第13章静电场

1、 第13章 静电场教学基本要求教学基本要求v 教学重点：教学重点：高斯定理及其应用；静电场的环路定理；电势能高斯定理及其应用；静电场的环路定理；电势能v 教学难点：教学难点：静电场中的导体；静电场中的电介质静电场中的导体；静电场中的电介质v 教学目的：教学目的：v 1.重点掌握高斯定理及其应用、静电场的环路定理和电势能重点掌握高斯定理及其应用、静电场的环路定理和电势能的计算；的计算；v 2.掌握静电场的电场强度和电势差及电势的计算；掌握静电场的电场强度和电势差及电势的计算；v 3.理解静电场中的导体和电介质的特性。理解静电场中的导体和电介质的特性。物理学的第物理学的第三三次大综合次大综合法拉第

2、法拉第的电磁感应定律：的电磁感应定律： 电磁一体电磁一体麦克斯韦麦克斯韦电磁场统一理论（电磁场统一理论（19世纪中叶）世纪中叶）赫兹赫兹在实验中证实电磁波的存在，光是电磁波在实验中证实电磁波的存在，光是电磁波. .技术上的重要意义：发电机、电动机、无线电技术等技术上的重要意义：发电机、电动机、无线电技术等. .库仑库仑定律：定律： 电荷与电荷间的相互作用电荷与电荷间的相互作用 （磁极与磁极间的相互作用）（磁极与磁极间的相互作用） 奥斯特奥斯特的发现：的发现： 电流的磁效应，安培发现电流与电流电流的磁效应，安培发现电流与电流 间的相互作用规律间的相互作用规律. . 物理学的五次大综合物理学的五次

3、大综合一、第一次物理学史上的大综合，诞生了牛顿的一、第一次物理学史上的大综合，诞生了牛顿的经经典力学典力学。 二、第二次物理学的大综合确立了能量转化和守恒二、第二次物理学的大综合确立了能量转化和守恒定律。定律。三、第三次物理学的大综合和统一电磁场理论的确三、第三次物理学的大综合和统一电磁场理论的确立。立。四、第四次物理学理论大综合与爱因斯坦的四、第四次物理学理论大综合与爱因斯坦的相对论相对论。 五、第五次物理学理论大综合与五、第五次物理学理论大综合与量子力学量子力学。 1q12r12r21F12F一一 点电荷模型点电荷模型12121221201214q qFeFr 二二 库仑定律库仑定律d）（

4、12rd 21F12F2q1q2q13- 1 13- 1 库仑定律库仑定律1221208.8542 10CNm122014 rq qFer0 ：真空介电常数：真空介电常数1218.8542 10F m 库仑力遵守牛顿第三定律库仑力遵守牛顿第三定律 库仑定律库仑定律12121221201214q qFeFr re ：q1指向指向q2的单位矢量的单位矢量13 - 1 13 - 1 库仑定律库仑定律电力叠加原理电力叠加原理说明：说明：13 - 2 13 - 2 静电场静电场（1 1）一个点电荷作用于另一点电荷的力，总是服从）一个点电荷作用于另一点电荷的力，总是服从库仑定律的，不论其周围是否存在其他电

5、荷。库仑定律的，不论其周围是否存在其他电荷。（2 2）任何宏观带电体都可以分成无限多个带电元，）任何宏观带电体都可以分成无限多个带电元，将这些带电元视为点电荷，利用库仑定律和力的叠将这些带电元视为点电荷，利用库仑定律和力的叠加原理，原则上可以解决静电学的全部问题。加原理，原则上可以解决静电学的全部问题。01021212010222001002114 4 FFFq qq qeerr例例131 计算氢原子内电子和原子核之间的静电作用力和万有计算氢原子内电子和原子核之间的静电作用力和万有引力，并比较两者大小。已知电子和原子核之间的距离引力，并比较两者大小。已知电子和原子核之间的距离 r =0.529

6、 10-10米，电子质量米，电子质量 m = 9.1110-31千克，氢千克，氢原子核质量原子核质量M = 1.6710-27千克，电子和原子核所带电量千克，电子和原子核所带电量q1 =q2 =1.610-19库仑，万有引力恒量库仑，万有引力恒量G0 =6.6710-11牛牛顿顿米米2/千克千克2。顿米2/千克2。v 解解 据库仑定律，电子和原子核间的静电力为：据库仑定律，电子和原子核间的静电力为：v 万有引力：万有引力： v 比值比值Fe / Fm = 2.27 1039v 可见在原子内，电子和原子核之间的静电力远比万有引力为大。可见在原子内，电子和原子核之间的静电力远比万有引力为大。 牛8

7、20211023. 84rqqFe牛47201036. 3rmMGFm13 - 1 13 - 1 库仑定律库仑定律一一 静电场静电场 实验证实了两静止电荷间存在相互作用的静电力，实验证实了两静止电荷间存在相互作用的静电力，但其相互作用是怎样实现的但其相互作用是怎样实现的？电电 荷荷电电 场场电电 荷荷场是一种特殊形态的物质场是一种特殊形态的物质实物实物物物 质质 场场13 - 2 13 - 2 静电场静电场Q0q二二 电场强度电场强度 单位单位 11mV CN 电场中某点处的电场中某点处的电场强度电场强度 等于位于该点处的等于位于该点处的单位试验电荷单位试验电荷所受的力所受的力，其方向为，其方

8、向为正正电荷受力电荷受力方向方向. .EEqF 电荷电荷 在电场中受力在电场中受力 qF0qFE（试验电荷为点（试验电荷为点电荷电荷、且足够小且足够小, ,故故对原电场几乎无影对原电场几乎无影响）响）：场源电荷：场源电荷Q0q：试验电荷：试验电荷13 - 2 13 - 2 静电场静电场QrerQqFE200 41三三 点电荷的电场强度点电荷的电场强度0qrEEQrQ0qEQE?0Er问问13 - 2 13 - 2 静电场静电场1q2q3q四四 电场强度的叠加原理电场强度的叠加原理0q1r1F2r3r2F3F0q由力的叠加原理得由力的叠加原理得 所受合力所受合力 iiFF点电荷点电荷 对对 的作

9、用力的作用力 iiiirrqqF300 410qiq故故 处总电场强度处总电场强度 iiqFqFE000qiiEE电场强度的叠加原理电场强度的叠加原理13 - 2 13 - 2 静电场静电场qrerqE20d 41d 电荷连续分布情况电荷连续分布情况qreEErd 41d20电荷电荷体体密度密度VqddqdEdrPVreErVd 4120点点 处电场强度处电场强度P13 - 2 13 - 2 静电场静电场qPsd电荷电荷面面密度密度sqddsreErSd 4120ql d电荷电荷线线密度密度lqddlreErld 4120EdrEdrP13 - 2 13 - 2 静电场静电场qqqq电偶极矩（

10、电矩）电偶极矩（电矩）0rqpp例例1 1 电偶极子的电场强度电偶极子的电场强度0r电偶极子的轴电偶极子的轴0r 讨讨 论论（1）电偶极子轴线延长线上一点的电场强度电偶极子轴线延长线上一点的电场强度20r20rAxOxEE13 - 2 13 - 2 静电场静电场irxqE200)2( 41irxqE200)2( 41irxxrqEEE220200)4(2 40rx ixqrE3002 41302 41xpqqEE20r20rAxOx13 - 2 13 - 2 静电场静电场qq0r （2 2）电偶极子轴线的中垂线上一点的电场强度电偶极子轴线的中垂线上一点的电场强度EEErrxyByeeerqE2

11、0 41erqE20 41202)2(ryrrrrj yire)2(0rj yire)2(013 - 2 13 - 2 静电场静电场) 2 ( 41030irjyrqE300 41riqrEEE) 2 ( 41030irjyrqE2/ 320200)4( 41ryiqr0ry 300 41yiqrE30 41ypqq0rEEErrxyByee13 - 2 13 - 2 静电场静电场xqyxzoPRrrerlE20d 41dEEd由对称性有由对称性有iEExR解解 例例2 2 正电荷正电荷 均匀分布在半径为均匀分布在半径为 的圆环上的圆环上. .计算在环的轴线上任一点计算在环的轴线上任一点 的电

12、场强度的电场强度. .qPlqdd) 2(Rq13 - 2 13 - 2 静电场静电场xqyxzoRrlqddrerlE20d 41dP) 2(RqcosddEEEllxrxrl204dRrlx2030 4d23220)( 4Rxqx13 - 2 13 - 2 静电场静电场23220)( 4RxqxExqyxzoRrlqddPE讨讨 论论Rx （1 1）20 4xqE（点电荷电场强度）（点电荷电场强度）0,00Ex（2 2）RxxE22, 0dd（3 3）R22R22Eox13 - 2 13 - 2 静电场静电场23220)( 4 RxxqE20 RqEdRRqd2d例例3 3 均匀带电薄圆盘

13、轴线上的电场强度均匀带电薄圆盘轴线上的电场强度. . 有一半径为有一半径为 , ,电荷均匀分布的薄圆盘电荷均匀分布的薄圆盘, ,其电荷面其电荷面密度为密度为 . . 求通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点求通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点处的电场强度处的电场强度. .0RxPRRd2/122)(Rx 23220)( 4 ddRxxqEx23220)(d2RxRxRxyzo0R解解 由例由例13 - 2 13 - 2 静电场静电场xEEd)11(220220RxxxE0RxyzoEdRPRd002/3220)(d2RRxRRx23220)(d2dRxRxREx13 - 2 13 - 2 静电场静

14、电场0Rx 02E0Rx 204xqE（点电荷电场强度）（点电荷电场强度）讨讨 论论无限大均匀带电无限大均匀带电平面的电场强度平面的电场强度)11(220220RxxxE13 - 2 13 - 2 静电场静电场一一 电场线电场线 （电场的图示法）（电场的图示法） 1 1） 曲线上每一点曲线上每一点切线切线方向为该点电场方向方向为该点电场方向, , 2 2） 通过垂直于电场方向单位面积电场线数为通过垂直于电场方向单位面积电场线数为该点电场强度的大小该点电场强度的大小. .SNEEd/d规规 定定ES13 - 3 13 - 3 高斯定理及其应用高斯定理及其应用+13 - 3 13 - 3 高斯定理

15、及其应用高斯定理及其应用+13 - 3 13 - 3 高斯定理及其应用高斯定理及其应用+13 - 3 13 - 3 高斯定理及其应用高斯定理及其应用qq213 - 3 13 - 3 高斯定理及其应用高斯定理及其应用+ + + + + + + + + + + + 13 - 3 13 - 3 高斯定理及其应用高斯定理及其应用电场线特性电场线特性 1 1） 始于正电荷始于正电荷, ,止于负电荷止于负电荷( (或来自无穷远或来自无穷远, ,去去向无穷远向无穷远).). 2 2） 电场线不相交电场线不相交. . 3 3） 静电场电场线不闭合静电场电场线不闭合. .13 - 3 13 - 3 高斯定理及其

16、应用高斯定理及其应用ES二二 电场强度通量电场强度通量 通过电场中某一个面的电场线数叫做通过这个面通过电场中某一个面的电场线数叫做通过这个面的电场强度通量的电场强度通量. . 均匀电场均匀电场 ， 垂直平面垂直平面EES ecoseES 均匀电场均匀电场 ， 与平面夹角与平面夹角EneSEeES13 - 3 13 - 3 高斯定理及其应用高斯定理及其应用EE 非均匀电场强度电通量非均匀电场强度电通量 sSEdcosdeesSEde0d,2e220d,2e11SEddenddeSS 为封闭曲面为封闭曲面SSdEne1dS2dS22E11E13 - 3 13 - 3 高斯定理及其应用高斯定理及其应

17、用SSSESEdcosde 闭合曲面的电场强度通量闭合曲面的电场强度通量SEdde 例例4 如图所示如图所示 ，有一，有一个三棱柱体放置在电场强度个三棱柱体放置在电场强度 的匀强电的匀强电场中场中 . 求通过此三棱柱体的求通过此三棱柱体的电场强度通量电场强度通量 .1CN200iExyzEoESdES13 - 3 13 - 3 高斯定理及其应用高斯定理及其应用xyzEoPQRNM解解下右左后前eeeeee 下后前eee 0dsSE左左左左ESESsSEcosd enenene左右右右ESESsSEcosd e0 eeeeee下右左后前13 - 3 13 - 3 高斯定理及其应用高斯定理及其应用

18、三三 高斯定理高斯定理niiSqSE10e1d 在真空中在真空中, ,通过任一通过任一闭合闭合曲面的电场强度通量曲面的电场强度通量, ,等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 . .0（与（与面外面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面）电荷无关，闭合曲面称为高斯面）请思考：请思考：1 1）高斯面上的高斯面上的 与那些电荷有关与那些电荷有关 ？ Es2 2）哪些电荷对闭合曲面哪些电荷对闭合曲面 的的 有贡献有贡献 ？e13 - 3 13 - 3 高斯定理及其应用高斯定理及其应用+Sd 点电荷位于球面中心点电荷位于球面中心20 4rqESSSrqSEd 4d20e0

19、eq r高斯定理的导出高斯定理的导出高斯高斯定理定理库仑定律库仑定律电场强度叠加原理电场强度叠加原理13 - 3 13 - 3 高斯定理及其应用高斯定理及其应用 发出的发出的条电场线仍全部穿出封闭条电场线仍全部穿出封闭曲面曲面 S ，即：，即：0/qq0qe+ 点电荷在任意封闭曲面内点电荷在任意封闭曲面内0eq 点电荷位于球面中心点电荷位于球面中心13 - 3 13 - 3 高斯定理及其应用高斯定理及其应用q 点电荷在封闭曲面之外点电荷在封闭曲面之外2dS2E0dd111SE0dd222SE0dd210dSSE1dS1E13 - 3 13 - 3 高斯定理及其应用高斯定理及其应用 由多个点电荷

20、产生的电场由多个点电荷产生的电场21EEE SiiSSESEdde （外）内）iSiiSiSESEdd( 内）（内）(0e1diiiSiqSE0d （外）iSiSE1qiq2qsSdE13 - 3 13 - 3 高斯定理及其应用高斯定理及其应用niiSqSE10e1d高斯定理高斯定理1 1）高斯面上的电场强度为高斯面上的电场强度为所有所有内外电荷的总电场强度内外电荷的总电场强度. .4 4）仅高斯面仅高斯面内内的电荷对高斯面的电场强度的电荷对高斯面的电场强度通量通量有贡献有贡献. .2 2）高斯面为封闭曲面高斯面为封闭曲面. .5 5）静电场是静电场是有源场有源场. .3 3）穿进高斯面的电场

21、强度通量为穿进高斯面的电场强度通量为负负，穿出为，穿出为正正. .总总 结结13 - 3 13 - 3 高斯定理及其应用高斯定理及其应用1S2S3Sqq01e1dqSES02e03eq 在点电荷在点电荷 和和 的静电场中，做如下的三的静电场中，做如下的三个闭合面个闭合面 求求通过各闭合面的电通量通过各闭合面的电通量 . .,321SSSqq讨论讨论 将将 从从 移到移到2qABePs点点 电场强度是否变化电场强度是否变化？穿过高斯面穿过高斯面 的的 有否变化有否变化？2q2qABs1qP*13 - 3 13 - 3 高斯定理及其应用高斯定理及其应用四四 用高斯定理求电场强度用高斯定理求电场强度

22、 其步骤为其步骤为 对称性分析；对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面；根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算应用高斯定理计算. .（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性对称性）13 - 3 13 - 3 高斯定理及其应用高斯定理及其应用+OR例例5 5 均匀带电球面的电场强度均匀带电球面的电场强度0d1SSE0E02dQSESr1S20 4rQE02 4QErr2s 一半径为一半径为 , 均匀带电均匀带电 的球的球面面 . 求球面内外任意点的电场强求球面内外任意点的电场强 度度.RQ20 4RQrRoE解（解（1）Rr 0Rr（2）13

23、- 3 13 - 3 高斯定理及其应用高斯定理及其应用+oxyz例例13-2 13-2 求均匀带正电的无限长细棒的电场分布，该棒求均匀带正电的无限长细棒的电场分布，该棒上线电荷密度为上线电荷密度为。下底）上底）侧面）(dd dsssSESESE选取闭合的柱形高斯面选取闭合的柱形高斯面 对称性分析：对称性分析：轴对称。轴对称。解解lSSEd侧面）(dsSEneneneE+r13 - 3 13 - 3 高斯定理及其应用高斯定理及其应用0lrE0 20 2lrlE 侧面）(ddsSSESE+oxyzlneE+r13 - 3 13 - 3 高斯定理及其应用高斯定理及其应用+ + + + + + + +

24、 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 例例13-3 电荷以面密度均匀分布于一个无限大平面上，电荷以面密度均匀分布于一个无限大平面上，求其激发的场强。求其激发的场强。选取闭合的柱形高斯面选取闭合的柱形高斯面02E对称性分析：对称性分析： 垂直平面垂直平面E解解0dSSES底面积底面积+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

25、 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + SEESSS20SE 13 - 3 13 - 3 高斯定理及其应用高斯定理及其应用02EEEEExEO)0(13 - 3 13 - 3 高斯定理及其应用高斯定理及其应用000000讨讨 论论无无限限大大带带电电平平面面的的电电场场叠叠加加问问题题13 - 3 13 - 3 高斯定理及其应用高斯定理及其应用例例134求无限长均匀带电圆柱面的电场。求无限长均匀带电圆柱面的电场。柱面半径柱面半径R，电荷面密度，电荷面密度。解解:取一合适的高斯面取一合适的高斯面轴对称性轴对称性1S 2S 3S sesdE 1

26、23ssssdEsdEsdE 2sE lrE 20 iSqSdE02RlrRE0 带电圆柱面内部的场强等于零。带电圆柱面内部的场强等于零。 E E13 - 3 13 - 3 高斯定理及其应用高斯定理及其应用q一一 静电场力所做的功静电场力所做的功0qrlEqddA0lrrqqd 4300cosddlrlrrrdrrqqd 4dA200BArrrrqq200d 4A 点电荷的电场点电荷的电场ldrdArABrBE)11( 400BArrqq结果结果: : 仅与仅与 的的始末始末位置位置有关有关，与路径无关，与路径无关. .0qW13 - 4 13 - 4 静电场中的环路定理静电场中的环路定理 任

27、意电荷的电场（视为点电荷的组合）任意电荷的电场（视为点电荷的组合）iiEEllEqdA0liilEqd0结论：结论：静电场力做功与路径无关静电场力做功与路径无关. .二二 静电场的环路定理静电场的环路定理EBABAlEqlEq2010dd0)dd(210ABBAlElEq0dllE静电场是保守场静电场是保守场12AB13 - 4 13 - 4 静电场中的环路定理静电场中的环路定理一一 电势能电势能 静静电场是电场是保守场保守场，静电场力是，静电场力是保守力保守力. .静电场力静电场力所做的功就等于电荷所做的功就等于电荷电势能增量电势能增量的的负值负值. .WWWlEqqqppq)(dAp0pq

28、AqWpW, 0qpW, 0W电势能的电势能的大小大小是是相对相对的，电势能的的，电势能的差差是是绝对绝对的的.令令0WqqplEqdW0p 试验电荷试验电荷 在电场中某点的电势能，在数值上在电场中某点的电势能，在数值上就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功. .0q13 - 5 13 - 5 电势能电势能 电势差和电势电势差和电势 电场的电场的电势电势（势函数）：（势函数）：静电场的保守性意味着，对静静电场的保守性意味着，对静电场来说，存在着一个由电场电场来说，存在着一个由电场中各点中各点位置决定位置决定的的标量标量函数函数.E0qAB二二

29、电势电势)W(d0A0BBAqWqlE此积分大小与此积分大小与 无关，仅与无关，仅与 A、B 位置有关位置有关. .0q)WW(d0ABABlEq13 - 5 13 - 5 电势能电势能 电势差和电势电势差和电势E0qABBABAVlEVd )WW(d 00qqlEABAB0WqVAAA 点电势点电势0WqVBBB 点电势点电势（ 为参考电势，值任选）为参考电势，值任选）BV)(d ABABVVlE 此标量函数（电势）在此标量函数（电势）在 A、B 两点的数值之两点的数值之差差等等于从于从A到到B移动移动单位正电荷单位正电荷时静电场力所做的功时静电场力所做的功.13 - 5 13 - 5 电势

30、能电势能 电势差和电势电势差和电势BABAVlEVd 令令0BVABAlEVd 电势零点选择方法：电势零点选择方法：有限带电体以无穷远为电势零有限带电体以无穷远为电势零点，实际问题中常选择地球电势为零点，实际问题中常选择地球电势为零. .dAAVElABBAABlEVVUd 电势差电势差lEVVAAd0点 物理意义物理意义 把单位正试验电荷从点把单位正试验电荷从点 A 移到无穷远时，移到无穷远时，静电场力所作的功静电场力所作的功. . 13 - 5 13 - 5 电势能电势能 电势差和电势电势差和电势( (将单位正电荷从将单位正电荷从 移到移到 电场力作的功电场力作的功.).)ABABBAAB

31、lEVVUd 电势差电势差 电势差是绝对的，与电势零点的选择无关；电势差是绝对的，与电势零点的选择无关；电势大小是相对的，与电势零点的选择有关电势大小是相对的，与电势零点的选择有关. .注意注意BABAUqVqVq000A 静电场力的功静电场力的功J10602. 1eV119原子物理中能量单位原子物理中能量单位 单位：单位：伏特伏特）（V13 - 5 13 - 5 电势能电势能 电势差和电势电势差和电势qrldE二二 点电荷的电势点电荷的电势rrqE30 4令令0VrlrrqVd 430rqV0 4rd0, 00, 0VqVqrrrqr30 4d13 - 5 13 - 5 电势能电势能 电势差

32、和电势电势差和电势1q2q3q三三 电势的叠加原理电势的叠加原理 点电荷系点电荷系iiEEAAlEVdlEiAidiiiiAiArqVV04 电荷连续分布电荷连续分布rqVP0 4dA1r1E2r3r2E3EqEdrPVqddqd13 - 5 13 - 5 电势能电势能 电势差和电势电势差和电势求电势求电势的方法的方法rqVP0 4d 利用利用 若已知在积分路径上若已知在积分路径上 的函数表达式的函数表达式 则则ElEVVAAd0 点（利用了点电荷电势（利用了点电荷电势 ，这一结果已选无限远处为电势零点，即使这一结果已选无限远处为电势零点，即使用此公式的前提条件为用此公式的前提条件为有限大有限

33、大带电体且选带电体且选无限远无限远处为电势零点处为电势零点. .）rqV0 4/讨论讨论13 - 5 13 - 5 电势能电势能 电势差和电势电势差和电势RlqrVP 2d 41d0rqRlqrVP00 4 2d 41220 4Rxq+Rr 例例13-5 正电荷正电荷 均匀分布在半径为均匀分布在半径为 的细圆环上的细圆环上. 求求圆环圆环轴线上距环心为轴线上距环心为 处点处点 的电势的电势.qRxPldxPRlqlq 2dddoyzx13 - 5 13 - 5 电势能电势能 电势差和电势电势差和电势RqVx00 40 ，xqVRxP0 4 ，220 4RxqVP讨讨 论论 Rq04xoV212

34、20)( 4Rxq13 - 5 13 - 5 电势能电势能 电势差和电势电势差和电势Rox)( 2220 xRx22rx xPrrqd 2drrdRPrxrrV0220d 2 41Rx xRxRx2222xQV0 4（点点电荷电势）电荷电势） 例例13-6 13-6 求均匀带电薄圆盘轴线上的电势求均匀带电薄圆盘轴线上的电势13 - 5 13 - 5 电势能电势能 电势差和电势电势差和电势例例6 “无限长无限长”带电直导线的电势带电直导线的电势解解BABPVlEVd orBBrPr令令0BVBPrrrEVdBrrrrerd20rrBln2013 - 5 13 - 5 电势能电势能 电势差和电势电

35、势差和电势例例7 7 均匀带电球壳的电势均匀带电球壳的电势. .+QR真空中，有一带电为真空中，有一带电为 ，半径为，半径为 的带电球壳的带电球壳.QR试试求求（1）球壳外两点间的电势差；（）球壳外两点间的电势差；（2）球壳内两点）球壳内两点间的电势差；间的电势差；解解r202 4erqERr ，01ERr，（1）BABArrrEVVd2BArrrreerrQ20d 4)11( 40BArrQrorerdABArrBr13 - 5 13 - 5 电势能电势能 电势差和电势电势差和电势0d1BABArrrEVV（3）Rr ,Br0V令令rQ0 4rrrQd 420)11( 40BABArrQVV

36、 由由rQrV0 4)(外可得可得rrErVd)(2外 或或（2）Rr +QRrorerdABArrBr 求：求：（2）球壳内两点间的电势差；（）球壳内两点间的电势差；（3）球壳外任）球壳外任意点的电势；意点的电势；13 - 5 13 - 5 电势能电势能 电势差和电势电势差和电势内V（4）Rr rQrV0 4)(外 由由RQRV0 4)(可得可得 或或RrERrrErVdd)(21内RQ0 4rQrV0 4)(外RQrV0 4)(内RQ0 4RroVrQ0 4求求：（：（4）球壳内任意点的电势）球壳内任意点的电势.13 - 5 13 - 5 电势能电势能 电势差和电势电势差和电势 空间空间电

37、势相等的点电势相等的点连接起来所形成的面称为等势连接起来所形成的面称为等势面面. . 为了描述空间电势的分布，规定任意两为了描述空间电势的分布，规定任意两相邻相邻等势等势面间的面间的电势差相等电势差相等. .一一 等势面等势面（电势图示法）（电势图示法） 在静电场中，电荷沿等势面移动时，电场力做功在静电场中，电荷沿等势面移动时，电场力做功0d)(A00babalEqVVq0dA0balEq0d000lEqlEdE 在静电场中，电场强度在静电场中，电场强度 总是与等势面垂直的，总是与等势面垂直的，即电场线是和等势面即电场线是和等势面正交正交的曲线簇的曲线簇. .13 13 6 6 电场强度与电势

38、梯度电场强度与电势梯度1dl2dl12ddll 12EE 按规定，电场中任意两相邻等势面之间的电势差相按规定，电场中任意两相邻等势面之间的电势差相等，即等势面的等，即等势面的疏密程度疏密程度同样可以表示场强的大小同样可以表示场强的大小13 13 6 6 电场强度与电势梯度电场强度与电势梯度+ + + + + + + + + + + + 13 13 6 6 电场强度与电势梯度电场强度与电势梯度+13 13 6 6 电场强度与电势梯度电场强度与电势梯度二二 电场强度与电势梯度电场强度与电势梯度cos lElEVVUABAB）（lEEcoslVElEVll，lVlVEllddlim0 电场中某一点的

39、电场中某一点的电场强度电场强度沿沿某一方向的分量某一方向的分量，等于，等于这一点的电势沿该方向单位长度上这一点的电势沿该方向单位长度上电势变化率电势变化率的的负负值值. .VVVlElEAB13 13 6 6 电场强度与电势梯度电场强度与电势梯度三三 电场线和等势面的关系电场线和等势面的关系1 1）电场线与等势面处处电场线与等势面处处正正交交. . （等势面上移动电荷，电场力不做功（等势面上移动电荷，电场力不做功. .）2 2）等势面等势面密密处电场强度处电场强度大大；等势面；等势面疏疏处电场强度处电场强度小小. . 1 1）电场弱的地方电势低；电场强的地方电势高吗？电场弱的地方电势低；电场强

40、的地方电势高吗？ 2 2） 的地方，的地方， 吗吗 ？ 3 3） 相等的地方，相等的地方， 一定相等吗？等势面上一定相等吗？等势面上 一定相等吗一定相等吗 ？0V0EVEE讨论讨论13 13 6 6 电场强度与电势梯度电场强度与电势梯度例例13-7 从点电荷的电势表示式从点电荷的电势表示式04qVr出发，出发，求点电荷的场强。求点电荷的场强。解：解：2414rqrqdrdrVEr取点电荷取点电荷 q 的所在点为原点，由于点电荷电场的所在点为原点，由于点电荷电场的对称性，电场中各点的场强必沿过该点的矢的对称性，电场中各点的场强必沿过该点的矢经方向，利用场强和电势的微分关系，取电势经方向，利用场强

41、和电势的微分关系，取电势对对 r 的导数：的导数：场强方向沿矢径方向。场强方向沿矢径方向。13 13 6 6 电场强度与电势梯度电场强度与电势梯度例例8 8 求一均匀带电细圆环轴线上任一点的电场强度求一均匀带电细圆环轴线上任一点的电场强度. . 解解xqyxzoRrlqddPExVEEx21220)( 4RxqV23220)( 4RxqxVE21220)( 4Rxqx13 13 6 6 电场强度与电势梯度电场强度与电势梯度例例138利用场强和电势的微分关系，计算均匀利用场强和电势的微分关系，计算均匀带电圆盘轴线上任一点带电圆盘轴线上任一点P的场强。的场强。v解例解例136已经得出圆盘轴线上任一

42、点已经得出圆盘轴线上任一点P的电势的电势为：为：xxRV222此式表明，此式表明，P点的电势点的电势V是是 x 的的函数，函数，P点的场强只有点的场强只有 x 分量，分量，有有222212)(2xRxxxRxxVEx方向沿圆盘的轴线方向。这与前面的结果是一样的。方向沿圆盘的轴线方向。这与前面的结果是一样的。13 13 6 6 电场强度与电势梯度电场强度与电势梯度+一一 静电平衡条件静电平衡条件感应电荷感应电荷1 13 3 - - 7 7 静电场中的导体静电场中的导体+0E1 13 3 - - 7 7 静电场中的导体静电场中的导体00EEE0E+E0E0E导体内电场强度导体内电场强度外电场强度外

43、电场强度感应电荷电场强度感应电荷电场强度1 13 3 - - 7 7 静电场中的导体静电场中的导体+ +导体是等势体导体是等势体nee静电平衡条件静电平衡条件（1 1）导体内部任何一点处的电场强度为零；）导体内部任何一点处的电场强度为零；（2 2）导体表面处的电场强度的方向）导体表面处的电场强度的方向, ,都与导体表面垂直都与导体表面垂直. .Eld 导体表面是等势面导体表面是等势面0d lEU 导体内部电势相等导体内部电势相等0d ABABlEUlEdAB1 13 3 - - 7 7 静电场中的导体静电场中的导体二二 静电平衡时导体上电荷的分布静电平衡时导体上电荷的分布+结论结论 导体内部无

44、电荷导体内部无电荷00dqSES00diSqSE，0E1实心导体实心导体2 2有空腔导体有空腔导体0 qS 空腔内无电荷空腔内无电荷S电荷分布在表面上电荷分布在表面上问问 内表面上有电荷吗内表面上有电荷吗？1 13 3 - - 7 7 静电场中的导体静电场中的导体0d lEUABAB若内表面带电若内表面带电所以内表面所以内表面不不带电带电S+-AB 结论结论 电荷分布在外表面上（内表面无电荷）电荷分布在外表面上（内表面无电荷）+矛盾矛盾0diSqSE，导体是等势体导体是等势体0d lEUABAB1 13 3 - - 7 7 静电场中的导体静电场中的导体q 空腔内有电荷空腔内有电荷q2S00d1

45、iSqSE，qq内qQ1S电荷分布在表面上电荷分布在表面上问问 内表面上有电荷吗内表面上有电荷吗？00d2iSqSE， 结论结论 当空腔内有电荷当空腔内有电荷 时时, 内表面因静电感应内表面因静电感应出现等值异号的电荷出现等值异号的电荷 ，外表面增加感应电荷外表面增加感应电荷 . （电荷守恒）（电荷守恒）qqq1 13 3 - - 7 7 静电场中的导体静电场中的导体+E 为表面电荷面密度为表面电荷面密度 作钱币形高斯面作钱币形高斯面 S S3 3导体表面电场强度与电荷面密度的关系导体表面电场强度与电荷面密度的关系0dSSES0SSE0E 表面电场强度的大表面电场强度的大小与该表面电荷面密度小

46、与该表面电荷面密度成正比成正比0E1 13 3 - - 7 7 静电场中的导体静电场中的导体+注意注意 导体表面电荷分布与导体形状以及周围环境有关导体表面电荷分布与导体形状以及周围环境有关. .4导体表面电荷分布导体表面电荷分布EE;,0E1 13 3 - - 7 7 静电场中的导体静电场中的导体带电导体尖端附近电场最强带电导体尖端附近电场最强 带电导体尖端附近的电场特带电导体尖端附近的电场特别大，可使尖端附近的空气发生别大，可使尖端附近的空气发生电离而成为导体产生放电现象，电离而成为导体产生放电现象，即即尖端放电尖端放电 . 尖端放电会损耗电能尖端放电会损耗电能, 还会干扰精密测量和对通还会

47、干扰精密测量和对通讯产生讯产生危害危害 . 然而尖端放电也有很广泛的然而尖端放电也有很广泛的应用应用 . 尖端放电现象尖端放电现象 E尖端放电现象的尖端放电现象的利利与与弊弊1 13 3 - - 7 7 静电场中的导体静电场中的导体演示演示演示演示三三 静电屏蔽静电屏蔽 1 1屏蔽外电场屏蔽外电场E外电场外电场 空腔导体可以屏蔽外电场空腔导体可以屏蔽外电场, , 使空腔内物体不受外电使空腔内物体不受外电场影响场影响. .这时这时, ,整个空腔导体和腔内的电势也必处处相等整个空腔导体和腔内的电势也必处处相等. .E空腔导体屏蔽外电场空腔导体屏蔽外电场1 13 3 - - 7 7 静电场中的导体静

48、电场中的导体q 接地空腔导体接地空腔导体将使外部空间不受将使外部空间不受空腔内的电场影响空腔内的电场影响. 问：问：空间各部空间各部分的电场强度如何分的电场强度如何分布分布 ？接地导体电势为零接地导体电势为零q 2 2屏蔽腔内电场屏蔽腔内电场+q1 13 3 - - 7 7 静电场中的导体静电场中的导体如：高压带电作业人员穿的导电纤维编织的工作服。如：高压带电作业人员穿的导电纤维编织的工作服。1 13 3 - - 7 7 静电场中的导体静电场中的导体例例139对于两个无限大带电平板导体，证明：对于两个无限大带电平板导体，证明：1）相）相向的两面上，电荷面密度总是大小相等符号相反；向的两面上，电

49、荷面密度总是大小相等符号相反；2）相背的两面上，电荷面密度总是大小相等符号相同。相背的两面上，电荷面密度总是大小相等符号相同。证：证：121SSq由静电平衡条件，导体板内没有电场由静电平衡条件，导体板内没有电场312402222AooooE312402222BOOooE342SSq电荷守恒：电荷守恒：q1q2BA 2 3 4 11423 1 13 3 - - 7 7 静电场中的导体静电场中的导体1423 122qqS122qqS特例：特例：当两平板带等量的相反电荷时，当两平板带等量的相反电荷时，12qqQ 1423 0QSq q1 1q q2 2B BA A 2 2 3 3 4 4 1 1Q

50、Q-Q-QB BA A 2 2 3 3 4 4 1 11 13 3 - - 7 7 静电场中的导体静电场中的导体电荷只分布在两个平板的内表面！电荷只分布在两个平板的内表面！由此可知：两平板外侧电场强度为零，由此可知：两平板外侧电场强度为零，内侧内侧0E这就是平板电容器。这就是平板电容器。Q Q-Q-QB BA A1 13 3 - - 7 7 静电场中的导体静电场中的导体例例9 原来不带电的导体球附近有一点电荷，如图所示。原来不带电的导体球附近有一点电荷，如图所示。求求（1）导体球上的电势；（）导体球上的电势；（2）若导体球接地，）若导体球接地，导体导体上感应电荷的电量上感应电荷的电量1 13

51、3 - - 7 7 静电场中的导体静电场中的导体解解:设：感应电荷面密度为设：感应电荷面密度为 dQS（1）导体是个等势体，若求出导体是个等势体，若求出O点的电势，即为点的电势，即为导体球的电势。导体球的电势。000d44oqSVdR04qd1 13 3 - - 7 7 静电场中的导体静电场中的导体（2）导体球接地导体球接地导体是个等势体，导体是个等势体，O点的电势为点的电势为 0 ， 则：则：00d044SqRdRQqd 0V 设：感应电荷面密度为设：感应电荷面密度为 dQS00044QqRdqRod1 13 3 - - 7 7 静电场中的导体静电场中的导体例例10 半无限大接地导体附近有一

52、点电荷半无限大接地导体附近有一点电荷q，求导体表求导体表面的感应电荷面密度。面的感应电荷面密度。 在电荷在电荷q 的感应下，导体表的感应下，导体表面上将出现感应电荷分布，对面上将出现感应电荷分布，对O点对称，用点对称，用 (r) 表示。表示。解：解：zaqO( ) rrP P1 13 3 - - 7 7 静电场中的导体静电场中的导体P点处导体表面内侧电场强度为零，点处导体表面内侧电场强度为零，则则z方向的电场强度分量为：方向的电场强度分量为：2200( )cos4()2zqrEra022cos( )2 ()qrradQS0( )2drr rq zaqO( ) rrP P1 13 3 - - 7

53、 7 静电场中的导体静电场中的导体+ + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - -一一 电介质对电场的影响电介质对电场的影响 相对电容率相对电容率r0EE 1r相对相对电容率电容率电容率电容率r00E+ + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - -E00E1 13 3 - - 8 8 静电场中的电介质静电场中的电介质二二 电介质的极化电介质的极化无极无极分子电介质：（氢、甲烷、石蜡等）分子电介质：（氢、甲烷、石蜡等）有极有极分子电介质：（水、有机玻璃等）分子电介质：（水、有机玻璃等）1 13 3 - - 8 8 静电场

54、中的电介质静电场中的电介质+ + + + + + - - - - - - + + + + + + + + + + +- - - - - - - - - - -dr三三 电介质中的电场强度电介质中的电场强度 极化电荷与自由电荷的关系极化电荷与自由电荷的关系r00EEEE0rr1EE0rr10rr1QQ0000r/EEE0EEEr0(1)E1 13 3 - - 8 8 静电场中的电介质静电场中的电介质一一 电容器电容器 电容电容电容器电容电容器电容UQVVQCBA 电容的大小仅与导体的电容的大小仅与导体的形状形状、相对位置相对位置、其间的、其间的电电介质介质有关有关. . 与所带电荷量与所带电荷量

55、无关无关. .AVBVQQlEUABABd单位单位 C/V1F1F10pF112F10F161 13 3 9 9 电容器及其电容电容器及其电容 电容器电容的计算电容器电容的计算 1 1）设两极板分别带电设两极板分别带电 ； 2 2）求求 ； QE3 3）求求 ； 4 4）求求 . .UC步骤步骤 击穿场强击穿场强 ：电容器中的电介质能承受的最大电电容器中的电介质能承受的最大电 场强度场强度.bE 击穿电压击穿电压 ：bU0bUEd（平行板电容器）（平行板电容器）1 13 3 9 9 电容器及其电容电容器及其电容dSAB+ + + +QQ-0r0rQES （2）两带电平板间的电场强度两带电平板间

56、的电场强度（1）设设两导体板分别带电两导体板分别带电Q0rQdUEdS （3）两带电平板间的电势差两带电平板间的电势差0rQSCUd （4）平板电容器电容平板电容器电容 1 平板电容器平板电容器. 如图所示，平板电容器由两个彼如图所示，平板电容器由两个彼此靠得很近的平行极板此靠得很近的平行极板A、B 所组成，两极板的面积均所组成，两极板的面积均为为S，两极板间距为，两极板间距为d. 极板间充满相对电容率为极板间充满相对电容率为 的的电介质电介质.求此平板电容器的电容求此平板电容器的电容.r1 13 3 9 9 电容器及其电容电容器及其电容1R2Rrr20r4QEer )(21RrR2120rd

57、d4RlRQrUElr 0r1211()4QRR 2r,1,R104RCP*2球形电容器球形电容器. 球形电容器是由半径分别为球形电容器是由半径分别为 和和 的的两同心金属球壳所组成，两球壳间两同心金属球壳所组成，两球壳间充以相对电容率为充以相对电容率为 的电介质的电介质. 1R2Rr120r214R RQCURR 解解设内球带正电（）设内球带正电（）QQ外球带负电（）外球带负电（）（孤立导体球电容）（孤立导体球电容）1 13 3 9 9 电容器及其电容电容器及其电容 3 圆柱形电容器圆柱形电容器. 如图所示，圆柱形电容器是由如图所示，圆柱形电容器是由半半径分别为径分别为 和和 的两同轴圆柱面

58、的两同轴圆柱面 A 和和 B 所构成，且圆所构成，且圆柱体的长度柱体的长度 l 比半径比半径 大的多大的多. 两圆柱面之间充以相对电两圆柱面之间充以相对电容率为容率为 的电介质的电介质. 求此圆柱形电容器的电容求此圆柱形电容器的电容.ARBRBRr0r0r122QErl r （2）（1 1）设设两导体圆两导体圆柱柱面单位长度上面单位长度上分别带电分别带电解：解：（3） ABr0r0ln22RRlQrdrUBARRARBRlBlR+-1 13 3 9 9 电容器及其电容电容器及其电容平行板电平行板电容器电容容器电容0rA0r2 lRSCdd （4）电容电容讨论讨论：当：当 时时BAAdRRRBA

59、AAAlnlnRRddRRRARBRlBlR+-ABr0ln/2RRlUQC1 13 3 9 9 电容器及其电容电容器及其电容 例例11 两球形电极间的击穿电压两球形电极间的击穿电压. 为了防止两极间的空为了防止两极间的空气被击穿，通常避免采用尖端电极，而采用球形电极气被击穿，通常避免采用尖端电极，而采用球形电极.然而，若两球形电极间存在高电压的情况下，球形电极然而，若两球形电极间存在高电压的情况下，球形电极间的空气也会被击穿而放电间的空气也会被击穿而放电. 如图所示，由两个半径均如图所示，由两个半径均为为r = 2cm的球形电极放在击穿场强的球形电极放在击穿场强 的的空气中，两球的中心距为空

60、气中，两球的中心距为d = 10cm. 试粗略估算在上述试粗略估算在上述条件下，两球形电极间的击穿电压大约是多少？条件下，两球形电极间的击穿电压大约是多少？1b30kV cmEAB+ + +- - -rd 解解 设球形电极设球形电极 A 和和 B 各有各有+Q 和和 Q 的电荷，忽略电极间的的电荷，忽略电极间的静电感应导致的电荷重新分布，静电感应导致的电荷重新分布，且把球形电极表面上的电荷视为且把球形电极表面上的电荷视为集中于球心集中于球心.则可得：则可得：1 13 3 9 9 电容器及其电容电容器及其电容01()4BQQUrdr电极电极B表面的电势为表面的电势为两极间的电势差为两极间的电势差