2006年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题

1、.2006年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题第一试一、选择题每题5分，共50分1a,b为实数，集合表示把集合M中的元素x映射到集合 P中仍为x，那么a+b的值等于 A1 B0 C1 D2假设函数满足，那么的解析式是 A B C D3假设关于x的方程有负数根，那么实数a的取值范围为 A B C D4数列的前n项和分别为，记 那么数列的前10项和为 A B C D5如图1，设P为ABC内一点，且， 那么ABP的面积与ABC的面积之比为 A B C D6假设 那么角的取值范围是 A B C D7袋中装有m个红球和n个白球，m>n4.现从中任取两球，假设取出的两个球是同色的概 率等于取出的两个球

2、是异色的概率，那么满足关系m+n40的数组m,n的个数为 A3 B4 C5 D68实系数一元二次方程的两个实根为且那么的取值范围是 A B C D9如图2，在正方体中，P为棱AB上一点，过点P在空间作直线l， 使l与平面ABCD和平面AB均成角，那么这样的直线l的条数为 A1 B .2 C3 D .410如图3，从双曲线的左焦点F引圆的切线，切点为T延长FT交双曲线右支于P点假设M为线段FP的中点，O为坐标原点，那么与的大小关系为 A B C D不确定二、填空题每十题6分，共30分11为锐角，且，那么 12用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能包容得下的

3、最大球的半径为，能包容此框架的最小球的半径为，那么等于 13设是以2为周期的奇函数，且，假设那么的值是 14假设a，b，c成等差数列，那么直线ax+by+c = 0被椭圆截得线段的中点的轨迹方程为 15设那么S的最大值为 第二试一、50分设是函数的反函数图象上三个不同点，且满足的实数x有且只有一个，试务实数a的取值范围.二、20分x、y、z均为正数 1求证： 2假设,求的最小值三、20分,设,记 1求 的表达式; 2定义正数数列。试求数列的通项公式。四、30分如图4，ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H,设D、E分别为内切圆I与边BC、CA的切点，求证：D、H、E三点共线五、30

4、分如图5，抛物线C：，F为C的焦点，l为准线，且l交x轴于E点，过点F任意作一条直线交抛物线C于A、B两点。1假设，求证：；2设M为线段AB的中点，P为奇素数，且点M到x轴的间隔 和点M到准线l的间隔 均为非零整数，求证：点M到坐标原点O的间隔 不可能是整数。参考答案1C 由题设得M=P，从而。2B 由，于是3D 因为 解得4C 当时， 故5A 如图1，设 ，由平行四边形法那么知 NP/AB，所以，6C 方法1：由因为 方法2：原不等式可变形为 构造函数， 那么原不等式为易知在R上是增函数，因此。注 意到，解得7A 记“取出两个红球为事件A，“取出两个白球为事件B，“取出一红一白两 球事件C，

5、那么。依题得PA+PB=PC，即Cm2+Cn2=Cm1·Cn1。所以m+n=mn2，从而m+n为完全平方 数，又由，得 所以，解之得m，n=6，3舍去，或10，6，或15，10，或21，15。故符合题意的数组m，n有3个。8D 设 在直线坐标平面aOb上作出上述不等式所表示平面区域如图2中阴影部分所示不含边 界，两直线a+b+1=0与2a+b+3=0的交点为P2，1。 表示经过坐标原点O和可行域内的点a，b的直线l的斜率。显然，当l过点P 2，1时，斜率为；当l与直线平行时，斜率为2。所以 9B 由于二面角C1ABD的平面角为45°，所以在这个二面角及它的“对顶二面 角内，

6、不存在过点P且与面ABCD和面ABC1D1均成30°的直线。转而考虑它的补二面 角，易知过点P有且仅有两条直线与面ABCD和面ABC1D1均成30°。故满足条件的直 线l有2条。10B 如图4，设双曲线的右焦点为F，连结PF、OT，在RtOTF中，由|OF|=c，|OT|=ac为双曲线的半焦距，得|TF|=b，于是，根据三角形中位线定理及双曲线定义，得|MO|MT|=二、填空题每题6分，共30分。把答案填在题中的横线上11 方法1：由题设及三倍角的斜弦公式，得故方法2：设故12 依题意，R1为这个正四面体框架的棱切球半径，R2为外接球半径。易知，棱切球的直径即为正四面体对棱

7、之间的间隔 ；又外接球的半径为，所以，。133 因为为锐角，所以是以2为周期的奇函数，且，所以14 由a2b+c=0知，直线过定点P1，2。又点P在椭圆上，所以P为所截线段的一个端点，设另一端点为Qx1，y1，线段PQ的中点为Mx0，y0，那么。因为点 Qx1，y1在椭圆上，所以=1。故得中点M轨迹方程为152 由题设得于是S33S20，即S2S+120，得S2。当，y=4时取等号。第二试一、选择题每题5分，共50分【解】的反函数为。于是，由，得。此方程等价于。 5分1当=0，即时，方程有唯一实根。 10分2当>0，即时，方程有两个实根显然，满足条件，从而应有 15分而a=0时，点P、Q

8、重合，所以a>0。综上所述，实数a的取值范围为。20分二、此题总分值20分【解】1因为x，y，z无为正数。所以；5分同理可得当且仅当x=y=z时，以上三式等号都成立。将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得10分2因为x，y，z均为正数，且由1的结论，得当且仅当x=y=z，且时，以上等号都成立，故 20分三、此题总分值20分【解】1由，所以 5分于是，10分2因为，即15分因此，是首项为2，公比为的等比数列。所以 20分四、此题总分值30分【证法1】如图5，设直线BI与CA边相交于K点，连结AI、DI、EI、DH、EH。因为BDI=AHB，IBD=ABH，所以IBDABI有 10分又因

9、为HBD=ABI，所以HBDABI有BHD=BAI 20分因为AEI=AHI=90°，所以A、E、H、I四点共圆，有EHK=EAI 由、及BAI=EAI，得BHD=EHK。故D、H、E三点共线。 30分【证法2】如图5，连结DE、EH、AI、EI。因为AEI=AHI=90°，所以A、E、H、I四点共圆，有AEH=AIB 10分又因为I为ABC的内心，所以AIB=90°+C. 从而AEH=90°+C. 20分因为CD=CE，所以于是AEH+DEC=180°，故D、H、E三点共线。30分五、此题总分值30分【解】1方法1：点F的坐标为p，0，设直线l的方程为得 设，那么y1、y2是方程的两个根，有由因为，又所以故 10分方法2：如图6，设点A、B在准线l上的射影分别为A、B，那么|AF|=|AA|，|BF|=|BB|。从而，由因为又故 10分2设Mx，y，依题意x、y均为非零整数，由对称性，不防设x，y，