相似A卷讲评练习

1、菁优网2014年11月26日1403232的初中数学组卷 2014年11月26日1403232的初中数学组卷一解答题（共12小题）1如图，地面上直立着的两根高压电线杆相距50m（CD的长度），分别在高为30m的A处和20m的B处用钢索将两电线杆固定（1）求钢索AD和钢索BC的交点E处离地面的高度（2）若两电线杆的距离（CD的长度）发生变化，点E离地面的高度是否随之发生变化？说明理由2（2011眉山）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于F（1）求证：DCP=DAP；（2）若AB=2，DP：PB=1：2，且PABF，求对角线BD的长3如图，点P是

2、菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F（1）求证：PC2=PEPF；（2）若菱形边长为8，PE=2，EF=6，求FB的长4如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F（1）找出图中与全等的三角形，并说明理由；（2）猜想三条线段PC、PE、PF之间的比例关系，并说明理由5现有一块直角三角形木板，它的两条直角边分别为3米和4米要把它加工成面积最大的正方形桌面，甲、乙二人加工方法分别如图1和图2所示请运用所学知识说明谁的加工方法符合要求6一块直角三角形形状的铁皮材料，两直角边长分别为30cm、40cm，现要把

3、它加工成一个面积最大的正方形，两种加工方法如图、，请你用学过的知识说明哪种加工方法符合要求？7有一块三角形余料ABC，它的边BC=120，BC边上的高AD=80（1）如果把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上问加工成的正方形零件的边长是多少？（2）如果把它加工成长方形零件，使长方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上问加工成的长方形零件的最大面积是多少？8如图，有一块三角形的余料ABC，它的高AH=40mm，边BC=80mm，要把它加工成一个矩形，使矩形的一边EF落在BC上，其余两个顶点D、G分别在AB、AC上（1）求证：ADGABC；（2）设D

4、E=xmm，矩形DEFG的面积为ymm2，写出y与x的函数关系式；（3）当x为何值时，y有最大值，并求出最大值9（2014绍兴）课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上问加工成的正方形零件的边长是多少mm？小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零

5、件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长10（2011襄阳）如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF（1）求证：ADP=EPB；（2）求CBE的度数；（3）当的值等于多少时，PFDBFP？并说明理由11如图，动点P是正方形ABCD边AB上运动（不与点A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE、DF（1）求证：ADP=EPB（2）若正方形ABCD边长为4，点F能

6、否为边BC的中点？如果能，请你求出AP的长；如果不能，请说明理由（3）当的值等于多少时，PFDBFP？并说明理由12（2014柳州）如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQAB的延长线于点Q（1）求线段PQ的长；（2）问：点P在何处时，PFDBFP，并说明理由2014年11月26日1403232的初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共12小题）1如图，地面上直立着的两根高压电线杆相距50m（CD的长度），分别在高为30m的A处和20m的B处用钢索将两电线杆固定（1）求钢索

7、AD和钢索BC的交点E处离地面的高度（2）若两电线杆的距离（CD的长度）发生变化，点E离地面的高度是否随之发生变化？说明理由考点：相似三角形的应用菁优网版权所有分析：（1）根据题意可知ACD和BCD都是直角三角形，且AC=30m，BD=20m，求点E到CD的距离，当CD的长度变化时，点E到CD的距离是否发生变化（2）所求距离不能用勾股定理求解，应考虑相似三角形解答：解：（1）作EFCD于F，因为ACCD，BDCD，所以ACBDEF所以DEFDAC，CEFCBD，所以=，=所以+=+=1因为AC=30，BD=20，所以+=1，解得EF=12（m）即钢索AD与钢索BC的交点E离地面的高度是12m（

8、2）若两电线杆的距离（CD的长度）发生变化，点E离地面的高度不发生变化因为从（1）中可知，CD为任意长时总有：+=1，EF（+）=1所以EF=故EF的长度与CD的长度无关点评：本题考查了相似三角形的应用，当图形中有平行线、对顶角、公共角等与相似三角形有密切关系的条件时，可利用相似三角形的性质求解小结：相似三角形判定方法的作用：可以用来判定两个三角形相似；间接说明角相等，线段成比例；间接为计算线段长度及角的大小创造条件总结：本讲内容多为基础性知识，各类考试难度一般不大，通常以填空题、选择题和简单的解答题为主学习时注意和相关知识的对比和联系2（2011眉山）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一

9、点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于F（1）求证：DCP=DAP；（2）若AB=2，DP：PB=1：2，且PABF，求对角线BD的长考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质菁优网版权所有专题：几何综合题；压轴题分析：（1）根据菱形的性质得CD=AD，CDP=ADP，证明CDPADP即可；（2）由菱形的性质得CDBA，可证CPDFPB，利用相似比，结合已知DP：PB=1：2，CD=BA，可证A为BF的中点，又PABF，从而得出PB=PF，已证PA=CP，把问题转化到RtPAB中，由勾股定理，列方程求解解答：（1）证明：四边形ABCD为菱形，CD=AD

10、，CDP=ADP，CDPADP，DCP=DAP；（2）解：四边形ABCD为菱形，CDBA，CD=BA，CDP=FBP，BFP=DCP，CPDFPB，=，CD=BF，CP=PF，A为BF的中点，又PABF，PB=PF，由（1）可知，PA=CP，PA=PB，在RtPAB中，PB2=22+（PB）2，解得PB=，则PD=，BD=PB+PD=2点评：本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，菱形的性质及勾股定理的运用关键是根据菱形的四边相等，对边平行及菱形的轴对称性解题3如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F（1）求证：PC2=PEPF；（2

11、）若菱形边长为8，PE=2，EF=6，求FB的长考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质菁优网版权所有专题：计算题；证明题分析：（1）可由相似三角形AEPFAP对应边成比例进行求解，也可由平行线分线段成比例定理进行求解，两者均可；（2）由题中已知线段的长度，结合（1）中的结论，再由平行线分线段成比例，即可得出结论解答：（1）证明：法1：四边形ABCD是菱形，DC=DA，ADP=CDP，DCAB，又DP是公共边，DAPDCP，PA=PC，DAP=DCP，由DCFA得，F=DCP，F=DAP，又EPA=APFAEPFAP，PA2=PEPFPC2=PEPF法2：四边形ABCD

12、是菱形DCAB，ADBC（1分），（4分）PC2=PEPF（2）解：PE=2，EF=6，PF=8，PC2=PEPF，PC2=16PC=4，DCFB，又DC=8，FB=16点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及菱形的性质和相似三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握4如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F（1）找出图中与全等的三角形，并说明理由；（2）猜想三条线段PC、PE、PF之间的比例关系，并说明理由考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题分析：（1）根据菱形的性质得ADP=CDP，D

13、A=DC，从而得到APD与CPD全等（2）根据菱形的对边互相平行得DCF=F，再根据（1）题的结论得到DCP=DAP，从而证得PAEPFA，然后利用比例线段证得等积式即可解答：解：（1）四边形ABCD为菱形，ADP=CDP，DC=DA，APDCPD（SAS）；（2）四边形ABCD为菱形，DCF=F，APDCPD，DCP=DAP，F=PAE，PAEPFA，即：PA2=PEPF，P是菱形ABCD的对角线BD上一点，PA=PC，PC2=PEPF点评：本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定及相似三角形的判定及性质，求解第二问关键是证明PAEPFA，是一道不错的综合题，难度一般5现有一块直角三角形木板，

14、它的两条直角边分别为3米和4米要把它加工成面积最大的正方形桌面，甲、乙二人加工方法分别如图1和图2所示请运用所学知识说明谁的加工方法符合要求考点：相似三角形的应用；勾股定理；正方形的性质菁优网版权所有分析：根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例；相似三角形的对应高的比等于相似比，求解即可解答：解：图1加工的方法合理设图1加工桌面长xm，FDBC，RtAFDRtACB，AF：AC=FD：BC，即（4x）：4=x：3，解得x=，设图2加工桌面长ym，过点C作CMAB，垂足是M，与GF相交于点N，GFDE，CGFCAB，CN：CM=GF：AB，（CMy）：CM=y：ABAB=由面积相等可求得

15、CM=2.4，故此可求得y=；很明显xy，故x2y2，图1加工的方法合理点评：此题考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例；相似三角形的对应高的比等于相似比；解此题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答6一块直角三角形形状的铁皮材料，两直角边长分别为30cm、40cm，现要把它加工成一个面积最大的正方形，两种加工方法如图、，请你用学过的知识说明哪种加工方法符合要求？考点：相似三角形的应用菁优网版权所有专题：探究型分析：在图中设正方形的边长为x，则DE=x，AD=30x，由相似三角形的判定定理得出ADEACB，根据相似三角形的对应边成比例即可求出x的值；在图中过点C作CPAB，垂足为P

16、，CP交DG于Q由三角形的面积公式求出CP的长度，由相似三角形的判定定理得出CDGCAB，设DG=y，根据相似三角形的对应边成比例求出y的长度，比较出x，y的大小即可得出结论解答：解：在图中设正方形的边长为x，则DE=x，AD=30xA=A，ADE=C=90°ADEACB，=，即=，解得x=在图中过点C作CPAB，垂足为P，CP交DG于QSABC=ACBC=ABCP，CP=24DGAB，CDG=A，CGD=B，CDGCAB，=设DG=y，=，解得y=，yx图方法符合要求点评：本题考查的是相似三角形在实际生活中的运用，此类题目有利于培养学生理论联系实际的能力7有一块三角形余料ABC，它

17、的边BC=120，BC边上的高AD=80（1）如果把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上问加工成的正方形零件的边长是多少？（2）如果把它加工成长方形零件，使长方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上问加工成的长方形零件的最大面积是多少？考点：一元二次方程的应用菁优网版权所有专题：几何图形问题分析：（1）根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即APMABC，BPQBAD，从而得出边长之比，得到，进而求出正方形的边长；（2）分别讨论长方形的长和宽在BC上的情况，再根据相应得关系式得出所求解答：解：（1）设正方形零件的边长为a在正方形PMQN中

18、，PMBC，PQADAPMABC，BPQBAD，解得：a=48即：正方形零件的边长为48；（2）设长方形的长为x，宽为y，当长方形的长在BC时，由（1）知：2为2400当长方形的宽在BC时，为2400，又xy，所以长方形的宽在BC时，面积2400综上，长方形的面积最大为2400点评：本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质8如图，有一块三角形的余料ABC，它的高AH=40mm，边BC=80mm，要把它加工成一个矩形，使矩形的一边EF落在BC上，其余两个顶点D、G分别在AB、AC上（1）求证：ADGABC；（2）设DE=xmm，矩形DEFG的面积为ymm2，写出y与x的函数关系式

19、；（3）当x为何值时，y有最大值，并求出最大值考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；矩形的判定与性质菁优网版权所有专题：计算题；证明题分析：（1）利用矩形的性质，DGEF，利用同位角相等，即可求证ADGABC；（2）根据ADGABC，利用相似比等于对应高的比，求得DG=2（40x），然后即可求出用x、y表示的矩形面积的关系式（3）当（x20）2=0时y的值最大解得x即可解答：解：（1）由于四边形DEFG是矩形，所以DGEF，ADG=ABC，AGD=ACB，ADGABC，（2）由ADGABC得=，=，DG=2（40x）则矩形面积y=x2（40x）=2x2+80x=2（x20）2+800整

20、理得y=（x20）2+800（3）当（x20）2=0时y的值最大解得x=20，即当x=20时，y的值最大，最大值为800答：（2）y与x的函数关系式为：y=（x20）2+800（3）当x=20mm时，y的值最大，最大值为800mm2，点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，矩形的性质，等知识点的理解和掌握，此题的关键是利用相似三角形对应边的比等于其对应高的比，求得DG=2（40x），然后即可求得y与x的函数关系式和最值9（2014绍兴）课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个

21、顶点分别在AB，AC上问加工成的正方形零件的边长是多少mm？小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长考点：相似三角形的应用；二次函数的最值菁优网版权所有专题：几何综合题分析：（1）设PN=2y（mm），则PQ=y（mm），然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出即可；（2

22、）设PN=x，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答解答：解：（1）设矩形的边长PN=2y（mm），则PQ=y（mm），由条件可得APNABC，=，即=，解得y=，PN=×2=（mm），答：这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm；（2）设PN=x（mm），由条件可得APNABC，=，即=，解得PQ=80xS=PNPQ=x（80x）=x2+80x=（x60）2+2400，S的最大值为2400mm2，此时PN=60mm，PQ=80×60=40（mm）点评：本题考查了相

23、似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题的关键，此题规律性较强，是道好题10（2011襄阳）如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF（1）求证：ADP=EPB；（2）求CBE的度数；（3）当的值等于多少时，PFDBFP？并说明理由考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质菁优网版权所有专题：几何综合题；压轴题分析：（1）根据ADP与EPB都是APD

24、的余角，根据同角的余角相等，即可求证；（2）首先证得PADEQP，可以证得BEQ是等腰直角三角形，可以证得EBQ=45°，即可证得CBE=45°；（3）这两个三角形是直角三角形，若相似，则对应边的比相等，即可求得的值解答：（1）证明：四边形ABCD是正方形A=PBC=90°，AB=AD，ADP+APD=90°，DPE=90°，APD+EPB=90°，ADP=EPB；（2）解：过点E作EQAB交AB的延长线于点Q，则EQP=A=90°，又ADP=EPB，PD=PE，PADEQP，EQ=AP，AD=AB=PQ，AP=EQ=BQ，

25、CBE=EBQ=45°；（3）解：PFDBFP=ADP=EPB，CBP=ADAPPBF=PA=PB当=时，PFDBFP点评：本题主要考查了正方形的性质，以及三角形相似的判定与性质，正确探究三角形相似的性质是解题的关键11如图，动点P是正方形ABCD边AB上运动（不与点A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE、DF（1）求证：ADP=EPB（2）若正方形ABCD边长为4，点F能否为边BC的中点？如果能，请你求出AP的长；如果不能，请说明理由（3）当的值等于多少时，PFDBFP？并说明理由考点：相似形综合题菁优网版权所有专题：综合题分析：（1）根据ADP与EPB都是APD的余角，根据同角的余角相等，即可求证；（2）假设F为BC的中点，且正方形边长为4，求出FB=2，再由（1）得出的ADP=EPB，加上一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出PAD和PFB相似，由相似得比例，将各自的值代入得出关于AP的方程，求出根的判别式小于0，得到此方程无解，故F不能为BC的中点；（3）这两个三角形是直角三角形，若相似，则对应边的比相等，即可求得的值解答：（1）证明：四边形ABCD是正方形A=PBC=90°，AB=AD，ADP+APD=90°，DPE=90