2022年2004-2010华中师范大学数学分析考研真题

1、2004 年数学分析1.求以下极限 共 50 分,第 1,2 小题各 10 分,第 3,4 小题各 15 分1可编辑资料 - - - 欢迎下载1limcosxsin 2 x2lim n 1111 +可编辑资料 - - - 欢迎下载x0n723nnk可编辑资料 - - - 欢迎下载(3) limx 4 4 x14 x12 4 x (4) lim sinsin可编辑资料 - - - 欢迎下载xn2 nk 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载2.15设f x, g x 在 a, b上连续 ,在 a,b 内可导 ,如x1, x2 是f x在区间 a, b 上的两个零点,证明：存在可编辑资料 - - -

2、 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载 a, b ,使得f ' f g ' 0可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载3.15设f x在 a,bba0 上连续 ,在 a, b 内可导,证明:在 a, b 内存在 ,使 f 2f .a b可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载4.15设f xf xe在 a,b 上黎曼可积 ,证明:在 a, b 上也是黎曼可积的 .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载5.15fn 'xn1,2,3,）在 a,b上连 续, 函数g x在 a,b上也连续 , 且对

3、a,b 中任 意的x1, x2和正整 数 n , 有可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载| f xf x |M|xx | Mb0,证明: limgx.f'xdx 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载n1n212nnna可编辑资料 - - - 欢迎下载6.15设fnx n1,2,在 a, b上连续 ,且 fnx 在 a,b 上一样收敛与f x .证明:可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载(1) 存在 M0 ,使对任何自然数n ,有| fnx|M,及| f x|M .2 如F x 为（, ）上连续函数 ,就可编辑资料 - - - 欢迎

4、下载可编辑资料 - - - 欢迎下载F fn x一样收敛于F f x .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载7.10设函数f x在闭区间 1,1 上具有三阶连续导数 ,且 f 10, f11, f00 ,证明:在 1,1 内至可编辑资料 - - - 欢迎下载少存在一点 ,使得 f 3 3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载8.15函 数Fx, y在 点 x0 , y0 的 某 个 邻 域 内 有 连 续 的 二 阶 偏 导 数 ,且可编辑资料 - - - 欢迎下载Fx0, y00,Fx 'x0, y00,Fy 'x0, y0 0,Fxx '&

5、#39;x0, y00,可编辑资料 - - - 欢迎下载证明:由方程Fx, y 确定的隐函数yf x在x0 点取得微小值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载2005 年数学分析1. 求以下极限或指定函数的值 :可编辑资料 - - - 欢迎下载(1) limn1.2.3.n.n. 10 分2limn1 3 52 n1n2 4 62 n10可编辑资料 - - - 欢迎下载分可编辑资料 - - - 欢迎下载3lim x3xx2x21.e xx6110分4 设f x 在 x0 的邻 域二 阶 可导 , 且可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载lim1xf x 1 xe3 ,求

6、f 0,f '0, f''0 的值.15 分可编辑资料 - - - 欢迎下载x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载2.15设函数f x, g x 在 a,b上可导 ,且在a,b 上 g ' x0 ,证明:存在 a, b使f af f ' .可编辑资料 - - - 欢迎下载g gbg ' 可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载3.15设函数f x在 2,4上有连续的一阶导函数 ,且f 2f 40 ,证明： max |4f ' x | |f x dx | .可编辑资料 - - - 欢迎下载2x 42可编辑资料 - -

7、 - 欢迎下载4.13设有方程xmq.sinx0q1.如 x0m, x1m q.sinx0, xn 1m qsinxn, 证明 : xn 收敛 ; 设可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载lim xnnl ,再证明 l 是方程xmq.sin x 的唯独解 .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载5.13证明:函数项级数1 ex1x n 在任何有穷区间 a, b 上一样收敛 .可编辑资料 - - - 欢迎下载n 1 nn可编辑资料 - - - 欢迎下载6.13设 f x 在 a,b 上二阶可导 ,且f '' x0 ,证明:f a

8、b 2x1bb a af xdx .可编辑资料 - - - 欢迎下载7.13设 a1, a2 , an,均为常数 ,证明:函数项级数1an.n.tn .e t dt在 a, b 上一样收敛 .可编辑资料 - - - 欢迎下载n 10可编辑资料 - - - 欢迎下载8.13设f x在 a,b 上黎曼可积,f xc 0,用可积准就证明：函数 lnf x 在a,b 上黎曼可积 .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载9.10 设f x在 a, b上 具 有 连 续 的 二 阶 导 数 , 证 明 : 在 a, b内 存 在, 使 得可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料

9、 - - - 欢迎下载bf x dxb a fab1 ba3 f.' ' 可编辑资料 - - - 欢迎下载a22 4可编辑资料 - - - 欢迎下载2006 年数学分析sin 2 x1 sin1可编辑资料 - - - 欢迎下载1.301limx1 .2设 yx xax, 求 y.3ln ln x1dx .可编辑资料 - - - 欢迎下载(4) 设x1f x, yx yex1 y121arcsinx ,求 fxy x,1 .ln x可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载(5) xDyex2y2 dxdy ,其中 D x, y x2y21 .6 求 Ix

10、sin ydyLcos ydx ,其中 L 是从点可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载O0,0 到点 A,0 的正弦曲线有ysin x .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载2.20 设f x在 a,上可导, 且f ' x 在 a,上 有界 , 证明:1f x在 a,上 一 致连 续.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载2f alimxaf x 存在,但limxf x不愿定存在 .可编辑资料 - - - 欢迎下载3如limf x存在,且limf xlimf x ,就 fx 在 a, 上至少有一个零点.可

11、编辑资料 - - - 欢迎下载xxxa可编辑资料 - - - 欢迎下载3.20设f x在 0,1 上连续,f 0f 1 ,1证明: 存在 x1 ,使得 f x f x1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载00,0022可编辑资料 - - - 欢迎下载2试估量 |:对任意正整数 n ,是否存在 xn0,1 ,使得f x f x1 ,并证明你的结论 .可编辑资料 - - - 欢迎下载000nnx可编辑资料 - - - 欢迎下载4.10 设f x在 0, 上连 续, 且f x0 ,记 x tf t0 dt,1 求 lim x .2 证可编辑资料 - - - 欢迎下载xf t0x0 dt可编辑资料 -

12、 - - 欢迎下载明: x 在 0, 上是严格单调递增 .可编辑资料 - - - 欢迎下载5.10证明: 如an 确定收敛 ,就n 1nan a1a31a2 n1 也确定收敛 .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载6.15设f x 在0, 上连续 ,证明:1 sinn x 在0, 上不一样收敛 .2（ sinn x）f x在0, 上一样收可编辑资料 - - - 欢迎下载敛的充要条件是222f 0 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载7.10设 fx,y,z为 R3上的 n 次齐次函数 :对 t0, f ta,ty,tzt n f x,

13、 y, z ,且具有一阶连续偏导数 ,fz 'x, y, z0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载如方程f x, y, z0 确定了可微的隐函数zgx, y ,证明: zg x, y 必为一次齐次函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载8,20设f x, y在R2 上具有二阶连续的偏导数 ,证明:可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载2(1) 对 R 内任意光滑简洁闭曲线 L,总有f ds2 f2 fdxdy,其中 n为 L 的外法方向,f是可编辑资料 - - - 欢迎下载nxyn22LDf x,

14、y 沿n的方向导数, D 是 L 围成的有界闭区域 ;22 f2 f2可编辑资料 - - - 欢迎下载(2) 2f x, y 为R 是的调和函数（即220 ）的充要条件是对xyR 内的任意光滑简洁闭曲线 L,总可编辑资料 - - - 欢迎下载有f ds0 .Ln可编辑资料 - - - 欢迎下载9.15设 n 是正整数 ,给定方程2007 年数学分析1.30 运算题:xnx1,证明:1此方程仅有惟一的正根 xn0,1.(2) limx n1 .n可编辑资料 - - - 欢迎下载3ln1x sinsinln1 x(1) lim2x.x0e1可编辑资料 - - - 欢迎下载(2) 设 yx ln x

15、x x ,求 y .可编辑资料 - - - 欢迎下载(3) 3e x 4 dx0x 2 e0x 4 dx .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载D(4) 设f x, y 可微,且f 1,11, f x 1,1a, f y 1,1b ,令 Fxf f x, x, f x, x ,求 F1.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载(5) 52Dx3y3 e x 2y 2 2 dxdy ,其中 x, y x2y21 .可编辑资料 - - - 欢迎下载(6) 求Iex sin ydyLex cosydx,其中 L 是从点O0,0 到点A 2,0 的下

16、半圆周 xy22 x .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载2.25 设f x 在0, 上 可 导 , 且xf x在 0, 上 有 界 , 证明 :1f x 在0, 上 一样 连续 .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载2f 0 lim f x 存 在 .3 如将 条件 “ xf x 在 0, 上 有界 ” 改为“ limxf x 和可编辑资料 - - - 欢迎下载x0x0可编辑资料 - - - 欢迎下载limxxf x 都存在” ,试问: 仍能否推出f x 在 0, 上一样连续 .假如能请证明你的结论,假如可编辑资料 - - - 欢迎下

17、载不能请举反例 .可编辑资料 - - - 欢迎下载3.25设f x在 0, 内 4 阶可导, 1 证明:如 limxf x和limxf x 都存在,就 limxf x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载2 如limxf x和 limxf（4） x 都存在 ,是否能推出对任意的正整数1k4 , limxf（k） x都存在且为 0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载请证明你的结论 .可编辑资料 - - - 欢迎下载4.10设f x在0, 上连续,且 limf xA A 可以为或,试证:lim 1xf tdtA .可编辑资料 - - - 欢迎下载5.15设 an0,

18、 snxnak ,证明:k 1an 收敛n 1an n 1 sn收敛.xx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载6.15如 an 单调递减 ,且 lim ann0 ,证明:可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载1nan cos nx在,21 上一样收敛 ,其中 0.2an cos nx 在,2n 1 上一样收敛可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载的充要条件是an 收敛.n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载7.15设uu x, yu是由方程组zxyf zg z所确定的二阶连续可微

19、隐函数 ,其中f , g 有二阶连续可编辑资料 - - - 欢迎下载xyf zg z0可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载2 u的导数,证明:2u2 u20 .可编辑资料 - - - 欢迎下载x2y 2x y可编辑资料 - - - 欢迎下载8.15设f x,y, z 上 R3 具有二阶连续的偏导数 ,证明:f2 f2 f2 ff可编辑资料 - - - 欢迎下载x2(1) 对 R3 内任意光滑简洁闭曲面S ,总有dSSnVy2z2dxdydz,其中 n为 S 的外法方向 ,是n可编辑资料 - - - 欢迎下载f x, y,z 沿 n的方向导数 ,V 是S 围成的有界闭

20、区2 f2 f2 f可编辑资料 - - - 欢迎下载域;2f x, y, z 为R3 是的调和函数（即0 ）的充要条件是对R3 内的任意光滑简洁可编辑资料 - - - 欢迎下载x2y 2z2可编辑资料 - - - 欢迎下载闭曲线 S ,总有f dS0 .Sn可编辑资料 - - - 欢迎下载2021 年数学分析11222可编辑资料 - - - 欢迎下载1.36运算题 : 1limn n n1 2 n12lim4sinxyz dxdydz可编辑资料 - - - 欢迎下载nnt0tx2y 2z2 t 2可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载3 求曲线积分xdyydx,其中

21、L 为平面内任意一条不经过原点的正向光滑封闭简洁曲可编辑资料 - - - 欢迎下载Lx 29 y 2线.可编辑资料 - - - 欢迎下载2.15设函数f x 在0, 上具有连续的导函数 ,且 lim fxx 存在有限 , 01 , 是一个常数 ,证明:f x可编辑资料 - - - 欢迎下载在0, 上一样连续 .可编辑资料 - - - 欢迎下载3.15 设f x 和gx在 a, b上 连 续 且 在a, b内 可 导 , 试 证 : 在a,b内 存 在 点, 使 得可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载 f bf a g g bga f .可编辑资料 - - - 欢迎下

22、载可编辑资料 - - - 欢迎下载4.20证明:函数项级数 f任意次求导 . xne nxn 1在0, 上收敛 ,但不一样收敛 ,而和函数f x在 0, 上可以可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载5.20证明:方程 x2ysin xy在原点的某个邻域内可以唯独确定隐函数yf x ,并y 0 运算的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载6.14证明:如函数f x在 a, b 上无界,就必存在 a, b上的某点 ,使得f x在该点的任何邻域内无界 .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载7.12 设函 数 u 在

23、 0, 上连续 可微且2 u xu x2dx, 试证:1 存在0, 中的子列可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载n x n 1 使得当 n时,xn且uxn 0可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载(2) 存在某常数 C0 ,使得supx 0,u x2C u x0u x12 dx 2可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载8.18设R3 为有界闭区域 ,且具有光滑边界,0T.1 设u, v是上具有连续二阶偏导数的函可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载数,试证:v udxdydzu vdxdy

24、dzu2u2 uvdS,其中 unx2y 22 uu2 ,u 为u 的梯度 ,为zn可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载u 沿区域的边界的外法向n 的方向导数 ;2设ux,y, z, t 在0,T 上具有连续一阶偏导数,试可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载证: ddtu x, y, z,tdxdydzu x, y, z,t dxdydz,t t 0,T ; 3设 u x, y, z, t 在 0, T 上具有连续二可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载阶偏导数且中意utuu 3 如u 在可编辑资料 - - -

25、欢迎下载 0,T 上恒为零记u 2 u 2xu 2y u 2z, 试证Et 1u 221 u 4 dxdydz 在 0,T 上4可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载是减函数 .2021 年数学分析1.30 计 算 题 :1limsin x cossin1 ln x(2) 计 算 二 重 积 分sinydxdy, 其 中 D 是 由可编辑资料 - - - 欢迎下载x01x1Dy可编辑资料 - - - 欢迎下载yx, y1, x0 围成的区域 .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载(3) 求曲线积分 xC 4x1dy12y2dx其中 C 为平

26、面内任意一条不经过点y221,2 得正向光滑封闭简洁曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载2.12设函数f x定义在开区间a, b 内,如对任意的 c a,b ,都有lim f x 存在 ,且 lim f x 和 limf x可编辑资料 - - - 欢迎下载xcxaxb可编辑资料 - - - 欢迎下载也存在,就f x在开区间 a, b 内有界.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载3.12证明:含参量反常积分xe xy dy 在,0 上一样收敛 0 ,但在 0, 内不一样收敛 .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎

27、下载4.20设函数f x 在0,1 上连续 ,在 0,1 内可微 ,且存在 M0 , 使得 x0,1, xf xf xx 2M,证明 :可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载1f x在 0,1 内一样连续 .2limf x 存在.可编辑资料 - - - 欢迎下载xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载5.20证明下面结论 :1如f x 在0,1 上连续 ,就 limx1 x n0f xdx0 .2如f x在 0,1 上连续可微 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载limnn 1 x n 0f xdxfx2y1 .sin x2y2,x2y2

28、0可编辑资料 - - - 欢迎下载6.18设f x,yx2y2 0 ,x2y2,争辩0f x, y 在原点0,0处的连续性 ,偏导的存在性以及可微性 .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载7.20设函数列 f n x中的每一项函数f n x 都是 a,b上的单调函数 ,试证明 :1如nfn a 和1n 1f n b 都可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载确定收敛 ,就n 1f n x 在 a, b上一样收敛 .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载(2) 如每一项函数f n x 的单调性相同 ,且n 1f n a

29、 和n 1f n b 都收敛,就在上一样收敛 .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载8.18 设 f连 续 , 证 明 :1 证 明 :f zdxdydzV1f x11x2 dx, 其 中V : x2y2z21.2 记 函 数可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载Fa, b, cf ax byVczdxdydz,其中 V: x 2y 2z21 ,证明:可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载球面 a2b2c21为函数Fa,b,c 的等值面 ,即Fa,b,c在球面 a2b2c21上恒为常数 ,并求出此常数 .可编辑资料

30、 - - - 欢迎下载2021 年数学分析1.30运算题 : 1设函数f x 定义在 , 上,中意: f 2xf x cosx,limf xf 01,求f x.2可编辑资料 - - - 欢迎下载设a4 tann xdx ,求1 ax0a 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载nnn 20n 1 n可编辑资料 - - - 欢迎下载(3) 求曲线积分 yzdxzLx) dyxy) dz,其中 L 为平面 xyz0 与球面 x2y2z21 相交的可编辑资料 - - - 欢迎下载交线,方向从 z 轴正向看是逆时针的 .可编辑资料 - - - 欢迎下载2.12设f xx ,0 ,证明:当 01时,f x在 0, 上一样连续 ; 当1时,f x在0,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载上不一样连续 .3.12证明:含参量 x 反常积分xe xy dy 在,0 上一样收敛 0 ,但在0, 内不一样收敛 .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载4.20函数f x 在a,b 上连续 ,在 a,b 内二阶可导 ,且过点a, f a 和 b, f b 的