1985年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案

1、.1985年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案考生注意：这份试题共八道大题，总分值120分第九题是附加题，总分值10分，不计入总分一此题总分值15分此题共有5小题，每题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对的得3分、不选，选错或者选出的代号超过一个的不管是否都写在圆括号内，一律得0分1假如正方体ABCD-ABCD的棱长为，那么四面体A-ABD的体积是 D 2的 A A必要条件 B充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要的条件3在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以为周期的偶函数？ B A BC D

2、4极坐标方程的图象是 C A O X C O X B O X D O X 5用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有 B A96个 B78个C72个 D64个二此题总分值20分此题共5小题，每一个小题总分值4分只要求直接写出结果1求方程解集答：2设，求的值答：3求曲线的焦点答：0，04设3x-16=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值答：64或265设函数fx的定义域是0，1，求函数fx2的定义域答：-1，1三此题总分值14分1解方程解：由原对数方程得解这个

3、方程，得到x1=0,x2=7.检验：x=7是增根，x=0是原方程的根2解不等式解：解得四此题总分值15分如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为450，P为平面AC内的一点，Q为面BD内的一点直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，并且M在BC上又设PQ与平面BD所成的角为，CMQ=00<<900，线段PM的长为，求线段PQ的长 A P B N C 450 M R Q D 解：自点P作平面BD的垂线，垂足为R，由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，所以R在MQ上，过R作BC的垂线，设垂足为N，那么PNBC三垂线定理因此PNR是所给二面角的平面角，所以PNR=450

4、由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，所以PQR=在RtPNR中，NR=PRctg450,所以NR=PR在RtMNR中，MR=在RtPMR中，又00900，所以在RtPRQ中，故线段PQ的长为五此题总分值15分设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面内的两动点，并且满足：1Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值和-，2OZ1Z2的面积为定值S求OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值 Y Z1 O - X Z2 解：设Z1,Z2和Z对应的复数分别为z1,z2和z，其中由于Z是OZ1Z2的重心，根据复数加法的几何意义，那么有于是又知OZ1Z2的面积为定值S及，所以六此题总分值15分两点P-2

5、，2，Q0，2以及一条直线：L:y=x，设长为的线段AB在直线L上挪动，如图求直线PA和QB的交点M的轨迹方程要求把结果写成普通方程解：由于线段AB在直线y=x上挪动，且AB的长，所以可设点A和B分别是,和+1,+1，其中为参数 Y y=x Q P· X B O A M 于是可得：直线PA的方程是直线QB的方程是1.当直线PA和QB平行，无交点2当时，直线PA与QB相交，设交点为Mx,y，由2式得将上述两式代入1式，得当=-2或=-1时，直线PA和QB仍然相交，并且交点坐标也满足*式所以*式即为所求动点的轨迹方程注：考生没指出“=0及“=-2或=-1时的情形不扣分七此题总分值14分设

6、1证明不等式对所有的正整数n都成立2设用定义证明1证一：用数学归纳法略证二：由不等式对所有正整数k成立，把它对k从1到nn1求和，得到又因以及对所有的正整数n都成立2由1及bn的定义知对任意指定的正数，要使，只要使，即只要使取N是的整数部分，那么数列bn的第N项以后所有的项都满足根据极限的定义，证得八此题总分值12分设,b是两个实数，A=x,y|x=n,y=n+b,n是整数，B=x,y|x=m,y=3m2+15,m是整数，C=x,y|x2+y2144，是平面XOY内的点集合，讨论是否存在和b使得1AB表示空集，2,bC同时成立解：假如实数和b使得1成立，于是存在整数m和n使得n,n+b=m,3

7、m2+15,即由此得出，存在整数n使得n+b=3n2+15,或写成n+b-3n2+15=0这个等式说明点P,b在直线L：nx+y-3n2+15=0上，记从原点到直线L的间隔 为d，于是当且仅当时上式中等号才成立由于n是整数，因此，所以上式中等号不可能成立即因为点P在直线L上，点P到原点的间隔 必满足而2成立要求2+b2144，即由此可见使得1成立的和b必不能使2成立所以，不存在实数和b使得1，2同时成立九附加题，此题总分值10分，曲线y=x3-6x2+11x-6.在它对应于的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值解：曲线方程是y=x3-6x2+11x-6，因此y=3x2-12x+11在曲线上任取一点Px0,y0,那么点P处切线的斜率是y|x=x0=3x02-12x0+11点P处切线方程是y=3x02-12x0+11x-x0+y0设这切线与y轴的截距为r，那么r=3x02-12x0+11-x0+x03-6x02+11x0-6=-2x03+6x02-6根据题意，要求r它