两角和与差公式1

1、 P(x,y)r的终边的终边y/r=sin x/r=cos x=r cosy=r sinP(r cos , r sin)Oxy 我们把我们把y/ry/r、x/rx/r、y/xy/x、x/yx/y、r/xr/x、r/yr/y定义为定义为的六个三的六个三 角函数角函数特别地，r=1时，点P的坐标为（coscos ,sin ,sin )C:sketch第三章第三章 两角和与差的三角函数，两角和与差的三角函数， 解斜三角解斜三角形形 一、一、两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数 不查表，不查表，求求coscos（ 435435） 的值的值. 解：解：cos(435 ) =cos435 =cos(3

2、60 +75 )=cos75 1. 75 能否写成两个特殊角的和或差的形式能否写成两个特殊角的和或差的形式? 2. cos75 =cos(45 +30 )=cos45 +cos30 成立成立吗吗? 3. 究竟究竟cos75 =? 4. cos (45 +30 )能否用能否用45 和和30 的角的三角函数来表示的角的三角函数来表示? 5. 如果能如果能,那么一般地那么一般地cos(+)能否用能否用 、的角的三角函数的角的三角函数来表示来表示? 3.1 3.1 两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数 1.1.两角和与差的两角和与差的余弦余弦 cos(+)=coscossinsin 在平面直角坐标

3、系在平面直角坐标系xOy内内,作单位圆作单位圆,并作并作 、 和和角角,使使角的始边为角的始边为Ox，交圆，交圆O于于P1,终边交圆终边交圆O于于P2;角的始边为角的始边为OP2,终边交圆终边交圆O于于P3; 角的始边为角的始边为OP1,终边终边交圆交圆O于于P4; 此时此时,P1.P2.P3.P4的坐标分别为的坐标分别为P1(1,0) ,P2(cos,sin), P3(cos(+),sin(+) ),P4(cos(), sin(). 由由P1P3 = P2P4及两点间距离公式及两点间距离公式,得：得： cos(+)1+sin(+)=cos()cos+sin()sin . 整理得整理得: co

4、s(+)=coscossinsin. 证明证明:如图所示如图所示PPP P123 4 XyO cos(+)=coscossinsin 公式的结构特征公式的结构特征: 左边是复角左边是复角+ 的余弦的余弦,右边是单角右边是单角、的余弦积的余弦积与正弦积的差与正弦积的差. cos()= coscos+sinsin 公式的结构特征公式的结构特征: 左边是复角左边是复角+的余弦的余弦,右边是单角右边是单角、 的余弦积的余弦积与正弦积的和与正弦积的和. 例例1 1. .不查表不查表, ,求求coscos(435(435) )的值的值. . 解解:cos( 435 )=cos75 =cos(45 +30

5、) =cos45 cos30 sin45 sin30 21222322426 应用举例不查表不查表, ,求求cos105 cos105 和和cos15 cos15 的值的值. .462 cos15 =462 答案：答案：cos105 =练习例例2.已知已知cos(30 )=15/17, 为大于为大于30 的锐角的锐角,求求cos 的值的值. 分析：分析： =( 30 )+ 30 解：解： 30 90 , 0 30 60 , 由由cos( 30 )=1517,得得sin ( 30 )=817, cos =cos( 30 )+ 30 = cos( 30 )cos 30 sin ( 30 )sin

6、30 = 1517 32 817 12 =（15 3 8）34.例例3.在在ABCABC中中,cosA=3,cosA=35,cosB=55,cosB=513,13,则则cosCcosC的值为的值为( ).( ). 分析分析: C=180 (A+B) cosC=cos(A+B)= cosAcosB+sinAsinB 已知已知cosA=35 ,cosB=513,尚需求尚需求sinA,sinB的值的值. sinA= 45 , sinB=1213, cosC=35 513 + 45 1213 =3365.例例4.cos25 cos35 cos65 cos55 的值等于的值等于( ). (A) 0 (B

7、) 12 (C) 32 (D)12 解解: 原式原式=cos25 cos35 sin25 sin35 =cos(25 +35 ) =cos60 =12. 故选故选: ( )B例例5.5. 求函数求函数y=cos2xcosy=cos2xcos6 6 +sin2xsin+sin2xsin6 6的周期的周期. . 解解: : y=cos2xcosy=cos2xcos 6 6 +sin2xsin +sin2xsin 6 6 =cos =cos(2x (2x 6 6 ), ), 故此函数的最小正周期为故此函数的最小正周期为. . 1. .不查表不查表, ,求求cos165 cos165 ,cos,cos

8、( ( 61 6112)12)的的值值. . 2. 2.已知已知cos=cos=5 513, (,313, (,32)2)求求coscos(+(+6)6)的值的值. . 3. 3.coscos 15 15 sinsin15 15 = -.= -. 4. 4.在在ABCABC中中, ,若若sinAsinB=cosAcosBsinAsinB=cosAcosB, ,则则ABCABC是是 ( ).( ). (A) (A)直角三角形直角三角形(B)(B)钝角三角形钝角三角形(C)(C)锐角三角锐角三角形形(D)(D)不确定不确定 (6+2)4, (6+2)4(1253) 263 2A答案答案: 1. ( ) ; 2.( ) ; 3. ( ) ; 4. ( ).课堂练习 1.cos(+)=coscossinsin cos()=coscos+sinsin 2.利用公式可以利用公式可以求求非特殊角的三角函非特殊角的三角函数数值值,化简化简三角函数式和三角函数式和证明证明三角恒三角恒等式。使用公式时要灵活使用，并等式。使用公式时要灵活使用，并要注意公式的逆向使用要注意公式的逆向使用.小 结课本习题十五课本习