23个基础的圆锥曲线专题(修正版).

1、23个基础的圆锥曲线专题（修正版）223例1设椭圆E :。+上丁 =1 ,其焦点在x轴上，若其焦准距（焦点到准线的距离）p = ，求 a 1 -a4椭圆的方程.解析由椭圆的标准方程得：b2=1-a2A0,即：a2 < 111一则：c ='a -b =42a -1 >0 ,即：a >,故：a ( (, 1) 22焦准距:b2 P =c由准线方程准焦距，a方b方除以c知:1 a2 =(1 -a2)22a2 1 2a2 13 一由已知p=4得:(1-a2)2322a2 -142即：16(a4 2a2+1) =9(2a2 1),即：16a450a2+25 =0 ,2 50 -

2、 502 4 16 2525 252 16 2525 一 9 25a -2 16-1616即:225 15a = 1625 1552=二一或 a16225-15 5168_2- 28x 8y 一 1 53结合式得：a2 =5,故加圆方程为: 822例2设椭圆E:x+N=1 （a>b>0）的离心率e = 一,其通径（过焦点且垂直于长轴的焦 a 1-a2直径）d=1, F1，F2为两焦点，P是E上除长轴端点外的任一点，/F1PF2的角平分线PM交长轴于M （m,0）,求m的取值范围.解析A>先求椭圆方程由M径等于2epk口： d=2ep,即焦准距p = _d=，3 .r2eV33

3、 22由上线方程准焦距，a方b方除以c|知：焦准距p = _b2 = Y3,即：b 故PM的斜率为：km = ko=Y3c c 33已知收心率|e=c = Y3,即：a=M3c,即：a2=-c2 a 233对于椭圆，有：a2 =b2+c2将代入得：4c2=c+c2 (c#0) 33即：c = V3 于是：a = c = 2 , b = Ja2 c2 = 1 e 2故椭圆方程为：士+ y2=14B再求角平分线方程设P点坐标为（X0,y0），则P点的切线方程由等效代替得:Xo4 yoyox0x+ yo y = 1,即:4故切线斜率为：ko=4yo由切线平分焦周角，称为弦切角定理知：过P点的切线的垂

4、直线就是角平分线 PM将式代入上式得:4yoXoXo于是PM的直线方程为：y-yo =km(x-xo) = y°(x-Xo) 当y =。时，x =m ,就是M点的坐标故由式： 0 yo =4y°-(m - Xo) =4y0m 4y0XoXo即:Xom = 3yo ,即：m=3x043 3由于 x°w(a,a),即 x0w(_2,2),故：m( ,-) 2 2 一_ 3 3所以，m的取值范围是(-3 J).2 222,Fi,F2为两焦点，椭圆E与y轴的交点例3设椭圆E:+t = 1 (a>b>0)的离心率a2b2为A(0,3),求三角形的面积S击af2

5、解析A>先求椭圆方程由椭圆E与y轴的交点为A(0,3)得：b = 3由离心率e = c aa2 -b2即：92 a3,即: 4=12故椭圆方程为:129B>求S占iAF2由式可得:c2 = a2 -b2 = 3 ,即:1 /日一得:21则 S&af2 =- F1FAO=2cb = bc = 3 3另外，由焦 三角形计面积，半角正切连乘b得:SaiAF, =b2tan = b2 C=bc=373F1AF22 b22例4如图，设椭圆E ：7+y? = 1 (a>b> a b长轴顶点，过左焦点F斜率为k = 73的直线l交椭圆E于A,B两点，若FA =2 FBFAM解

6、析本题直线l过椭圆E的左焦点，故采用以左焦点为极点的极坐标可使问题简化A建立极坐标本极坐标的椭圆方程为：P = ep 1 -ecosQ直线l的斜率k =有，故其倾角为：9 =- 3联立可得A,B两点的坐标.B求A, B两点的坐标ep2ep对于A点，力=：,代入式得：Pa = FA3对于B点，为=上+兀，代入式得：Pb = FB=ep = 2ep B 3B- n 2 + e1 ecos31-ecos2eC求M , N两点得坐标对于M点，%=0,代入式得：Pm = FM =ep=-ep- 1 -ecosO 1 -e对于N点，9n =兀，代入式得：Pn = FN =ep=-ep- 1 - ecosn

7、 1 + eD求参数将代入FA=2FB得：工 = 2玉2 -e2+e2即：2(2e)=2+e,即：2=3e,故：e=一3E求面积比S FAMS FBMFM sinaFB|FNsin 二FA|FMFB |FN将代入得:S FAMS, FBM2 e2 -e1+e (2+e)(1+e)区1 -e -(2 -e)(1 -e)将代入式得:S FAM(2 J(1J3322(2-)(1 -) 338 5-104 12例5设椭圆E :xr +ad=4 33故，本题答案为:1=1 (a >b>0),其离心率e =,其通径b b2 b方除以c得：焦准距p=b- = 2 c即：b2 = 2c 3求椭圆E

8、的方程. 若两条焦直径（过焦点的弦）AB与CD互相垂直.求1 +AB1CD解析求椭圆E的方程.由通径等于2 e p得：d = 2ep =则焦准距：p=R3=2 d由唯线方程准焦距，a方、3e22故椭圆E的方程为：±+L = 132 若两条焦直径（过焦点的弦）AB与CD互相垂直.求ABCD（如图甲）由于AB和CD都是焦弦，过焦点，所以采用极坐标.准线方程准焦距，a方b方除以c知:焦准距:b cp =2离心率：e = c aA>则以Fl为极点的椭圆方程为:ep1 -e cos 3-cosu故:则:B>AB = Pa + Pb13 - cos21AAB3 -cosA3 cos?

9、a则以F2为极点的椭圆方程为:3-cos %故：CD = Pc + Pd3 cos1C3 -cos%CC3-coJ %C则:13 -cos -cCDC>由于AB与CD互相垂直，故：10c =19A +；即：cosep1 ecos3 cosu 日C =sin2 6A 于是由得:113 -cos uAA2 .3-cos % -CABCD4 3 - 121故：本题答案是'+ABCD12注：CD过Fi与CD过F2其长度相同.F ,在椭圆上任取三个不同点Pi,P2,P3 ,使得22例6设椭圆E : += 136 27P1FP2 ; P2FP3 ; P3FP1FPiFP2FP3解析由于左焦点

10、为F是本题已知条件和求解的关键点,所以以F点为极点的极坐标是本题.A采用极坐标，则椭圆方程为:则:11 -ecosep设FP1的极角为日1 =3 , M FP2的极角为% =口1 -ecosFP3的极角为名 =" +B> 由于：cosB1 +cos92 +cos83=COS cos(:)cos(-：=cos(二2 二+)cos(二)cos-= cos(二2 二.)2cos( 3 )cos= cos(：)- cos(二)=。即：cos81 +cos92 +cos93 =0C于是由得:111 -ecos:FPi：1ep1 -ecos(：FP2ep23)1-ecos(二ep上面三式相

11、加得:1113 - e(cos1 coS2 coS3)FPj+FPr+-FPr=ep将代入上式得:1113+- 一FP1FP2 FP3 epD>由椭圆标准方程得：a2=36, b2=27,即：a = 6, b = 3石由唯线方程准焦距，a方、b方除以c八2得：焦准距P = bc离心率： e= £，故：ep = £ 上b227 9a 一 6 一 2代入式得:1113 2FP1 FP2FP3 - ep -32 2 例7如图所示，椭圆E:(X 1)+*=1,过原点的两条直169线交圆于A,B,C,D, AD与CB的延长线相交于 M, AC与DB的延长线相交于N ,求MN所在

12、的直线方程.解析因为AB与CDf交于原点，所以将原点坐标O(0,0)代入2-2.椭圆E的方程得：(0_-+0-=<116916上式中： <”表示在椭圆内；告”表示在椭圆上；>”表示在椭圆外于是，原点O(0,0)在椭圆内.根据椭圆的极限定理，直线 MN就是原点。关于椭圆E的极线.于是，极线MN的方程为:(x0 1)(x 1)y0y.116将x°=0, y°=0代入上式得：（上”=116即：x = 15.这就是MN的直线方程.22例8设椭圆E :t+%=1 （a>b>0），过右焦点的直线l : x + y-J3 = 0交E于A,B两点，P a b为

13、AB中点.1若OP的斜率k =-,求椭圆E的万程;若直线m : x-y-73=0交E于C,D两点，AD与BC相交于Q,求Q点的坐标. 1 一 、一解析若OP的斜率k =1 ,求椭圆E的万程.由AB得直线方程x + y-褥=0得其斜率：kAB=-1由唯线方程准焦距，a方、b方除以C得：2准线方程=-a-(2c2焦准距p=b-c由弦与中线斜率积，准线去除准焦距得:k kAB =£ Sxc、一11b2将 及k =一代入式行：-=(1)+ (22 ca )=c1由AB直线方程l : x + y-百'=0过右焦点得：（c,0）点在直线上.即：c+0V3 = 0,即：c=V3,于是：a2

14、 = b2+c2 = b2 + 3 由得：a2=2b2=b2+3,即：b2=3,代入得：a2=2b2=622故椭圆E的方程为：上+L = 1.63则:x0a26=3= 3二2百，故Q点的坐标为（273,0）.2）若直线m: x y73 = 0交E于C,D两点，AD与BC相交于Q ,求Q点的坐标由于l与m相交于T ,所以当Q作为椭圆的极点时，那么其极l线必然都经过T点.对i m: x - y - *y3 = 0 ,当 y = 0 , x = 33故T点的坐标为（J3,0）.那么，直线x=73就是Q点的极线.设Q点的坐标为（x0,y（）,其中y0 =0 2则其或线方程为： 与+军=1,即：等=1,

15、即：乂=二=百 a bax022例9设椭圆E : 士十匕=1的长轴端点为A,B ,与y轴平行的直线交椭圆E于P,Q两点, 168PA、QB的延长线相交于S点，求S点的轨迹.解析由椭圆E的方程得：A（,0）, B（4,0）设 S(x0,y0), P(m, n),则 Q(m, n)22则：m-+n-=1 168于是，直线PA的方程为：yyA=PyA(x Xa),即：y = n(x+4)xP xAm 4, 一、一.y。一 yB-n直线 BQ 的方程为：y yB=(x-Xb),即：y =(x-4) Xq - Xbm 4联立解得S点的坐标.,n , 、一n ,、故：y0 =(X0 4) =(X0 -4)

16、m 4m -416即：(m-4)(x0+4) =-(m+4)(x0 一4),即：x0 = m代入得：yonn 16m 4(xo "m 4(m4n 4);m故：mJ, xoyo 16 4y04xo将上式代入得:1 1616 xo224 yo=12xo即:16 2y。222xoxo2=1 ,即：16 +2y022即：xo -yo =1168这就是S点的轨迹，它是一个双曲线.2例10已知抛物线P : y =2px ( p>o ), F为P的焦点,M为P上任一点，l为过M点的切线，求证：FM与l的夹角等于l与x轴的夹角.解析设抛物线P上的点M ,其坐标为（xo,y。）.则在M点的切线方

17、程用等效代替得:px pxoy°y = p(x+xo),即：y=十 yoyo故切线的斜率为：K =tan P =上 （TyoFM的斜率为：kMF =tan：二 yM -yFxM 一 xF即:yo2 pyotan222x _ p 2 Px2 Pyo - pxo 22pyo2 pyo 21-p2yo2，n2： =tan(2) 1 Tan故：豆=22，即：FM与l的夹角等于l与x轴的夹角.证毕.例11已知抛物线P的顶点为原点，其焦点F(0,c)到直线l:x-y-2 = 0的距离为d =2M在l上，过M作抛物线P的两条切线MA、MB ,其中A、 B为切点.当M的坐标为(4,2)时，求AB的直

18、线方程;当M在l上移动时，求 AF , BF的最小值.0-c-2 c+212 (-1)22解析由点F(0,c)到直线l : x-y-2 =0的距离公式得:将d=5自代入上式得：d=S；N=3叵=於，即：c=i 2222由于抛物线P的顶点为原点，故其焦点为F(0,c)得抛物2线方程为：x =4cy=4y 当M的坐标为(4,2)时，求AB的直线方程由于MA、MB是抛物线P的两条切线，所以点M与直线AB是关于抛物线P的一对极点与极线，即直线AB的 方程就是M关于抛物线P的极线方程 设M点的坐标为(x0,y(), 则直线AB的方程：XoX = 2(y + yo)即：4x=2(y+2),即：2x=y+2

19、,即：2xy2=0 .当m在i上移动时，求|af| |bf|的最小值A由于MA、MB是抛物线P的两条切线，所以点M与直线AB是关于抛物线P的一对极点与极线.故直线AB的方程：X0X = 2(y+y0)抛物线式：x2=4y, p = 2其焦点坐标为F(0,1)其准线方程为：y = -1B由地物线，有定义，定点定线等距离知:AF = AA' , BF = BB'而 AA'= E + yA = 1 + yA , BB' = E + yB = 1 + yB 22故：|af| BF|=(i + yA)(i+yB)= i+(yA + yB)+ yAyB C由于A,B在直线A

20、B上，满足直线AB的方程得：x0x = 2(y+y0) 2 2222即：Xo x =4(y + y°)，即：4x0 y=4(y + y0)贝 1： Xo2y =(y yo)2 =y2 2y°y y。2222即：y (x。-2vo)v + v。=o 22由韦达止理得： yA+yB=x。-2y。，yAyB=y。6D由于M点在直线l:xy2=0上，故：x0y02=0即：X。= y。+ 2将代入得： AF|，BF|=1+x。2 -2y。+y。2将代入得：AF BF =1+(y°+2)2-2y0+y。22一2 一 2 一=1 y。 4y。4 2y。 y。=2y。 2 y。5

21、1299=2(2)J故：|af-bf|的最小值是9.212过抛物线P:x2=2py（ p,。）的焦点F作斜率分别为k1,k2两条不同弦 AB和CD ,k1 +k2 =2 ,以AB、CD）为直径的圆M圆N （ M、N为圆心）的公共弦所在的直线记为l ,若圆心M到l距离的最小值为75 ,求抛物线P的方程.5解析A抛物线x2 =2py 其焦点F(0, P) 2则AB的直线方程为：y = kix + 2CD的直线方程为：y=k2x+P 2B由联立可得A, B坐标，进而得到圆M的方程将代入得：x2 =2 p(k1x+_p) =2 pk1x + p2 ,即：x2 - 2 pkx - p2 = 02由韦达止

22、理得：Xa+Xb=2pK, XaXb=-P代入得：Va +yB =ki(XA +Xb)+ p = 2 pki2 + p ,WXa Xb _ Va Vb _ 2 2 p 9fpC. Xm pki , Vm _ pki + 222圆M的半径为:AB二2 (xa22-Xb) ki (xa -Xb)2Ji +ki2J(XA +XbJ -4XaXb2= ；Ji +ki2 J4p2ki2 +4 p2 = pq'i +k12 Jk/ 十 i2=p(1 +ki )于是同M的方程为：(x-Xm)2+(V-Vm)2 = Rm2C同理得到C,D的坐标和圆N的方程XnxCxD2.Vc Vd. 2 ppk2 ,

23、 Vn =- = pk2 + 二 ®22圆N的半径为：RN=p(i+k22)222于是圆N的万程为：(X-Xn) +(V-Vn) =RnD联立可得到S,T的坐标，进而得到公共弦ST的方程由-得:222222(x'XM)(XXN),(yyM)-Xy 1yN) = RM RN即：(XN - XM )(2x xM xN ) +( yN yM )(2 y yM - yN ) = ( RM - RN )( RM + RN )区分别解析式，得到公共弦ST的方程由-得：xN xM = p(k2 k1) , yN yM = p(k2 ki )2 2由 + 得：xN+xM= p(k2+kl)

24、,yN+yM=P(k2 +k1 +1)>,一22由-行：RM RN p( ki k2 ).22由 + 得：RM+RN=P(k1 +k2 +2)将上式代入式得：p(k2 -ki)(2x- p(k2 + ki) p(k22 -ki2)2y- p(k22 ki2 1)2 ,k 2 _k 2 w k 2 - k 2 -2、一 p (ki - k2 )( ki k22)将ki +k2 =2代入上式得:_22_ 2 22一p(k2 -ki)(2x-2p) 2p(k2 -ki)2y- p(k2kii) =2p (ki-k2)(kik22)即：(x - p)2y - p(k22 ki2i) -p(ki2

25、k222)2222即： x - p 2y - pk2 - pki - p - - pki - pk2 - 2p即：x +2y =0 这就是公共弦ST 的方程E由圆心M到l距离的最小值为得到p就得到了抛物线P的方程由点到直线的距离公式得：d = xM 一2yM, i2 (- 2)2将式xM = pki , yM = pki2 +上代入上式得:2xM - 2 yM|pki -2pk,2 - p5二 p 2ki2 ki i2pki2 -ki +-二22751 2 72p 7 75p(ki - )2- p = p4165 16587 5由于d最小值为臂，所以p = 8 .故地物线P的方程为：x2=16

26、y .例13已知动圆C过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8 ,求动圆圆心C的轨迹故：直线段MA的中点为(2,近)，21 4直线段MA的垂直平分线斜率为：k =- =一 kMA y0直线段MA的垂直平分线方程为：y=k(x -2) +0 = -(x-2) + 0- = x-+02 yo2 yoyo 2C联立可解得圆心坐标(xc,yc)将代入得：yo-4=Xc-旦十必，即：色Xc=y。-4 +3-3=凶+3-4 yoyo 2%yo 22 %由式vc =丫0 4得：yo =Vc+4代入得：8xc =(% 4)2 16-8(yc 4)22即：8xc =(%8% 16) 16-(8% 32

27、)=%故动圆圆心C的轨迹方程为:y2 =8x .这是一条抛物线.例14如图已知，在抛物线P: y2 =4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为A.过原点的圆C其圆心在抛物线P上，与抛物线的准线l交于不同的两点2M ,N ,若 AF =| AM AN求圆C的半径.解析抛物线的准线方程：x = - E =- 2抛物线的焦准距：1AF|=p = 2 A设圆心C的坐标为(xo,yo)因为圆心在抛物线P上，故：yo2 =4xo设圆的方程为：(x-xo)2+(y-yo)2 = R2由圆过原点得：Xo2+y02=R2B由圆与抛物线的准线l交于不同的两点M ,N满足式.由于Xm = Xn = T ,故：(1 xo

28、)2 (y-y。)2 =R2 =x。2 y。22即：y 2y0y+1 +2x。=0由韦达定理得：yM+yN=2y。，VmVn=1+2x。因为：AM|=Vm, AN| = Vn,故：AM AN =1+2x。 一 2C将式代入 AF = AM AN得：1 + 2x。= 4将代入式得：y02 =4x0 = 6 ,即：y0 =±5/6 将代入得：R2 = xo2 +yo2=- +6 344故:W C的半径M R=雪.例15如图，抛物线Pi : x2 =4y ,抛物线 2P2 : x =-2py( p>0),点 M (xo, yo)在抛物线 P2上，过M作Pi的两条切线MA和MB ,当x

29、0 =1 -42时，,，、,1切线MA的斜率为k .求：AB所在的直线方程；当点M在抛物线P2上运动时，求AB中点的轨迹方程.解析求AB所在的直线方程A>因为点M(xo,yo)在抛物线P2上，满足抛物线P2：xo2 = -2 pyo 由于MA和MB是Pi两条切线，所以M和AB就是关于Pi的一对或点和极线故极线方程对Pi ： x2 =4y等效代替为：x0x = 2(y+yo)2将代入得：pxox = 2 py , 2 pyo = 2 py - xo即：p%x2py + x。2 =。B> MA的切线由等效代替得:xA心即：丫丁-其斜率为：NAW当xo =1-72时，切线MA的斜率为k

30、= -2将k = 代入得：卜乂人;也二3,即：Xa=1 222x-11于是由Xa =4yA得：Va =一，故A点坐标为A(1,)，此时，x0=1J2 .-12-pxo - 2 pXo =04444 1C将A点坐标为A(-1,)代入式得: 42即：一2pxop+2xo =0,即：p =2xo22xo 1将xo =1-72代入上式得:2(1 - 2)2故 P2 : X2 = -2 py = -4 y D求AB所在的直线方程_ 2(1 一 2)2- 2(1 - 2) 1 -(1 - 2)2 -将 =1夜和p=2代入式得：pxo x _ 2 py + xo2 = o即：2(1 -72)x -4y+(1

31、 -72)2 =o ,即：2(1 四)x 4y +3 -2& =。1即：y = 1-23 -2 2x+ (6这就是所求的AB所在的直线方程.当点M在抛物线P2上运动时，求AB中点的轨迹方程.A将AB所在的直线方程式与 H : x22代入式得：2vd=XoXd+. = Xd2+ = '，即: 222 =4y式联立即可.由得：2y =x0x + !xo2 = XoX+1xo2 皂 p2代入x2 =4y得:B由韦达定理得:X2=2XoX + Xo2,即：X2-2x°x-Xo2 =o Xa+Xb=2Xo,即 AXb = xo®2即AB中点坐标:XaXbXdXo2i这

32、就是AB中点的轨迹方程对于抛物线P：y2=8x,其焦准距p = 4,离心率e = 1极坐标方程为：ep1 -ecos设A点的极角为久，则B点的极角为Ct +n-44FB = PB -= 1 cosp +兀)1 +cosa则由得:FA4111 -cos：一 二一二0例17如图，在正方形.中，。为坐标原点，点A的坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10),分别将线段,OA和AB.等分成十等分,分点分别记为A1, A2,A9和B1,B2,，B9 ,连接OBi ,例16已知抛物线P：y2=8x,焦弦AB被F分为FA将p=4、e=1代入上式得:41 一 cosuFB411 cos：1由得：FAFB44

33、12111 - cos-1 cos 二由+得：+=+=求：过点Pi的切线方程.Bi解析两段，求:FBFAFB1 1解析由于所求的是与FAFB相关，所以采用FA= Pa=-41 -cos：过Ai作轴的垂线与OBi交于_ * 一 一 ，.、Pi (i u N , 1 <i <9).求：点R的轨迹方程;OAiA A9 xCBAOFB求：点Pi的轨迹方程坐标首先看Pi点的坐标(x“ y)x =1010故Pi点的轨迹方程为:y = 10求：过点Pi的切线方程.由切线方程用代替得切线方程:yi yXiX即：y =xix2.iX i i10 10(2x-i).这就是过点Pi的切线方程.22例18

34、已知，双曲线H :二-工 45=1 ,过右焦点F的直线交H于A、B两点，以AB为直径的圆C与H的准线还有另外两个交点 M、N ,与原点。构成的三角形，求:S. MON 的最小值.解析A双曲线右焦点F的坐标由 a2 =4 , b2 = 5 得：c2=a2 b2 =9故：c = 3,即：F(3,0)B双曲线的准线方程由准线方程准焦距，a方、b方除以c得:、一a24_准线方程为：x =13C> AB的值设过右焦点F的直线方程为：y = k(x-3)代入H的方程假的A, B点的坐标.故:x2 k2(x -3)2=1 ,即：5x2 -4k2(x-3)2 =20即:22 25x -4k x24k2

35、x 36k2 20 =0即:(5 -4k2)x2+ 24k2x (36k2 +20) = 0由韦达定理得:XaXb24k25 -4k236k2 - 20,xAxB25 4k2 则：(Xa - Xb)2.二 (Xa Xb) -4XaXb242k4(5 -4k2)24(36k 2 20)5 -4k22 , 424 k2 2(5 -4k )_2-24(36k20 )(5 4k )2 2(5 -4k )2 _ _4_4_ 22(5 4k2)2 36k(9k5)(5 -4k )42(5 -4k2)2一 2225k2+25卜群"0而：(Va -yB)2 =k2(XA -Xb)2于是:22AB =

36、(1+k )(xaXb)一 222220 (k 1)2 2(5 -4k )则:AB一 220(k1)5 -4k2D圆C的方程设圆心坐标C（xc，yc）,则:XcXa2yc=VayB2xA xB故：xC 二212k212k2.225 -4k2 4k2 - 5VaVb.Vc=kXa+Xb 一a= 12k3 24k2 512k3 15154k2 5 4k2 5圆的半径：RAB210(k1)5 -4k2，则：R222210 (k 1)22(4k -5)222故圆C的万程为：(x-xc) +(y-yc) =R102(k2 1)2(4k2 -5)212k 、2 ,15 、即：(x- 2) (y- 2)4k

37、2 -5 4k2 -5E>求I MN J点的坐标412k2 c将带入式得：(3)2+(y -1524k2-5)102(k2 1)2(4k2 -5)2即：(y-J5 j4k - 5-2222_22302(k2 1)2 4(4k2 -5) -36k22_ 2223 (4k -5)_ 2223 (4k -5)_24_222_2230 (k 2k 1) 4 4k -5 9k _ 2223 (4k -5)_ 2223 (4k -5)302(k2 1)2 202(k2 1)2 500(k2 1)232(4k2 -5)2 32(4k2 -5)2 - 32(4k2 -5)2+，15500(k2 1)故：

38、yM N -2 = ±2，即:,N 4k2 -53(4k2 -5)F> SMon的最小值2由于式x =一 cMN4=一，即O到直线MN的距离, 3m_1 4 .故：S MONMN2 32 20 5(k2 1) 40 5(k2 1)33(4k2 -5)9(4k2 -5)10 5(4k2 -5 9) 10 510 5=19(4k2 -5)9(4k2 -5)10 5一 9即：当k =丈时，SJMON生5为最小值。例19如图椭圆：P=ep焦弦AB交椭圆A,B .F为左焦点,P,Q为椭圆顶点,连结QA的直线交准线与M ,连结QB的直线交准线与N ,MN是准线：Pcos日=- p.2或Xm

39、n = -a-,长轴于准线交点为Z.求证：MF _L NF c证明A由椭圆的极坐标方程求出AA'和BB'过A作AA'i PQ交PQ于A',过B作BB' .L PQ交PQ于B'设直线AB的倾角为小，则由椭圆的极坐标方程可得AFep1。ecos于是：AA'=AFsin】= epsin.1 -ecos同理：BF=$,BB'= BFsm八星二(21 ecosB求准线上的截距ZM和ZN由 AQZM s Aqaa '得:ZM ZQ ZO OQAA' _ A'Q - FQ - FA'2将 ZO = p = a-,

40、 OQ=a, FQ=a+c, FA' = FA cos4 c22222b a -c aa aa cp =c 得： p+c+a = + a = (a+c)=c c cc ce即：e( p c a) =a c代入式得:ZMa(a+c) c(a c) - AF cosAA'ac(a c) epsin epcos 1 - ecos(a c) - l1-ecosa (a +c)c psin 4c a (a c)(1 ecos )epcos(a c) psin(a c) e(a c p)cos(a c)psinpsin_=-=-(a c) -(a c)cos 1 -cos对于ZN ,将e+

41、几代替小代入即可，即：ZN = 网叱 1 cosD> |向量法证MF _L NF，"尔一0Ipsin® psin®由式得：ZM ZN =- 1cos牛 1+cos小因为p是焦准距，故：|ZF =p,|ZF|2 = p2 K 一 V -因为向量：FZ .L ZM , FZ .L ZN一 二 U _ _ 故：FM FN =(FZ +ZM ) (FZ +ZN ) =|ZF所以：FM _lFN,即：MF _L NF .证毕.22例20如图，F为双曲线C:x2-1=1 (a>0. a bp2sin2> 0 ）的右焦点，P为双曲线右支上的一点,且位于x轴上方

42、.M为左准线上一点，。为坐标原点.已知四边形为平行四边形,PF rOF 写出双曲线的离心率e和九的关系式; 当九=1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A,B点.若AB| = 12,求此时的双曲线方程.解析写出双曲线的离心率e和困的关系式A>双曲线C的离心率：e=c a由准线方程准焦距，a方b方除以c得:2双曲线C的左准线：x =c2双曲线C的右准线：x= c则:MNOF =c故:MN | = 2a2 = 2of ce 二eC根据双曲线的第二定义:2P点到焦点F的距离|PF | ,与到准线x =a的距离|PN|之比为定值ePM | | MNoF| of故. ePFl_OFl|PN|

43、 |PM|MN因为已知四边形OFPM为平行四边形，所以 PM =OF 2将代入式得：e = =4,即：e2-2=储1_2 e -2 2 e- e2 -22 f故：九=e _ ee 当图=1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A,B点.若|AB|=12,求此时的双曲线方程A求得参数关系当九=1 时，即：PF =>“OF =OF =c 由得：儿e2 2即：e2e2=0,即：(e2)(e + 1)=0,故：e = 2C则由 e=一得：c=ea = 2a代入 c2=a2+b2 得：b2=3a2,故：b=V3aB双曲线方程设P(xp,yp),则22Xpyp=1,即:22Xpyp3a2PF22

44、222此时,=(xp -'c)yp -(xp -2a)yp代入式得：(xp - 2a )2 , yp2 = c2 = 4a 2即:一 22(Xp -2a)Vp4a2 4a2C采用参数法求得P点坐标令：xP -2a = 2a cos6 , yP =2asin6代入式则为恒等式：cos2sin2 - 1代入式得:2 一.、22.2.4a (1 cos与4a sin 二3a2二1即:4(1 +cos0)2 - - sin2 9=1,即：12(1+cos9)2-4sin2 日=3 3即:2 .2 .12 24 cosu 12cos -4 4cos 1-3=0即:16cos2 日 + 24cos

45、日+5 =0 ,即：(4cos8+1)(4coS0 +5) = 0_-,_1因为：cos9 < 1 ,所以：cosl = 一一4于是：xp =2a+2a cose = 3a , yP=2asin日 215aD求A,B点的坐标及| AB因为直线AB/OP ,所以斜率kAB =%p =&xP 315故直线AB的方程为：y = kAB(x-XF)=(x - 2a)3将与双曲线方程联立可得 A,B点的坐标.将代入双曲线方程得:x2122a 3a即：9x25(x2a)2 =9a2 ,即：4x2 + 20ax29a 2 =0E>求双曲线方程20a29a式由韦达TE理得：xA+xB=-=

46、_5a , xAxB = 44于是：(Xa _Xb)解析|求椭圆方程及其离心率因为焦点F(c,0)在x轴上，所以短轴是y轴.故短轴：2b = 2 J2,即：b = J2 由线方程准焦距，a方b方除以c|得： 2准线方程：x=2,贝U： XacC =(Xa Xb)2 -4xaXb = 25a2 29a2 = 54a2则：Ba -yB)2 =kAB2(XA Xb)2 =5 54a2 = 90a2 3故：|AB = (Xa - Xb)2 +(Ya -Yb)2 = J54a2 +90a2 = 12a代入已知|AB=12得：a = 1, a2=1将a = 1代入式得：b=J3, b2=32则双曲线方程为：X2 y =1.3例21如图已知椭圆的中心是原点 O ,它的短轴长为2。»,相应于焦点F(c,0)的准线L与x轴相交于A, OF =2FA ,过