多元复合函数和隐函数的求导法则

1、6.3 多元复合函数和隐函数求导法则631 复合函数的求导法则思考：设， 而，如何求？ 设，而，如何求和？ 1. 复合函数的中间变量均为一元函数的情形 定理1 如果函数及都在点t可导, 函数在对应点(u, v)具有连续偏导数, 则复合函数在点t可导, 且有 . 简证1：因为具有连续的偏导数, 则它是可微的, 即有.又因为，都可导, 因而可微, 即有, , 代入上式得：, 从而 . 简证2：当t取得增量Dt时, u、v及z相应地也取得增量Du、Dv及Dz ，由、及的可微性, 有 , , 令Dt®0, 上式两边取极限, 即得 . 注：. 推广：设，则对t 1 / 9的导数为：. 上述称为

2、全导数. 2. 复合函数的中间变量均为多元函数的情形 定理2：如果函数，都在点(x, y)具有对x及y的偏导数, 函数z=f(u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数, 则复合函数在点(x, y)的两个偏导数存在, 且有 ，。 推广：设，则 ，。 讨论： (1)设z=f(u, v), u=j(x, y), v=y(y), 则？ 提示: , . (2)设z=f(u, x, y), 且u=j(x, y), 则？ 提示: , . 这里与是不同的, 是把复合函数z=fj(x, y), x, y中的y看作不变而对x的偏导数, 是把f(u, x, y)中的u及y看作不变而 对x的偏导数. 与也有类似的

3、区别. 3复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元函数的情形 定理3 如果函数u=j(x, y)在点(x, y)具有对x及对y的偏导数, 函数v=y(y)在点y可导, 函数z=f(u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数, 则复合函数z=fj(x, y), y(y)在点(x, y)的两个偏导数存在, 且有 , . 例1 设z=eusin v, u=xy, v=x+y, 求和. 解 =eusin v×y+eucos v×1=ex yy sin(x+y)+cos(x+y), =eusin v×x+eucos v×1=exyx sin(x+y)+cos(

4、x+y). 例2 设, 而. 求和. 解 . . 例3 设z=uv+sin t , 而u=et, v=cos t. 求全导数. 解 =v×et+u×(-sin t)+cos t =etcos t-e tsin t+cos t =et(cos t-sin t)+cos t . 例4 设w=f(x+y+z, xyz), f具有二阶连续偏导数, 求及. 解 令u=x+y+z, v=xyz , 则w=f(u, v)， 引入记号: ，；同理有,等. , . 注: , . 例5 设u=f(x, y)的所有二阶偏导数连续, 把下列表达式转换成极坐标系中的形式: (1); (2). 解 由

5、直角坐标与极坐标间的关系式得 u=f(x, y)=f(rcos, rsin)=F(r, ), 其中x=rcos, y=rsin, , .应用复合函数求导法则, 得： , .两式平方后相加, 得：.再求二阶偏导数, 得： .同理可得 .两式相加, 得：.632 全微分形式不变性设z=f(u, v)具有连续偏导数, 则有全微分：. 如果z=f(u, v)具有连续偏导数, 而u=j(x, y), v=y(x, y)也具有连续偏导数, 则 . 由此可见, 无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数, 它的全微分形式是一样的. 这个性质叫做全微分形式不变性. 例6 设z=e usin v, u=

6、x y, v=x+y, 利用全微分形式不变性求全微分. 解 = e usin vdu+ e ucos v dv = e usin v(y dx+x dy )+ e ucos v(dx+dy) =( ye usin v+ e ucos v)dx+(xe usin v+ e ucos v )dy =e xy y sin(x+y)+cos(x+y)dx+ e xy x sin(x+y)+cos(x+y)dy . 633 隐函数的求导法则 1一个方程的情形 隐函数存在定理1 设函数F(x, y)在点P(x0, y0)的某一邻域内具有连续偏导数, F(x0, y0)=0, Fy(x0, y0)¹

7、;0, 则方程F(x, y)=0在点(x0, y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x), 它满足条件y0=f(x0), 并有 . 求导公式证明: 将y=f(x)代入F(x, y)=0, 得恒等式：F(x, f(x)º0, 等式两边对x求导得：, 由于F y连续, 且Fy(x0, y0)¹0, 所以存在(x0, y0)的一个邻域, 在这个邻域同Fy ¹0, 于是得. 例1 验证方程x2+y2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=f(x), 并求这函数的一阶与二阶导数在x=0的值. 解

8、设F(x, y)=x2+y2-1, 则Fx=2x, Fy=2y, F(0, 1)=0, Fy(0, 1)=2¹0. 因此由定理1可知, 方程x2+y2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=f(x). , ; , . 隐函数存在定理还可以推广到多元函数. 一个二元方程F(x, y)=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F(x, y, z)=0可以确定一个二元隐函数. 隐函数存在定理2 设函数F(x, y, z)在点P(x0, y0, z0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F(x0, y0, z0)=0, Fz(x0, y0, z

9、0)¹0 , 则方程F(x, y, z)=0在点(x0, y0, z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f(x, y), 它满足条件z0=f(x0, y0), 并有 , . 公式的证明: 将z=f(x, y)代入F(x, y, z)=0, 得F(x, y, f(x, y)º0, 将上式两端分别对x和y求导, 得 , . 因为F z连续且F z(x0, y0, z0)¹0, 所以存在点(x0, y0, z0)的一个邻域, 使F z¹0, 于是得 , . 例2. 设x2+y2+z2-4z=0, 求. 解 设F(x, y, z)= x

10、2+y2+z2-4z, 则Fx=2x, Fy=2z-4, , . 2方程组的情形 在一定条件下, 由个方程组F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0可以确定一对二元函数u=u(x, y), v=v(x, y), 例如方程xu-yv=0和yu+xv=1可以确定两个二元函数, . 事实上, xu-yv=0 ÞÞÞ, . 如何根据原方程组求u, v的偏导数？ 隐函数存在定理3 设F(x, y, u, v)、G(x, y, u, v)在点P(x0, y0, u0, v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数, 又F(x0, y0, u0, v0)

11、=0, G(x0, y0, u0, v0)=0, 且偏导数所组成的函数行列式: 在点P(x0, y0, u0, v0)不等于零, 则方程组F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0在点P(x0, y0, u0, v0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u=u(x, y), v=v(x, y), 它们满足条件u0=u(x0, y0), v0=v(x0, y0), 并有 , , , . 隐函数的偏导数: 设方程组F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0确定一对具有连续偏导数的二元函数u=u(x, y), v=v(x, y), 则 偏

12、导数, 由方程组确定; 偏导数, 由方程组确定. 例3 设xu-yv=0, yu+xv=1, 求, , 和. 解 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于和的方程组,当x2+y2 ¹0时, 解之得, . 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于和的方程组,当x2+y2 ¹0时, 解之得, . 另解 将两个方程的两边微分得 , 即. 解之得：, . 于是, , , . 例4 设函数x=x(u, v), y=y(u, v)在点(u, v)的某一领域内连续且有连续偏导数, 又 . (1)证明方程组在点(x, y, u, v)的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数u=u(x, y), v=v(x, y). (2)求反函数u=u(x, y), v=v(x, y)对x, y的偏导数. 解 (1)将方程