工程力学精品课程-压杆稳定

1、第第 10 10 章章一。稳定性概念一。稳定性概念 细长杆件承受轴向压缩载荷作用时，会表现出与强度失效性质全然不同的失效现象，细长杆件承受轴向压缩载荷作用时，会表现出与强度失效性质全然不同的失效现象，即将会由于平衡的不稳定性而发生失效，这种失效称为稳定性失效，简称失稳，又称为即将会由于平衡的不稳定性而发生失效，这种失效称为稳定性失效，简称失稳，又称为屈曲失效。屈曲失效。 内燃机配气机构中的挺杆内燃机配气机构中的挺杆 磨床液压装置的活塞杆磨床液压装置的活塞杆 细长压杆随受力的改变，平衡的稳定性会发生改变，由稳定平衡转为不稳定平衡的细长压杆随受力的改变，平衡的稳定性会发生改变，由稳定平衡转为不稳定

2、平衡的临界值称为压杆的临界压力或临界力；它是压杆保持稳定的直线平衡的最大值，或是临界值称为压杆的临界压力或临界力；它是压杆保持稳定的直线平衡的最大值，或是压杆保持微曲平衡的最小值。压杆保持微曲平衡的最小值。解决压杆稳定问题的关键是确定其临界压力。解决压杆稳定问题的关键是确定其临界压力。二。临界压力的欧拉公式二。临界压力的欧拉公式1 两端铰支压杆的临界压力两端铰支压杆的临界压力xlvPxyPxvPMPPvMEIPvEIMdxvd22压杆距支座压杆距支座x处截面上的弯矩是处截面上的弯矩是代入挠曲线的近似微分方程代入挠曲线的近似微分方程EIPk20222vkdxvd令：令：则有则有:以上微分方程的通

3、解是以上微分方程的通解是kxBkxAvcossin 式中式中A、B常数，可由边界条件来确定。根据简支梁的边界条件常数，可由边界条件来确定。根据简支梁的边界条件:x=0和和x=l时，时， v=0 则由此求得则由此求得0sin ,0klAB2222,2,1,0 lEInPEIPlnlnknnkl故得：故得：取取n=1，得到具有实际意义的、最小的临界压力为，得到具有实际意义的、最小的临界压力为22lEIPcr 欧拉公式欧拉公式2 其他约束条件下的压杆的临界压力其他约束条件下的压杆的临界压力 222242lEIlEIPcrPll一端固定一端自由的细长压杆，它相当于两端铰支长为一端固定一端自由的细长压杆

4、，它相当于两端铰支长为2l的压杆的挠曲线的一半部分；的压杆的挠曲线的一半部分；因此，其临界压力公式为因此，其临界压力公式为225 . 0 lEIPcrP0.5l二端固定的细长压杆，其中间部分二端固定的细长压杆，其中间部分(0.5l) 相当于两端铰支长为相当于两端铰支长为0.5l的压杆；的压杆；因此，其临界压力公式为因此，其临界压力公式为227 . 0 lEIPcrP0.7l一端固定一端铰支的细长压杆，其中的一部分一端固定一端铰支的细长压杆，其中的一部分(0.7l) 相当于两端铰支长为相当于两端铰支长为0.7l的压杆；的压杆；临界压力公式是：临界压力公式是：细长压杆临界压力的公式写成统一式为：细

5、长压杆临界压力的公式写成统一式为：22lEIPcr 欧拉公式的普遍形式欧拉公式的普遍形式 称为称为长度系数长度系数，(l)称为称为相当长度相当长度 3 临界应力、柔度、欧拉公式的适用范围临界应力、柔度、欧拉公式的适用范围 2222222ilEilEAIlEAPcrcrcrcr称为临界应力称为临界应力 22Ecril柔度柔度或长细比长细比 欧拉公式的临界压力的推导是由挠曲线的近似微分方程得出，则杆内的应力不能超过欧拉公式的临界压力的推导是由挠曲线的近似微分方程得出，则杆内的应力不能超过材料的比例极限，即为材料的比例极限，即为pcrE22pE2只有当压杆的柔度只有当压杆的柔度大于或等于极限值大于或

6、等于极限值时，欧拉公式才可使用。时，欧拉公式才可使用。 pE21以以1代表这一极值，即代表这一极值，即 1欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 1与材料的性能有关，材料不同，与材料的性能有关，材料不同， 1的数值也就不同。满足的数值也就不同。满足1条件的杆件称为条件的杆件称为细长杆或大柔度杆。细长杆或大柔度杆。Flbhzy例例10-1。钢质细长杆，两端铰支，长钢质细长杆，两端铰支，长l=1.5m，横截面是矩形截面，横截面是矩形截面，h=50 mm，b=30 mm，材料是材料是A3钢，弹性模量钢，弹性模量E=200GPa；求临界力和临界应力。；求临界力和临界应力。bhyz解：解：(a) 判断发生

7、弯曲的方向判断发生弯曲的方向。由于杆截面是矩形，。由于杆截面是矩形，杆在不同方向弯曲的难易程度不同，如图：杆在不同方向弯曲的难易程度不同，如图：因为因为zyII所以在各个方向上发生弯曲时约束条件相同的情况下，压杆最易在所以在各个方向上发生弯曲时约束条件相同的情况下，压杆最易在xz平面内发生弯曲平面内发生弯曲(b) 判断欧拉公式的适用范围判断欧拉公式的适用范围。因为是细长杆。因为是细长杆1所以可用欧拉公式所以可用欧拉公式kNlEhblEIPycr7 .985 .11203.005.01020012229223222MPaAPcrcr9 .6503. 005. 0107 .983(c) 计算临界压

8、力计算临界压力。由欧拉公式。由欧拉公式(d) 计算临界应力计算临界应力。例例10-2 木柱长木柱长l=7 m，横截面是矩形，横截面是矩形，h=200 mm，b=120 mm；当它在；当它在xz平面平面(最小刚度平面最小刚度平面)内弯曲时，两端视为固定；当它在内弯曲时，两端视为固定；当它在xy平面平面(最大刚度平面最大刚度平面)内弯曲时，两端视为铰支；木内弯曲时，两端视为铰支；木材的弹性模量材的弹性模量E=10Gpa，1=59；求临界力和临界应力。；求临界力和临界应力。bhyzyxz解：解：(a) 求在求在xz平面内弯曲时的柔度平面内弯曲时的柔度。lblblilbhbhbAIiyyyy43.14

9、3125.01212113lhlhlilhhbbhAIizzzz32.17321211212123yz(b) 求在求在xy平面内弯曲时的柔度平面内弯曲时的柔度。(c) 判断杆件易在哪个平面内弯曲判断杆件易在哪个平面内弯曲。所以易在所以易在xy平面内弯曲。平面内弯曲。1zkNAPMPaEcrcrzcr16173.622(d) 判断欧拉公式的适用范围判断欧拉公式的适用范围。所以为大柔度杆，可用欧拉公式。所以为大柔度杆，可用欧拉公式。(e) 求临界力和临界应力求临界力和临界应力。三。中、小柔度杆的临界应力三。中、小柔度杆的临界应力1) 中柔度杆临界应力的经验公式中柔度杆临界应力的经验公式bacr其中

10、，其中，a，b是由杆件材料决定的常数是由杆件材料决定的常数 12经验公式经验公式: bas2中长杆或中柔度杆中长杆或中柔度杆 2）小柔度杆的临界应力）小柔度杆的临界应力小柔度杆或短杆：小柔度杆或短杆： 2 此时压杆属强度问题，临界应力就是屈服极限或强度极限，即此时压杆属强度问题，临界应力就是屈服极限或强度极限，即scrb或或 3） 临界应力总图临界应力总图O12pscr=scr=a-bcr=2E/2可以明显地看出，短杆的临界应力与柔度可以明显地看出，短杆的临界应力与柔度无关，而中、长杆的临界应力则随柔度无关，而中、长杆的临界应力则随柔度的增加而减小。的增加而减小。例例10-3 两端铰支的压杆，

11、长两端铰支的压杆，长l=1.5 m，横截面直径，横截面直径d=50 mm，材料是，材料是Q235钢，弹性模量钢，弹性模量E=200 GPa，y=190 MPa；求压杆的临界力；如果：；求压杆的临界力；如果：(1) l1=0.75l；(2) l2=0.5l，材料选用，材料选用优质碳钢；压杆的临界力变为多大优质碳钢；压杆的临界力变为多大?解：解：(a) 计算压杆的柔度计算压杆的柔度。120444164124dlildddAIi(b) 判别压杆的性质判别压杆的性质。121102pE压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力。压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力。kNAEAPcrcr269229012075

12、. 01226212. 1235304baskNAbaAPcrcr399(c) 计算临界应力计算临界应力。(d) 当当l1=0.75l时，计算压杆的柔度时，计算压杆的柔度，判别压杆的性质。，判别压杆的性质。压杆是中柔度杆，选用经验公式计算临界力压杆是中柔度杆，选用经验公式计算临界力601205 . 0224 .60568.2306461baskNAPscr60005. 0411030626(e) 当当l2=0.5l时，计算压杆的柔度时，计算压杆的柔度,判别压杆的性质。判别压杆的性质。压杆是小柔度杆，临界应力就是屈服应力压杆是小柔度杆，临界应力就是屈服应力四。压杆的稳定计算与合理设计四。压杆的稳

13、定计算与合理设计 1 稳定性条件稳定性条件压杆的实际工作压力不能超过许用压力，则稳定条件为压杆的实际工作压力不能超过许用压力，则稳定条件为 stcrnPPP nst为压杆的稳定安全系数为压杆的稳定安全系数 PPncrstnn 定义工件安全系数为定义工件安全系数为稳定条件又可表示为稳定条件又可表示为2 压杆的合理设计压杆的合理设计 压杆稳定设计计算的包括稳定性校核、压杆截面的设计和压杆的许可载荷设计。在机械压杆稳定设计计算的包括稳定性校核、压杆截面的设计和压杆的许可载荷设计。在机械设计中，往往是根据构件的工作需要或其他方面的要求初步确定构件的截面，然后再校设计中，往往是根据构件的工作需要或其他方

14、面的要求初步确定构件的截面，然后再校核其稳定性。核其稳定性。 GFCAB1m1m450例例10-4图示钢结构，承受载荷图示钢结构，承受载荷F作用，试校核斜撑杆的稳定性。已知载荷作用，试校核斜撑杆的稳定性。已知载荷F12kN，其，其外径外径D45mm，内径，内径d=36 mm，稳定安全系数，稳定安全系数nst=2.5。斜撑杆材料是。斜撑杆材料是Q235钢，弹性模钢，弹性模量量E=210 GPa， p p=200 MPa， s s=235 MPa，KNFFFFFMGBGBC9 .332245sin202145sin; 000450FCABFAXFAYFGB解：解：(a) 受力分析受力分析。以梁。以

15、梁AC为研究对象，由静力为研究对象，由静力平衡方程可求得平衡方程可求得1.980144.0)12(10144.04)036.0()045.0(4)(464)(22222244ilmdDdDdDAIi10221pE1226212. 1235304bas(b) 计算压杆的柔度计算压杆的柔度。(c) 判别压杆的性质判别压杆的性质。由已知求得。由已知求得查表得查表得a304MPa，b1.12 MPa。求得。求得压杆是中柔度杆，选用经验公式计算临界力。压杆是中柔度杆，选用经验公式计算临界力。kNAbaAFcrcr11110726. 5101 .1944)036. 0045. 0(10) 1 .9812.

16、 1304(46226(e) 稳定性校核稳定性校核。(d) 计算临界应力计算临界应力。) 5 . 2(27. 3109 .331011133ststGBcrnnFFn满足稳定要求满足稳定要求 3 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施1.减小压杆的支承长度；因为临界应力与杆长平方成反比，因此可以显著地提高压杆承减小压杆的支承长度；因为临界应力与杆长平方成反比，因此可以显著地提高压杆承载能力。载能力。2. 改变压杆两端的约束；使长度系数减小，相应地减小柔度，从而增大临界应力。改变压杆两端的约束；使长度系数减小，相应地减小柔度，从而增大临界应力。3. 选择合理的截面形状；可以在不增加截面面积的情况下，增加横截面的惯性矩选择合理的截面形状；可以在不增加截面面积的情况下，增加横截面的惯性矩I，从而减小压杆柔度，起到提高压杆稳定性的作用。图从而减小压杆柔度，起到提高压杆稳定性的作用。图10.10是起重臂合理截面。是起重臂合理截面。4.压杆在各纵向平面内相当长度压杆在各纵向平面内相当长度相同时相同时,要使要使得在两个主惯性平面内的柔度接近相等。得在两个主惯性平面内的柔度接近相等。从而有接近相等的稳定性。从而有接近相等的稳定性