续变化的信号。 时间上连续，幅值上也连续时间上连续，幅值上也连续数字信号：在时间和数值上变化是离散的信号。数字信号：在时间和数值上变化是离散的信号。 时间上离散，幅值上整数化时间上离散，幅值上整数化 tt二、模拟电路和数字电路二、模拟电路和数字电路v 模拟电路：工作在模拟信号下的电子电路。模拟

3、电路：工作在模拟信号下的电子电路。v 数字电路：工作在数字信号下的电子电路。具体讲，数字电路：工作在数字信号下的电子电路。具体讲，数字数字电路就是对数字信号进行产生、存储、传输、变换、运算电路就是对数字信号进行产生、存储、传输、变换、运算及处理的电子电路。及处理的电子电路。三、数字电路的优点三、数字电路的优点v 精确度较高；精确度较高；v 有较强的稳定性、可靠性和抗干扰能力；有较强的稳定性、可靠性和抗干扰能力；v 具有算术运算能力和逻辑运算能力，可进行逻辑推理和逻具有算术运算能力和逻辑运算能力，可进行逻辑推理和逻辑判断；辑判断；v 电路结构简单，便于制造和集成；电路结构简单，便于制造和集成；v

4、 使用方便灵活。使用方便灵活。一、数制的几个概念一、数制的几个概念：在某一进位制的数中，每一位的大小：在某一进位制的数中，每一位的大小都对应着该位上的数码乘上一个固定的数，这个固定的数就都对应着该位上的数码乘上一个固定的数，这个固定的数就是这一位的权数。权数是一个幂。是这一位的权数。权数是一个幂。 ：表示数时，仅用一位数码往往不够用，必须：表示数时，仅用一位数码往往不够用，必须用进位计数的方法组成多位数码，且多位数码每一位的构成用进位计数的方法组成多位数码，且多位数码每一位的构成及低位到高位的进位都要遵循一定的规则，这种计数制度就及低位到高位的进位都要遵循一定的规则，这种计数制度就称为进位计数

5、制，简称数制。称为进位计数制，简称数制。 ：进位制的基数，就是在该进位制中可能用到的数码：进位制的基数，就是在该进位制中可能用到的数码个数。个数。1.2.1 1.2.1 数制数制类别类别十进制十进制(Decimal)二进制二进制(Binary)八进制八进制(Octal)十六进制十六进制(Hexadecimal)数码数码0,1,90,10,1,70,1,9,AF基数基数102816进位规则进位规则逢逢10进进1逢逢2进进1逢逢8进进1逢逢16进进1第第i i位的权值位的权值10i i2i i8i i16i i二、几种常用数制二、几种常用数制结论：结论： 一般地，一般地，R进制需要用到进制需要用到

6、R个数码，基数是个数码，基数是R ；运算规律为逢；运算规律为逢R进一。进一。 如果一个如果一个R进制数进制数M包含位整数和位小数，即包含位整数和位小数，即 (M)R (an-1 an-2 a1 a0 a1 a2 am)R 位置记数法位置记数法 an-1 R n-1 an-2 R n-2 a1 R 1 a0 R 0a1 R -1 a2 R -2 am R m 按权展开法按权展开法 R1nmiiRai 几几 种种进进制制 数数之之间间的的对对应应关关系系十进制数二进制数八进制数十六进制 数0123456789101112131415000000000100010000110010000101001

7、100011101000010010101001011011000110101110011110123456710111213141516170123456789ABCDEF103210123237511212120212120210111011).().( 1010128525450687643848687834376).(.).( 102101216066493916116116111610163113).()( AB 2101101061051021015612 .例：例： 数制转换：任意进制按权展开即可得到十进制数。数制转换：任意进制按权展开即可得到十进制数。1.任意进制数转换为十进制

8、数任意进制数转换为十进制数 按权展开，相加即可得按权展开，相加即可得。2.十进制数转换为任意进制数十进制数转换为任意进制数 整数部分：整数部分：除基数除基数R倒取余法倒取余法 小数部分：小数部分：乘基数乘基数R取整法取整法例例2. 将十进制数将十进制数 (25.638)10 转换为二进制数。转换为二进制数。 三、数制间的转换三、数制间的转换(25)10=(11001)2(0.638)10=(0.1010)2(25.638)10=(11001.1010)23.二进制数和八进制数、十六进制数间的转换二进制数和八进制数、十六进制数间的转换 八进制数和十六进制数的基数分别为八进制数和十六进制数的基数分

9、别为 8=23，16=24， 所以三位二进制数恰好相当一位八进制数，四位二进制数所以三位二进制数恰好相当一位八进制数，四位二进制数相当一位十六进制数，相当一位十六进制数， 它们之间的相互转换是很方便的。它们之间的相互转换是很方便的。1）2进制数转换为进制数转换为8进制、进制、16进制数进制数.小数点小数点2）8进制、进制、16进制数转换为进制数转换为2进制数进制数8进制数进制数 2进制数：进制数：1位变位变3位位16进制数进制数 2进制数：进制数：1位变位变4位位例例: : 求求(1101111010.1011)2 = (?)8 = (?)16二进制二进制 1 101 111 010 . 10

10、1 1 八进制八进制 1 5 7 2 . 5 4 所以所以 (01101111010.1011)2 = (1572.54) 8 二进制二进制 0011 0111 1010 . 1011 十六进制十六进制 3 7 A . B 所以所以 (01101111010.1011)2 = (37AB) 16 0000例例: : 求求(375.46)8 = (?)2 (678.A5)16 = (?)2八进制八进制 3 7 5 . 4 6二进制二进制 011 111 101.100 110十六进制十六进制 6 7 8 . A 5 二进制二进制 0110 0111 1000 . 1010 0101所以所以 (3

11、75.46)8 = (011111101.100110)2所以所以 (678.A5)16 = (1100111100010100101)21.2.2 1.2.2 代码代码 用一定位数的二进制数来表示十进制数码、字母、符号用一定位数的二进制数来表示十进制数码、字母、符号等信息称为等信息称为编码编码。 这一定位数的二进制数就称为这一定位数的二进制数就称为代码代码。 数字系统只能识别数字系统只能识别0 0和和1 1，怎样才能表示更多的数码、符，怎样才能表示更多的数码、符号和字母呢？用编码可以解决此问题。号和字母呢？用编码可以解决此问题。 用用4 4位二进制数位二进制数b b3 3b b2 2b b1

12、 1b b0 0来表示十进制数中的来表示十进制数中的 0 0 9 9 十十个数码。简称个数码。简称BCDBCD码。有多种编码方式。码。有多种编码方式。一、二十进制码（一、二十进制码（BCD码）码）对于对于N个信息，要用几位的二进制数才能满足编码呢？个信息，要用几位的二进制数才能满足编码呢？ 2n N8421码码 余余3码码 2421码码 5421码码 余余3循环码循环码编码0123456789十进种类制数几种常见的几种常见的BCD码码8421BCD码和十进制间的转换是码和十进制间的转换是直接按位（按组）转换直接按位（按组）转换。如：如： (36)10=(0011 0110)8421BCD=(1

13、10110)8421BCD (101 0001 0111 1001)8421BCD=(5179)10二、可靠性编码二、可靠性编码1.格雷码（格雷码（Gray码）码） 格雷码是一种典型的循环码。格雷码是一种典型的循环码。循环码特点：循环码特点： 相邻性相邻性：任意两个相邻码组间仅有一位的状态不同。：任意两个相邻码组间仅有一位的状态不同。 循环性循环性：首尾两个码组也具有相邻性。：首尾两个码组也具有相邻性。 十进制数十进制数格雷码格雷码十进制数十进制数格雷码格雷码00000811001000191101200111011113001011111040110121010501111310116010

14、114100170100151000两位格雷码两位格雷码00110000111100 000000111111 11三位格雷码三位格雷码四位格雷码四位格雷码0 00 11 11 01 01 10 10 00110 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 00 0 00 0 10 1 10 1 01 1 01 1 11 0 11 0 0一一 种种 典典 型型 的的 格格 雷雷 码码2. 奇偶校验码奇偶校验码 十进制数十进制数8421BCD奇校验码奇校验码8421BCD偶校验码偶校验码 信息位信息位 校验位校验位 信息位信息位 校验位校验位00

15、0 0 0 10 0 0 0 010 0 0 1 00 0 0 1 120 0 1 0 00 0 1 0 130 0 1 1 10 0 1 1 040 1 0 0 00 1 0 0 150 1 0 1 10 1 0 1 060 1 1 0 1 0 1 1 0 0 70 1 1 1 00 1 1 1 181 0 0 0 01 0 0 0 191 0 0 1 11 0 0 1 08421BCD奇偶校验码奇偶校验码3. ASCII码（码（American Standard Cord for Information Interchange） ASCII码，即美国信息交换标准代码。采用码，即美国信息交换

16、标准代码。采用7位二进制编码，用来表示位二进制编码，用来表示27（即（即128）个字符。）个字符。一、基本算术运算一、基本算术运算二进制数的运算规则二进制数的运算规则00 = 0 01 = 1 10 = 1 11 = 1000 = 0 01 = 1（借位）（借位） 10 = 1 11 = 000 = 0 01 = 0 10 = 0 11 = 1例例4：对两个二进制数：对两个二进制数(1011)2和和(0101)2进行加、减、乘、除运算。进行加、减、乘、除运算。解：解： 加法运算加法运算 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 减法运算减法运算 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1

17、 1 0即 (1011)2 + (0101)2 = (10000)2即 (1011)2 (0101)2 = (0110)2算术运算算术运算：两个表示数量大小的二进制数码之间进行的数值运算。：两个表示数量大小的二进制数码之间进行的数值运算。 乘法运算乘法运算 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 . 1 1 0 1 1 1 即 (1011)2(0101)2 = (110111)2 除法运算除法运算 100 0.111 101 00010 101 1101101 即 (1011)2(0101)2 = (10.001)2注注: : 乘数为乘数为2 2k k，则小数点向，则小

18、数点向右移右移k k位位( (右边补零右边补零) )即可得；即可得； 除数为除数为2 2k k，则小数点向，则小数点向左移左移k k位即可得商。位即可得商。如如 (1011)2(100)2 = (101100)2 (1011)2(100)2 = (10.11)2 为了方便运算，计算机中对有符号数常采用为了方便运算，计算机中对有符号数常采用3种表示方法，即原码、种表示方法，即原码、补码和反码。下面的例子均以补码和反码。下面的例子均以8位二进制数码表示。位二进制数码表示。 1原码原码 最高位为符号位，最高位为符号位，用用0表示表示正正数，用数，用1表示负数表示负数；数值部分用二进制数值部分用二进制

19、数的绝对值表示。数的绝对值表示。 例：例：+57原原=（0011 1001）2 -57原原=（1011 1001）2 二、带符号数的表示二、带符号数的表示2反码反码 正数的反码与原码相同；负数的反码为其原码除符号位外的各正数的反码与原码相同；负数的反码为其原码除符号位外的各位位按位取反按位取反（0变变1，而，而1变变0）。）。 例：例：+57反反=（0011 1001）2 -57反反=（1100 0110）23补码补码 正数的补码与其原码相同；负数的补码为正数的补码与其原码相同；负数的补码为其绝对值按位求反后在其绝对值按位求反后在最低位加最低位加1，即，即反码加反码加1 。 例：例：+57补补

20、=（0011 1001）2 -57补补=（1100 0111）2三、带符号数的运算三、带符号数的运算例：利用二进制补码运算求（例：利用二进制补码运算求（107）10（79）10的值的值。解解：(79)10 = (1001111)2 79补补 = (1 0110001)2(107)10 = (1101011)2 107补补 = (0 1101011)210779 补补 = 107补补 + 79 补补 = (01101011)2 + (10110001)2 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0自动丢弃自动丢弃= (0 0011100)2

21、10779 = (00011100)补补 = (00011100)原原 = (+28)10 按位取反按位取反 原码原码 反码反码按位取反加按位取反加1 原码原码 补码补码负数：负数：正数：原码反码补码正数：原码反码补码一、逻辑代数一、逻辑代数 逻辑代数逻辑代数是英国数学家乔治是英国数学家乔治.布尔（布尔（Geroge.Boole）于）于1847年首年首先进行系统论述的，也称先进行系统论述的，也称布尔代数布尔代数；由于被用在开关电路的分析和设；由于被用在开关电路的分析和设计上，所以又称计上，所以又称开关代数开关代数。逻辑代数中的变量称为逻辑代数中的变量称为逻辑变量逻辑变量，用，用大写字母大写字母

22、表示。逻辑变量的表示。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑取值只有两种，即逻辑0和逻辑和逻辑1。0 和和 1并不表示数值的大小，而是并不表示数值的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。表示两种对立的逻辑状态。 功能描述方法有：功能描述方法有：1）真值表真值表：即将自变量和因变量（输入变量和输出变量）的所有组合：即将自变量和因变量（输入变量和输出变量）的所有组合对应的值全部列出来形成的表格。对应的值全部列出来形成的表格。2）逻辑符号逻辑符号：用规定的图形符号来表示。：用规定的图形符号来表示。 逻辑运算：两个表示不同逻辑状态的二进制数码之间按照逻辑运算：两个表示不同逻辑状态的二进制数码之间按照某种因某种因果

23、关系果关系进行的运算。进行的运算。二、基本逻辑运算二、基本逻辑运算1. 与运算（逻辑乘）（与运算（逻辑乘）（AND）Y与运算符，也有用与运算符，也有用 “ “”、“”、“&”&”表示表示 与门逻辑符号与门逻辑符号&AYBYABAYB2. 或运算（逻辑加）或运算（逻辑加） （OR）BYA或运算符，也可用或运算符，也可用“”、“”表示表示 或运算真值表或运算真值表或门逻辑符号或门逻辑符号1 1 ABYYAB + + ABY3. 非运算（逻辑反）（非运算（逻辑反）（NOT）AY“”非逻辑运算符非逻辑运算符非运算真值表非运算真值表非门逻辑符号非门逻辑符号1AYYAAY三、复合逻

24、辑运算三、复合逻辑运算1. 与非运算（与非运算（NAND）与非逻辑真值表与非逻辑真值表ABABY Y &AYBYAB与非门逻辑符号与非门逻辑符号AYB 或非逻辑真值表或非逻辑真值表2. 或非运算（或非运算（NOR）BAY或非门逻辑符号或非门逻辑符号1 1 ABYYAB+ + ABY与或非门逻辑符号与或非门逻辑符号3. 与或非运算（与或非运算（AND-OR-NOT）ABCDYYDCAB1 1&CDABY与或非逻辑真值表与或非逻辑真值表YDCAB+ + 4. 异或运算（异或运算（XOR）异或逻辑真值表异或逻辑真值表BABABAY异或门逻辑符号异或门逻辑符号YAB=1AYBAYB 5

25、. 同或运算（同或运算（XNOR）同或逻辑真值表同或逻辑真值表ABBABAY异或与同或互为反运算异或与同或互为反运算：BA BA BABA 同或门逻辑符号同或门逻辑符号=AYBYABA YB一、逻辑代数的基本定律一、逻辑代数的基本定律0-1 律律重叠律重叠律互补律互补律还原律还原律分配律分配律结合律结合律交换律交换律0 AA00 AAA 1AAA 1 AAAA 011 AAAA ABBA CBACBA CABACBA ABBA CBACBA )()(CABACBA AA ABAA BABAA ABABA )( )(ABAA )(CAABBCCAAB ABABA 反演律反演律吸收律吸收律BABA

26、 BABA ABBAA )()CA)(BA( )CB)(CA)(BA( 冗余律冗余律 在两个乘积项中，若有一个变量是在两个乘积项中，若有一个变量是互反互反的，那么由这的，那么由这两个乘积项中的其它变量组成的乘积项就是多余的，可以两个乘积项中的其它变量组成的乘积项就是多余的，可以消去。消去。CAABBCDECAAB 公式可推广：公式可推广：求证求证: : A+BC=(A+B)(A+C)A+BC=(A+B)(A+C)证明证明: : 右边右边=AA+AB+AC+BC ; =AA+AB+AC+BC ; 分配律分配律=A +A(B+C)+BC ; =A +A(B+C)+BC ; 分配律分配律, ,重叠律

27、重叠律=A(1+B+C)+BC ; =A(1+B+C)+BC ; 分配律分配律=A =A 1+BC ; 0-1 1+BC ; 0-1律律=A+BC ; 0-1=A+BC ; 0-1律律= =左边左边证明证明: : 右边右边=AA+AB+AC+BC ; =AA+AB+AC+BC ; 分配律分配律=A(A+B+C)+BC ; =A(A+B+C)+BC ; 分配律分配律=A+BC ; =A+BC ; 吸收律吸收律例：用例：用真值表真值表证明反演律证明反演律 B ABA 0 00 11 01 101111000110010101000BA BA ABBAB A B ABA 证明证明: :=AB+AC+

28、=AB+AC+A ABC+BC+A ABCBC=AB+AC+=AB+AC+(A+A)(A+A)BCBC证明证明: :左边左边= = AB+AC+BAB+AC+BC C=AB+AC=AB+AC=AB(1+C)+AC(1+B)=AB(1+C)+AC(1+B)例：证明冗余律例：证明冗余律CAABBCCAAB 成立成立1 AA；分配律；分配律；分配律；分配律；0-1律律= = 右边右边左左边边右右边边 )( BAABAABABAAABABABAA 练习：证明练习：证明成立。成立。证明证明: :二、逻辑代数的基本规则二、逻辑代数的基本规则1. 1. 代入规则代入规则： 任何一个含有某变量的等式，如果等式

29、中所任何一个含有某变量的等式，如果等式中所有出现此有出现此的位置的位置均代均代之以一个逻辑函数式，之以一个逻辑函数式，则此等式依然成立。则此等式依然成立。例：例： A B= A+BBCBC替代替代B B得得ABCBCACBA由此反演律能推广到由此反演律能推广到n n个变量：个变量：n 21n 21n 21n 21AAAAAAAAAA A A利用反演律2. 2. 反演规则反演规则：对于任意一个逻辑函数式对于任意一个逻辑函数式 F F，做如下处理：，做如下处理：运算符运算符“. .”与与“+ +”互换互换,“,“ ”与与“ ”互换互换; ;常量常量“0 0”换成换成“1 1”，“1 1”换成换成“

30、0 0”；原变量原变量换成换成反变量反变量，反变量反变量换成换成原变量。原变量。那么得到的新函数式称为原函数式那么得到的新函数式称为原函数式F F的反函数式的反函数式 。F必要时适当地加入括号。必要时适当地加入括号。 非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换 将非号去掉，而非号下的函数式保留不变将非号去掉，而非号下的函数式保留不变CDCBAY )(CDCBAY YCDCBAY ）（CDCBACDCBACDCBAY )( )( 3. 3. 对偶规则对偶规则：对于任意一个逻辑函数式对于任意一个逻辑函数式 F F，做如下处理：，做如下处理：运算符运算符“.

31、 .”与与“+ +”互换互换,“,“ ”与与“”互换互换；常量常量“0 0”换成换成“1 1”，“1 1”换成换成“0 0”；那么得到的新函数式称为原函数式那么得到的新函数式称为原函数式F F的的对偶式对偶式 F。对偶规则对偶规则: 若两逻辑式相等，则它们对应的对偶式也相等。若两逻辑式相等，则它们对应的对偶式也相等。 即即 若若 F F1 1 = F = F2 ,2 , 则则 F F1 1= F= F2 2。运算顺序不变；运算顺序不变；只变换运算符和常量，其只变换运算符和常量，其变量是不变变量是不变的。的。ABABA ABABA )()(ACABCBA )()(CABABCA )(EDCBAY

32、 EDCBAY 如：如： 逻辑函数与普通代数中的函数相似，它是随自变量的变逻辑函数与普通代数中的函数相似，它是随自变量的变化而变化的因变量。因此，如果用化而变化的因变量。因此，如果用自变量和因变量自变量和因变量分别表示分别表示某一事件发生的某一事件发生的条件和结果条件和结果，那么该事件的因果关系就可以，那么该事件的因果关系就可以用逻辑函数来描述。用逻辑函数来描述。 数字电路的输入、输出量一般用高、低电平来表示，高、数字电路的输入、输出量一般用高、低电平来表示，高、低电平也可以用二值逻辑低电平也可以用二值逻辑1和和0来表示。同时来表示。同时数字电路数字电路的输出的输出与输入之间的关系是一种因果关

33、系，与输入之间的关系是一种因果关系， 因此它可以用逻辑函数因此它可以用逻辑函数来描述，并称为来描述，并称为逻辑电路逻辑电路。对于任何一个电路，若输入逻辑。对于任何一个电路，若输入逻辑变量变量A、 B、 C、 的取值确定后，其输出逻辑变量的取值确定后，其输出逻辑变量F的值的值也被惟一地确定了，则可以称也被惟一地确定了，则可以称F是是A、 B、 C、 的逻的逻辑函辑函数，数， 并记为并记为 ),( CBAfF 1.3.4.1逻辑函数逻辑函数1.3.4.2 逻辑函数的描述逻辑函数的描述BYAC一、一、真值表描述真值表描述：A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1

34、 01 1 100010101二、二、逻辑式描述逻辑式描述：1.1.一般形式：一般形式：任何一个逻辑函数式都可以通过逻辑变换写成以下五种形式任何一个逻辑函数式都可以通过逻辑变换写成以下五种形式： CABACABACAABCABACAABF )()()(与或式与或式 或与式或与式 与非与非式与非与非式 或非或非式或非或非式 与或非式与或非式 分析得：分析得： ABCBCAC CBA Y )(2.2.逻辑式两种标准形式逻辑式两种标准形式1 1）最小项之和式标准与或式）最小项之和式标准与或式 在在n变量逻辑函数中，由所有变量逻辑函数中，由所有n个变量以原变量或反个变量以原变量或反变量的形式出现一次而

35、组成的变量的形式出现一次而组成的乘积项（与项）乘积项（与项）。 最小项（最小项（Minterm） n变量逻辑函数的最小项有变量逻辑函数的最小项有2n个。最小项通常用符号个。最小项通常用符号m mi i来来表示。表示。下标下标i的确定的确定：把最小项中的：把最小项中的原变量记为原变量记为1，反变量记为，反变量记为0，当变量顺序确定后，按顺序排列成一个二进制数，则与这个当变量顺序确定后，按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的二进制数相对应的十进制数十进制数，就是这个最小项的下标，就是这个最小项的下标i。 在一个在一个与或逻辑式与或逻辑式中，若所有的乘积项均为最小项，中，若所有的乘积项均

36、为最小项，则该逻辑式称为则该逻辑式称为最小项之和式最小项之和式。CBACBACBABCACBACBACABABC三变量逻辑函数的最小项三变量逻辑函数的最小项只有一种输入组合使对应的最小项为只有一种输入组合使对应的最小项为1 1，而其他的组合都使它为，而其他的组合都使它为0 0。（变量型） ABCCBABCAY 型）（m 753mmm m 753m）型（， )(例：写出例：写出 的最小项之和式。的最小项之和式。ABCBCACY 最小项之和式最小项之和式为为：ABCBCACBA ABCBCAABCCBAABC ABCBCAACBBA ABCBCACY )()(解：解：1 AA2 2）最大项之积式标

37、准或与式）最大项之积式标准或与式 在在n变量逻辑函数中，由所有变量逻辑函数中，由所有n个变量以原变量或反个变量以原变量或反变量的形式出现一次而组成的变量的形式出现一次而组成的或项（和项）或项（和项）。 最大项（最大项（Maxterm） n变量逻辑函数的最大项有变量逻辑函数的最大项有2n个。最大项通常用符号个。最大项通常用符号M Mi i来来表示。表示。下标下标i的确定的确定：把最大项中的：把最大项中的原变量记为原变量记为0，反变量记为，反变量记为1，当变量顺序确定后，按顺序排列成一个二进制数，则与这个当变量顺序确定后，按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的二进制数相对应的十进制数十

38、进制数，就是这个最大项的下标，就是这个最大项的下标i。 在一个在一个或与逻辑式或与逻辑式中，若所有的或项均为最大项，则中，若所有的或项均为最大项，则该逻辑式称为该逻辑式称为最大项之积式最大项之积式。CBACBACBACBACBACBACBACBA三变量逻辑函数的最大项三变量逻辑函数的最大项只有一种输入组合使对应的最大项为只有一种输入组合使对应的最大项为0 0，而其他的组合都使它为，而其他的组合都使它为1 1。3 3）最小项和最大项的性质）最小项和最大项的性质 n变量的全部最小项之和恒为变量的全部最小项之和恒为1， 全部最大项的之积全部最大项的之积恒为恒为0。 任意两个最小项之积恒为任意两个最小

39、项之积恒为0，任意两个最大项之和恒等任意两个最大项之和恒等于于1 。 n n变量的每一个最小（大）项有变量的每一个最小（大）项有n n个相邻项（相邻项个相邻项（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为相同，又称为逻辑相邻项逻辑相邻项）。）。1120niim1200niiM)(0jimmji)( 1jiMMji imY ikkmY ikkikkikkikkMmmmYiimM iiMm 4 4）最小项和最大项的关系）最小项和最大项的关系互为反函数互为反函数1 YY k12n LLmY求反函数求反函数求对偶式求对偶式求最大项之

40、积式求最大项之积式例：已知例：已知 )15,14,13, 9 , 6 , 4 , 3(),(mDCBAY利用最小项表达式求其反函数和对偶式。利用最小项表达式求其反函数和对偶式。 )12,11,10, 8 , 7 , 5 , 2 , 1 , 0(m )1514139643(i m),(ikk ，DCBAY )15,14,13,10, 8 , 7 , 5 , 4 , 3( )3 , 4 , 5 , 7 , 8 ,10,13,14,15( ),(k12nmmmDCBAYLL解：解：例：写出例：写出 的最大项之积式。的最大项之积式。ABCBCACY ) 753(m),(， CBAY解：已知解：已知则则

41、)()()()(,),(CBACBACBACBACBA MMMMM k MCBAYikk 6421064210）（三、卡诺图三、卡诺图描述描述：1.卡诺图的构成卡诺图的构成A B0 00 11 01 1 m0 m1 m2 m3AABBABAB1010 m0 m1 m2 m3 miABABABAB1010 0 1 2 3二二变变量量K图图 建立多于二变量的卡诺图，则每增加一个逻辑变量就以原卡诺图的右建立多于二变量的卡诺图，则每增加一个逻辑变量就以原卡诺图的右边线（或底线）为对称轴作一对称图形，对称轴边线（或底线）为对称轴作一对称图形，对称轴左面左面（或上面）原数字（或上面）原数字前前增增加加一个

42、一个0，对称轴，对称轴右面右面（或下面）原数字（或下面）原数字前前增增加加一个一个1。卡诺图是上下，左右闭合的图形卡诺图是上下，左右闭合的图形。ABC0100011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7000111100001 11 1001 2 34 5 6 7 12 13 14 15 8 9 10 11ABCDABC0100011110 0 1 2 3 456 7几何相邻几何相邻：一是相接，即紧挨着；一是相接，即紧挨着；二是相对，即任意一行或一列的两端；二是相对，即任意一行或一列的两端；三是相重，即对折起来位置重合。三是相重，即对折起来位置重合。三三变变量量K图图四四变变量

43、量K图图2.卡诺图描述逻辑函数卡诺图描述逻辑函数 给出真值表给出真值表 将真值表的每一行的取值填入卡诺图即可。填入将真值表的每一行的取值填入卡诺图即可。填入Y1的的项即可。项即可。 A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010101例：例：ABC0100011110 0 0 0 1 010 1ABC0100011110 1 1 1 给出逻辑函数的最小项之和式标准与或式给出逻辑函数的最小项之和式标准与或式将逻辑函数的将逻辑函数的最小项最小项在卡诺图上相应的方格中在卡诺图上相应的方格中填填1；其余的方格填其余的方格填0(或不填或不填)。 任

44、何一个逻辑函数都等于其卡诺图上填任何一个逻辑函数都等于其卡诺图上填1的那些最小项之和。的那些最小项之和。 ),(),(76211mCBAY ),(),(151210974202mDCBAY例：用卡诺图分别描述下列逻辑函数例：用卡诺图分别描述下列逻辑函数ABC0100011110 1 1 1 1000111100001 11 101 1 1 1 1 1 1 1 ABCD解：解： 给出逻辑函数一般与或式给出逻辑函数一般与或式确定使每个确定使每个与项为与项为1的所有输入变量取值，并的所有输入变量取值，并在卡诺图上对在卡诺图上对 应方格应方格填填1；其余的方格填其余的方格填0(或不填或不填)。也可化为

45、也可化为标准与或式标准与或式，再填入。，再填入。 CBACBAY ),(1例：用卡诺图分别描述下列逻辑函数例：用卡诺图分别描述下列逻辑函数ABC0100011110 1 111 1解：解：A：当：当ABC=1(表示可以为表示可以为0，也，也可以为可以为1)时该与项为时该与项为1，在卡诺图上对应，在卡诺图上对应四个方格四个方格(m4，m5，m6，m7)处填处填1。 ),()()(765421m CBAACCBBACBAYCB ：当：当ABC=10时该与项为时该与项为1，在卡，在卡诺图上对应两个方格诺图上对应两个方格(m2，m6)处填处填1。ADDCBACBAF 2000111100001 11

46、101 1 1 1 1 1 1 11 1 ABCD D ： 当当ABCD=1时该与项为时该与项为1，对应八个方格对应八个方格(m1、m3、m5、m7、m9、m11、m13、m15)处填处填1。 ：当：当ABCD=001时该与项为时该与项为1，对应两个方格对应两个方格(m2、m3)处填处填1。CBA ：当：当ABCD=101时该与项为时该与项为1，在卡诺图上对应两个方格在卡诺图上对应两个方格(m10、m11)处填处填1。CBA解：解：AD ：当：当ABCD=11时该与项为时该与项为1，对应四个方格对应四个方格(m9、 m11、m13、m15)处填处填1。某些最小项重复，只需填一次即可。某些最小项

47、重复，只需填一次即可。 给出逻辑函数的最大项之积式标准或与式给出逻辑函数的最大项之积式标准或与式将逻辑函数的将逻辑函数的最大项最大项在卡诺图上相应的方格中在卡诺图上相应的方格中填填0 0（或不填）（或不填）；其余的方格填其余的方格填1 1。 任何一个逻辑函数都等于其卡诺图上填任何一个逻辑函数都等于其卡诺图上填1 1的那些最大项之积。的那些最大项之积。 ),(),(520MCBAY例：用卡诺图描述逻辑函数例：用卡诺图描述逻辑函数ABC0100011110 0 1 0 1 101 1解：解： 给出逻辑函数一般或与式给出逻辑函数一般或与式确定使每个确定使每个或项为或项为0的所有输入变量取值，并的所有

48、输入变量取值，并在卡诺图上对在卡诺图上对 应方格应方格填填0；其余的方格填其余的方格填1。也可化为也可化为标准或与式标准或与式，再填入。，再填入。 )(),(CBACBAY 例：用卡诺图分别描述逻辑函数例：用卡诺图分别描述逻辑函数ABC0100011110 0 0 0 0 101 1解：解：A：当：当ABC=0(表示可以为表示可以为0，也，也可以为可以为1)时该或项为时该或项为0，在卡诺图上对应，在卡诺图上对应四个方格四个方格(m0，m1，m2，m3)处填处填0。 ),(),()(53210764MmCBAY ：当：当ABC=01时该与项为时该与项为0，在，在卡诺图上对应两个方格卡诺图上对应两

49、个方格(m1，m5)处填处填0。)(CB 四、逻辑图四、逻辑图描述描述：&AB1 1 Y&AC&BD例：用逻辑图描述函数例：用逻辑图描述函数BDACABY 列出列出五、各种描述方法间的相互转换五、各种描述方法间的相互转换A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111BCACBACABABCABCCABCBABCAY ABC0100011110 1 11 1例：例：CBA Y)( A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111BCACBABY &am

50、p;C1A1 1 1B&1 1 YCBCBBBAY BACBCBBBA &CB1A1 1 Y11&1 1 BAC例：例： 同一个逻辑函数可以写成不同形式的逻辑式，同一个逻辑函数可以写成不同形式的逻辑式，逻辑函数式越简单，它所表示的逻辑关系越明显，逻辑函数式越简单，它所表示的逻辑关系越明显，也有利于用最少的电子器件实现这个逻辑函数。也有利于用最少的电子器件实现这个逻辑函数。最简最简“与或与或”式的标准：式的标准：.含的含的与项与项最少；最少； 门最少门最少.各与项中的各与项中的变量数变量数最少。最少。 门的输入端最少门的输入端最少以后主要讨论以后主要讨论“与或与或”式的化

51、简。式的化简。其中，最常用的为其中，最常用的为“与或与或”逻辑表达式。逻辑表达式。一、代数化简法一、代数化简法：1. 并项法并项法 ABCCABBCACBACBAY1 ),(例：用并项法化简下列逻辑函数例：用并项法化简下列逻辑函数 B A)AB( ABBA C)CAB(C)CB(A ABCCABBCACBAY1 解：解： 利用公式利用公式 将两项合并成一项，并将两项合并成一项，并消去互补因子。由代入规则，消去互补因子。由代入规则，A和和B也可是复杂的逻辑式。也可是复杂的逻辑式。ABABA ABCCBACABCBACBAY2 ),(CABCBACBAY ),(3解：解：A 1A C BCBA B

52、CCBCBCBA ABCCBACABCBAY2 )()( A CBCBA CABCBAY )(3解：解：2. 吸收法（消项法）吸收法（消项法） )(EDCBABA Y1 例：用吸收法化简下列逻辑函数例：用吸收法化简下列逻辑函数BA EDCBA EDCBABAY1 )()(1解：解： 利用公式利用公式 ，将多余，将多余项吸收（消去）。项吸收（消去）。ABAA CABA BCCABA BACBACY 2CBAC BACBAC BACBACY 23. 消元法消元法 CBCABA Y1 例：用消元法化简下列逻辑函数例：用消元法化简下列逻辑函数CBA CBABA CBABA CBCABAY1 )(解：解

53、： 利用公式利用公式 ，将多余因子吸收（消，将多余因子吸收（消去）。去）。BABAA DCBA DBACBA DBACBA BDDACBA BDDACCBA DCBDCACBAY )()()(2 DCBDCACBAY2 4. 配项法配项法 ABCCBACBA Y1 例：用配项法化简下列逻辑函数例：用配项法化简下列逻辑函数ACCB BBACAACB ABCCBACBACBA ABCCBACBAY1 )()()()(解：解： 利用公式利用公式 ，配项或，配项或增加多余项，再和其他项合并。增加多余项，再和其他项合并。AA 1AAA BCCABACABA CBCBBAABY 2CACBAB BBCAA

54、CBCAB CBCBACABCBACBAAB CBCBAACCBAAB CBCBBAABY )()()()()(112CBCABA CACBCABA CABACBCACBBA CABACBCBBA BACBCBBAY )()()()()(3BACBCBBAY 3解：解：解：解：CACBBAY 解法解法1：解法解法2：BACBCBBAY BACACB BACACBBA BACACBCBBA BACBCACBBA BACBCBBAY )()()(代数化简法代数化简法 优点优点: : 不受变量数目的限制。不受变量数目的限制。 缺点缺点：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公式和定：没有固定的步骤可循

55、；需要熟练运用各种公式和定理；在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需要一定的技巧和经理；在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需要一定的技巧和经验；有时很难判定化简结果是否最简。验；有时很难判定化简结果是否最简。由上例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的。由上例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的。二、卡诺图化简法二、卡诺图化简法：在卡诺图中，凡是几何位置相邻的最小项均可以合并。在卡诺图中，凡是几何位置相邻的最小项均可以合并。 任何一个合并圈任何一个合并圈(即卡诺圈即卡诺圈)所含的所含的方格数为方格数为2n个。个。 必须按照相邻规则画卡诺圈，几何位置相邻包括三种情况：必须按照相邻规则画卡诺圈，几何位置相邻包

56、括三种情况： 一是一是相接相接，即紧挨着的方格相邻；，即紧挨着的方格相邻； 二是二是相对相对，即一行，即一行(或一列或一列)的两头、两边、四角相邻；的两头、两边、四角相邻； 三是三是相重相重，即以对称轴为中心对折起来重合的位置相邻。，即以对称轴为中心对折起来重合的位置相邻。 2n个方格合并，消去个方格合并，消去n个变量。个变量。1.卡诺图中最小项合并规律卡诺图中最小项合并规律BCABCBCA CACBACBA BACBACBA A0 1 1 1 1BC100011110 1 1 CABCBAABC0100011110 1 1 111 1000111100001 11 101 1 11 1 1

57、1 1 1 1 1 ABCDCABCACBADBCABCDADCBACDBA CCBCBCABCBACBACBA ACCAABDC000111100001 11 101 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ABCD000111100001 11 1011 1 11 1 1 1 1 1 1 1ABCDDBDBADBADCBADCBA DCBADCBA DBDABDBD2.用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数画出逻辑函数的卡诺图。画出逻辑函数的卡诺图。圈圈“1”合并相邻的最小项。合并相邻的最小项。将每一个圈对应的与项相或，即得到最简与或式。将每一个圈对应的与项相或，即得到最简与或式。尽量尽量画

58、大圈画大圈，但每个圈内只能含有，但每个圈内只能含有2 2n n（n n=0,1,2,3=0,1,2,3）个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。圈的个数尽量少圈的个数尽量少。卡诺图中所有取值为卡诺图中所有取值为“1”1”的方格均要被圈过的方格均要被圈过，即不能漏，即不能漏下取值为下取值为“1”1”的最小项。的最小项。保证每个圈中保证每个圈中至少有一个至少有一个“1 1格格”只被圈过一次只被圈过一次，否则该，否则该圈是多余的。圈是多余的。画圈原则：画圈原则：1）最简与或式的求法）最简与或式的求法画出逻辑函数的卡诺图。画出逻辑函数的卡诺图。圈圈“1”合并合并相邻的最小项。相邻的最小项。将每一个圈对应的将每一个圈对应的与项相或与项相或，即得到最简与或式。，即得到最简与或式。ABC0100011110 1 1 1 11 1ABC0100011110 1 1 1 11 1BCBACAY CABACBACBAY ACACCBBABAY BA例：用卡诺图将函数化为最简与或式。例：用卡诺图将函数化为最简