三角形的中位线(1)

1、华夏教育资源库华夏教育资源库三角形的中位线（一）一、教学目的和要求使学生了解三角形中位线的定义，掌握三角形中位线性质定理的证明和应用。通过定理的证明进一步培养学生的逻辑推理能力。二、教学重点和难点重点：掌握三角形中位线定义，及性质定理的证明。难点：证题中正确添加辅助线。三、教学过程（一）复习、弓I入提冋：1、 平行线等分线段定理的内容2、 叙述定理的两个推论（画图示意）练习：见图1AD是ABC中BC边上的中线，E为AD的中点，连结BE并延长交AC于F,若AF=2, 求AC的长。图1过D点作BF的平行线交AC于M,因为BD=DC,AE=ED，利用平行线等分线段定理 推论2,可得AF=FM=MC，

2、所以AC=6。如果我们将平行线等分线段定理推论2的条件、结论交换一下，是否成立？已知：D、E是ABC中AB、AC边的中点，贝U DE/BC。这就是我们今天将要研究的 课题。（二）新课定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。DE叫做ABC的中位线。1.中位线是线段，它的端点是三角形两边的中点。2.中位线与中线都是三角形的重要线段，它们端点位置不同，是两个不同的概念。 每个三角形有三条中位线。下面我们研究三角形的中位线与第三边的数量及位置关系。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。已知：如图2,“ABC中，AD=DB,AE=EC华夏教育资源库华夏教育资源库1求证

3、：DE / BC , DE BC2图2分析：证明一条线段是第二条线段的一半，可将第一条线段倍长，证明等于第二条线段;也可将第二条线段取中点，证明其一半等于第一条线段。这里我们用第一种方法。证明：延长DE到F使EF=DE，连结CF在ADE和CFE中AE二CE ,12 , DE二FEADE二CFE.A 3. CF / AB又CF二AD BD二ADCF -BD.四边形DBCF是平行四边形。DE/BC11DF = BC DE DF BC22小结：到目前为止，在我们学过的定理中， 结论存在一条线段等于另一条线段一半的有 哪些？1.直角三角形中，30角所对直角边等于斜边的一半。2.直角三角形中，斜边的中线

4、等于斜边的一半。3.三角形中位线定理。例1已知：如图3,UABC中，A =90，D、E、F分别是BC、AB、CA边的中 点，求证：AD=EFAEB图3分析：要证AD=EF，我们先要结合图形认识线段AD、EF在图形的位置就会很容易找 到解决问题的方法。1AD是Rt ABC斜边BC的中线，所以AD BC，EF是ABC的中位线，所以华夏教育资源库华夏教育资源库1 EF BC。2证明： E、F分别是AB、AC的中点1.EFBC（为什么？）CD二DB , BCA =901ADBC（为什么？）2AD二EF例2求证：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形。已知：矩形ABCD中，H、E、F、G分别是四边AB、

5、BC、CD、AD的中点，求证: 四边形HEFG是菱形。BEC图4分析：判定菱形，可以用一组邻边相等的平行四边形；四边相等的四边形。分析题目条件中，由于中点条件较多，联想到三角形中位线定理， 利用对角线将矩形分 割成三角形，则得到所证四边形各边均等于对角线的一半，而矩形的对角线相等。证明：连结AC、BD。AH = HB , BE =EC1HE = AC2111同理可证：EF BD , GF AC , DG BD2 2 2矩形ABCDAC二BDHE二EF二FG二GH四边形HEFG是菱形此题还可以用全等三角形证明四边相等，但不如利用三角形中位线简便。例3已知：如图139，正方形ABCD中，AC、BD

6、交于O点，DBC的平分线交AC于E,交DC于F。华夏教育资源库华夏教育资源库图51求证：OE DF2分析：观察图形，在BDF中，DF是底边，O是BD的中点，如果E也是BF中点，1那么可得OE DF。但是显然E不是BF中点，所以我们要做出这个三角形的中位线，21再证明OE就等于中位线长。作OG/DF，那么OG DF。只需证OG=OE。2证明：过点O作OG/DC，交BF于G3BFC在正方形ABCD中，DC_BC , AC_BD2 BFC = 90 ,14 = 9023 = 90又；.1234 OG =OEO是BD中点，OG/DF G是BF中点11OG DF OE DF22此题还可以把OE看成是三角

7、形的中位线，作出三角形的底边，再证DF等于三角形的1底边。即过D点作AC的平行线交BF的延长线于H，则OE DH，只需证DF=DH即2可。（三）巩固练习1.已知顺次连结三角形各边中点所成三角形的周长是10cm，求原三角形的周长。（20cm）2.求证：任意四边形一组对边中点的线段，小于两条对角线和的一半。已知：如图140,四边形ABCD中，M,N分别为AD、BC边的中点。华夏教育资源库华夏教育资源库1求证：MN -（AC BD）证明：取AB的中点E,连结EM、ENAM MD , AE二EB , BN二NC11.EM BD , EN AC22在EMN中EM EN MN11.BD AC MN221即MN （AC BD）（四）小结今天所讲的三角形中位线定理很重要，它的应用广泛且灵活。添加辅助线要根据图形具体分析，可以过三角形的一边中点作底边的平行线；若有两个或两个以上中点时，连结边的端点构造成三角形的中位线的形式。（五）作业1.已知三角形三边之比为3:4:5，且周长为60cm,连结三边中点，求所得三角形各边长。2.已知，在四边形ABCD中，对边AD=BC，P是对角线BD的中点，M、N分别是DC、AB的中点。求证：EPMNPNM。3