自动控制原理孟华第3章习题解答

1、3.1.已知系统的单位阶跃响应为c(t) =1 0.2e-0t -1.2e10t (t _ 0)试求：(1)系统的闭环传递函数(s)=?(2)阻尼比Z ?无自然振荡频率s=?解：(1)由c(t)得系统的单位脉冲响应为 g(t) - -12eV0t 12eJ0tG(s)二 Lg(t) =121s 10s 606002s 70s 600(2)与标准G(S)二2-'n对比得:702 、600= 1.429113.2.设图3.36 (a)所示系统的单位阶跃响应如图3.36 ( b)所示。试确定系统参数 K1, K2(a)图3.36 习题3.2图1解：系统的传递函数为K1W(s)s(s a)K2

2、ns2 as K11s(s a)又由图可知：超调量Mp4 一311峰值时间tp =0.1 s1代入得ei21% J1 - 匚2K =K2= 0.11解得:In3=咲1 - 2 ；:. 0.33，- .n10二J- 2:33.3，Ki=2 ： 1108.89，11a = 2 ：，n 2 0.33 33.321.98，3.3.给定典型二阶系统的设计性能指标：超调量 cp-5%，调节时间ts ： 3s,峰值时11间tp <1s,试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。解：设该二阶系统的开环传递函数为 'n则满足上述设计性能指标:tsn3 <311tp得： 一0.69，二n

3、 V -n J - 2由上述各不等式得系统极点配置的区域如下图阴影部分所示:134 设一系统如图3.37所示。(a) 求闭环传递函数 C(s)/R(s),并在S平面上画出零极点分布图；(b) 当r(t)为单位阶跃函数时，求c(t)并做出c(t)与t的关系曲线。图3.37 习题3.4图解：(a)系统框图化简之后有C（s）二2 s2 s-0.5s 2.25（s 子 j）（s 迸 j）z2,si,2 一零极点分布图如下:(b)若r t为单位阶跃函数,1L_r t ，则oC(s)2 s'35(s j)(s 235(235j) s(s 匚)8s8 1_A35s35( s235s 35_ X_2

4、八 35、2. 352 八 35、2s ()s ()2 28 cos352 si*352大致曲线图略。3.5. 已知二阶系统的闭环传递函数为C(s)R(s)s2 2 5S 2分别在下述参数下确定闭环极点的位置，求系统的单位阶跃响应和调整时间。(1)=2,- 'n = 5sJ ；=1.2 , - -n = 5s J ；说明当 > 1.5时，可忽略其中距原点较远的极点作用的理由。解：(1)4 二 2)>1，闭环极点可2 =士国 n£©2 _1 =10±5j3W(s 宀-25R(s)s220s 25C(s)二 W(s)R(s)25s220s 25&q

5、uot;-1)5(2-、3)T25(2 3)eT1T2e*)1 T2 T1 -1 T1 T2 -1 1-5(2 去 E)te6-43643-5(23)tS ： -1.34, S2 ： -18.66 | s2/S! | 13.95e_5(2£3)tc(t) 11 -1.07735eJ'34t64J3ts 2.29s(2 ) Q =1.2)>1，闭环极点 S|,2 = 3n 士 n J匚 2 - 1 = -6±5+；0.44W(s)嚅252s 20s 25T115(1.2 - . 0.44)15(1.2, 0.44)eeC(t) =1 T2 T_1T1 T1=1-

6、5(1.2 0.44)t+1.2 .0.4411.2 -、0.44.5(1.2 0.44)t+ 1.2 -、0.44 11.2 、0.44$ -七 5 0.44 ： -2.68, s -9.32ts ：丄(6.45-1.7) =1(6.45 1.2 -1.7) ： 1.2s'n5(3)答：.-1.5 时，S|,2 =门 ±njj2 _1 = 7.5±5塔 1.25。 s & _1.91 ,s -13.09 , |S2/S1,6.85 5,两个闭环极点的绝对值相差5倍以上，离原点较远的极点对应的暂态分量初值小、衰减快(是距离虚轴较近的极点暂态分量衰减速度的5倍

7、以上)，因此可以忽略掉。，-.23.6. 设控制系统闭环传递函数为 G(s)二飞 n2，试在S平面上绘出满足下列各S2 +2L 时 ns+co2要求的系统特征方程式根可能位于的区域：(1) 1>丸.707 , ' -n 支(2) 0.5> >0, 4> n 丝 0.707> >0.5 , - -n <23.7. 一种测定直流电机传递函数的方法是给电枢加一定的电压，保持励磁电流不变, 测出电机的稳态转速；另外要记录电动机从静止到速度升 为稳态值的50%或63.2%所需的时间，利用转速时间曲线（见图3.38 ）和所测数据，并假设传递函数为图3.38

8、习题3.7图Ks(s a)可求得K和a的值。若实测结果是：加 10V电压可得1200r/min的稳态转速，而达到该值50%的时间为1.2 s,试求电机传递函数。提示：注意 T廻=_，其中 .（t）=空，单位是rad/sV（s） s+adt解：由式工廻=丄可得V（s） s+a（s）1010K=s a1s( s 1)a10K八(一a st，（t）二空（1_0上）='0（1 -e讦）a(1.2) =%(1 e.2a) =0.50(1 e°.2a) =0.5a*。58电机传递函数为:G(s)10Ka°(s)V(s)=0 =1200r. min 二 20r/s100.58 2

9、0st：10= 1.16s(s ' a)1.16s(s 0.58)38系统的特征方程式如下，要求利用劳斯判据判定每个系统的稳定性,并确定在右半s平面其根的个数及纯虚根。 s4 3s3 3s2 2s 0（2）0.02 s3 0.3 s2 s 20 =0（3）s5 '' 2s4 2s3 -44s211s 10 =0432（4）0.1 s 1.25 s 2.6 s 26s 25 =0答案：（1）劳斯表如下：s413 2s332s 7 32s1-47s02劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定（2）劳斯表如下：3s 0.021s20.320s1-13s0

10、20劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定（3）劳斯表如下：5 s12114 s244103 s-2062 s223 5101 s2338 50 s10劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定（4）劳斯表如下：4 s0.12.6 253 s1.25262 s0.522510SS劳斯表第一列元素符号没有变化，所以系统有两个正根，系统稳定3.9.有一控制系统如图3.39所示，其中控制对象的传递函数是- 1图3.39 习题3.9图G(S)-&0.1 s +1)(0.2 s+1)采用比例控制器，比例增益为Kp ,试利用劳斯判据确定Kp值的范围。解：

11、G(s)Kp-s(0.1s 1)(0.2s 1)特征方程为：D(s) = 0.002s3 0.3s2 s Kp=0劳斯表如下:3S2S0.0020.30.3 -0.002Kp0.3KpKpS.3 -0.002Kp 要使系统稳定只需0i Kp>00，解得 0 ：Kp ：150。3.10.某控制系统的开环传递函数为K(s 1) s(Ts 1)(2s 1) 试确定能使闭环系统稳定的参数K、T的取值范围。解：由系统开环传函可知G(s)H(s)二(2 T)s2 (K 1)s K = 0劳斯表如下:3 s2 s1 s2T2 TK2K (1-K)T 2由劳斯准则可知,于0，即欲使系统稳定,则第一列元素

12、符号不能改变。若第一列元素均大D(s) -s(Ts 1)(2s 1) K(s 1) = 2Ts3002K (1 _ K)T 20K a0解得 K 0，2(K1) (K -1)T00当 K>1 时 0 : T2（K 1），当 0 ： K ： 1 时,T 0。K -13.11.设单位反馈系统的开环传递函数分别为(1)G（s）00G(s) s(s -1)(s 5)试确定使闭环系统稳定的开环增益 K的取值范围（注意 K半K* j解: (1) D(s) =0.2s3 0.8s2 (K -1)s K =0003 s2 s劳斯表如下：1s0.2K -10.83K -44K0解得：使闭环系统稳定的开环增

13、益K的取值范围K -。3K取何值闭环系统都不稳定。 D (s) = 0.2s30.8s2 - s K = 0由于特征方程出现小于零的系数，可知无论开环增益3.12.设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)二Ks(1s/3)(is/6)若要求闭环特征方程的根的实部均小于-1,问K值应取在什么范围？如果要求实部均小于一2,情况又如何？ 解：由反馈系统的开环传函18Ks(s 3)(s 6)32D(s)二s 9s 18s 18K =032(1 )令 s=zX 得: D(z) =(Z1) +9(z-1) +18(z-1)+18K z3 6z2 3z 18K -10=03 z2 z1 z0 z劳斯表如下：1

14、3618K -1028-18K618K -10欲使系统稳定，则第一列元素符号不能改变，大于零：28 18K =0/曰514丿得一<K < J8K-10>099(2 )令 s二z-2, 得: D七-2)3 9("2)2 18(z-2) 18K32-z 3z -6z 18K 一8=0如果要求实部均小于-2，由特征方程可见，a2 = -6 ： 0，系统稳定的必要条件不成立,无论K取何值，系统都不稳定。3.13.单位反馈系统的开环传递函数为G(s)2s(s2 +2s + 2)(1)求系统的单位阶跃响应；输入信号为r(t) =1(t)，求系统的误差函数e(t);解：(1)开环

15、传递函数 G(s)二 一2s(s +2s+2)闭环传递函数W(s) 2s(s +2s +2) +4(s22)(s 2)单位阶跃响应C(s)=(s22)(s 2) sKo =1 ,K1.K2S K3s22K2 =K3C(s)二ss 23 s2 2s223s222cos32tin 2t(2 )不考虑扰动作用r(t) =1(t)G(s)22s(0.5s s 1)Kp=lim G(s)=: s ：o1一 1 Kp101亠：3.14.某控制系统的结构图如图3.40所示。(1) 当a=0时，试确定系统的阻尼比Z无阻尼自然振荡频率conn和单位斜坡信号作用时系统的稳态误差。(2) 当系统具有最佳阻尼比( Z

16、0.707 )时，确 定系统中的a值和单位斜坡信号作用时系统的稳态误 差。若要保证系统具有最佳阻尼比(Z0.707 ), 且稳态误差等于 0.25时，确定系统中的 a值及前向 通道的放大系数应为多少？解:8当a=0时，G(sr市，W它2s 821?8Kv= lim sG(s) =4 ,单位斜坡信号作用时系统的稳态误差S01 =0.25。Kv当 Z=0.707 时, G(s)二r , W(s)=s(s +2 +8a)s2(2 8a)s 8J22 n =2 一 ： 8 = 4 = 2 8a，得 a - 0.25 , G(s)=28,Kv=ljmsG(s) = 2,s(s 4)单位斜坡信号作用时系统

17、的稳态误差essr= 0.5。此时 G(s)s 2 Ka),W(s)二Kvs2(2 Ka)s KKv=2- K = 2 Ka2联立上两式解得3163.15已知单位反馈系统闭环传递函数为C(s) _bs b°432R(s) s41.25 s35.1 s22.6 s 10(1) 求单位斜坡输入时，使稳态误差为零，参数be, b1应满足的条件;在(1)求得的参数be, b1下，求单位抛物线输入时，系统的稳态误差。 解：(1)等效单位负反馈开环传递函数b|S b0?o=10即开环传递函数为R =2.6G(s) =2.6s+10s2(s2 1.25s 5.1)(2)单位抛物线输入时Kas2(2

18、.6s 10)s2(s21.25s 5.1)10_C _5JKa 一 103.16.系统结构图如图3.41所示。(1)当r(t) = t， n(t) = t时，试求系统总稳态误差(2)当 r(t) = 1(t)，n(t) = 0 时，试求 匚p,tp。图3.41 习题3.16图解：(1)参考作用下的误差传递函数为1N(s)7巳点八声*)R(s)41s(2s 1)稳态误差为=叫 sEr(s) = lim2s2 +sS 2s2 s 4Kv二 lim sG(s) =lim s4ss )0 s(2s 1)=0.25 Kv扰动作用下的误差传递函数为G(S)一孑 1.25s3 5.1s2 (2.6 -bjs 10 -b0根据单位斜坡输入时，稳态误差为0得:4R(s) =0,En(S)=_1 G(s) S -LN(s)1 - s(2s 1)稳态误差为s(2s2 s)2s2 s 4丄=0.25s系统总误差为(2)当 r(t) = 1(t), n(t) = 0 时，G(s)4 -，s(2s+1)W(s)G(s)2 'n1 G(S) 2s2