1.3正余弦定理的应用同步分层能力测试题（苏教版必修5）

1、.正余弦定理的应用-同步分层才能测试题A组一填空题本大题共8小题，每题5分，共40分1某人朝正东方向走了x km后，向左转1500后，再向前走了3 km，结果他离出发点恰好km，那么x= 。 1或2. 提示：由余弦定理知3=x2+32-6xcos300,解得x=或2.2.在ABC中,2sinAcosB=sinC,那么ABC的形状是 三角形。2等腰。提示:由2sinAcosB=sinC,知2sinAcosB=sinA+B,    2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.即cosAsinB-sinAcosB=0.  sinB-A=0

2、， B=A.3一飞机沿程度方向飞行，在位置A处测得正前下方地面目的C的俯角为30°，向前飞行了10000米，到达位置B时测得正前下方地面目的C的俯角为75°，这时飞机与地面目的的间隔 为 米 3。提示：由正弦定理得，得x=.4在平行四边形ABCD中，AB=1，AD=2，那么= 4.。提示：，得cosA=,A=600.故B=1200。由余弦定理知：AC2=12+22-4cos1200=7, =.5在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停顿转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东300，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20km/h，假设不考虑其他

3、因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东_，大小为_km/h.5.60， 20。提示：解法一：如图1，AOB=600,由余弦定理知OC2=202+202-800cos1200=1200,故OC=20。解法二：本质求,平方即可。 图16.把一30厘米的木条锯成两段，分别做钝角三角行ABC的两边AB和BC，且ABC=120，AB= 时，才能使第三条边AC最短。6. 15.提示：在ABD中，设AB=x0x30 由余弦定理，得AC=x2x30-xcos120 =900-30x+x=x15+675， 所以 把AB锯成15厘米时第三条边AC最短7. 在ABC中，边a，b，c的对角分别为A、B、C，且。

4、那么角B= 。7.提示：由正弦定理可设=k.代入式，可得，由余弦定理，8 如图2，在四边形ABCD中，ADCD, AD=10, AB=14, ÐBDA=60°, ÐBCD=135° ，那么BC= 。8.。提示：在ABD中，设BD=x，那么即 ， 图2整理得：，解之： ，舍去。由正弦定理： 。二解答题本大题共4小题，共54分9在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°方向把球击出，根据经历，通常情况下，球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样布置，游击手能否接着球？解如图3：设接球点为B，O为守垒，A为游击手

5、出发点， 故不能接着球 图310. 在ABC中，b=asinC且c=asin900-B，断定ABC的形状。解： c=asin900-B=acosB= ； 又 由条件 综上得ABC是等腰直角三角形。11.平面内三个力，作用于同丄点O且处于平衡状态，的大小分别为1kg，kg，、的夹角是45°，求的大小及与夹角的大小.11.解 如图4，设与的合力为，那么|F|=|F3|.FF1F2F3OF1OF2=45° FF1O=135°.在OF1F中，由余弦定理=.又由正弦定理，得. 图4F1OF=30° 从而F1与F3的夹角为150°.答：F3的大小是+1kg

6、,F1与F3的夹角为150°.12. 在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值。解法一：由余弦定理，因此， 在ABC中，C=180°AB=120°B.由条件，应用正弦定理解得从而解法二：由余弦定理，因此，由，得所以 由正弦定理.由式知故B<A，因此B为锐角，于是，从而说明 求的关键是利用余弦定理的变式：cosA=。另外，在三角形中内角和为1800也是常用的一个结论。备选题：1.为了测河宽，在一岸边选定两点A和B，望对岸的标识物C，测得CAB=45，CBA=75， AB=120米，那么河宽= 。1. 60+20.提示：把AB看成河岸，要求的河宽就是C到A

7、B的间隔 ，也就是的边AB上的高。在中，有正弦定理，得BC=40米。设河宽为h=BCsin75=40×=60+20.2.在中，角所对的边分别为，1求的值；2求的值解：1由余弦定理，得，2方法1：由余弦定理，得， 是的内角， 方法2：，且是的内角，根据正弦定理，得 3. 某海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东，海轮改为北偏东的航向再行驶80分钟到达C点，求P、C间的间隔 ABCP解：如图5，在ABP中，AB = 30×= 20，APB =，BAP =，由正弦定理，得：=，即=，解得BP =在BPC中，B

8、C = 30×= 40，由PBC =，PC = 海里 图5所以P、C间的间隔 为海里B组一填空题本大题共6小题，每题5分，共30分1. 在ABC中，假设c=4,b=7,BC边上的中线AD的长为3.5，那么a= .图6ABC北45°15°1.9.提示：设CD=DB=x, 在ACD中，由余弦定理，得osC=.在ABC中，由余弦定理，得cosC=.=,解得x=4.5,a=9.2. 如图6，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15°方向航行，假设甲船以28n mile/h的速度航行，追上乙

9、船至少要 h.2. .提示：设用t h，甲船能追上乙船，且在C处相遇。在ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，设ABC=，BAC=。=180°45°15°=120°。根据余弦定理， ，4t332t+9=0，解得t=，t=舍.3我国发射的“神舟六号飞船开场运行的轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，测得近地点A距地面200 km，远地点B距地面350km，地球半径为6 371km，那么在椭圆轨道上的飞船看地球的最大视角一半的正弦值为 。3. 。解析：a+c=350+6 371=6 721,a-c=6 371+200=6 571.如图7，在A处看视

10、角最大.sinBAF=。超纲4. 在ABC中，a-b=4,a+c=2b且最大内角为120，那么a= 。4.14.提示：由a-b=4和a+c=2b可得abc， 所以最大角为A=120。 图7由余弦定理，得 cos120=-，结合 a-b=4 ，a+c=2b。可解得 a=14。5.如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一程度面内的两个测点与测得 米，并在点测得塔顶的仰角为, 那么塔高AB= 5.15。提示：如图8，在中，。由正弦定理得所以 图8在中，m。6.江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为450 和300 ，而且两条船与炮台底部连线成300 角，那么两条船相距 米

11、。6. 15。提示：设炮台顶位置为A，炮底为O，两船位置分别为B、C。在RtAOB中，BO=30米，在RtAOB中，AO=30米，在BOA中，由余弦定理，得BC=2250，所以 BC=15米。二解答题本大题共2小题，共36分7. 在ABC中，角A，B，C的对边为，向量，1求角C； 2假设，试求的值解：1由得 即因为，所以2法一:由正弦定理可设 =k ，因为法二: 由有,再利用求解.8. 如下图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以10海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小

12、时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜. 问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间. 8.解 设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获在D点走私船，那么CD=10海里，BD=10t海里在ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC22AB·AC·cosA=·2·cos120°=6， BC=海里 。 又 ABC=45°，B点在C点的正东方向上， CBD=90°+30°=120°。 在BCD中，由正弦定理得 BCD=30°，缉私船应沿北偏东60°的方向行驶。又在BCD中，CBD=120°，BCD=30°，D=30°， BD=BC，即小时15分钟。 缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟 备选题：1. 某人在草地上漫步，看到他西南有两根相距6米的标杆，当他向正北方向步行3分钟后，看到一根标杆在其南方向上，另一根标杆在其南偏西方向上，此人步行的速度是 东北南西ABC1. 3。提示：如下图，A、B两点的间隔 为6米，当此人沿正北方向走到C点时，测得BCO =， ACO =，BCA =BCOACO =由题意，知BA