矢量分析与场论课后答案

1、矢量分析与场论习题11 写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。1 x a cost, y bsi nt2 x3sin t, y 4sin t,z 3cos t解： 1 r a costi bsintj，其图形是xOy平面上之椭圆。2 r 3sin ti 4sin tj 3cos tk ，其图形是平面4x 3y 0与圆柱面2 2 2x z 3之交线，为一椭圆。4求曲线 x t, y t2,z2t3的一个切向单位矢量3解：曲线的矢量方程为 rti t2j 2t3k3dr则其切向矢量为idt2tj 2t2k模为旳八t2424t 1 2t于是切向单位矢量为drdt/|di 2tj 2t2k21

2、 2t226 .求曲线 xa sin t, ya sin 2t, z a cost,在t处的一个切向矢量。4解：曲线矢量方程为 r asin2ti asin2tj acostkdr切向矢量为dtasi n2ti2acos2j asintk在t 处，d raia k4d tt T27.求曲线xt21,y 4t3,z 2t2 6t在对应于t 2的点M处的切线方程和法平面方程。2 2解：由题意得M(5,5, 4),曲线矢量方程为r (t 1)i(4t3)j(2t6t)k,在t 2的点M处，切向矢量dr亠 2ti 4j (4t6)kt2 4i 4.dt t 2于是切线方程为口 -J即口442'

3、221于是法平面方程为 2(x5)2( y 5) (z 4)0,即2x 2y z 160&求曲线r ti t2j t3k上的这样的点，使该点的切线平行于平面x 2y2kdr2解：曲线切向矢量为i 2tj 3t k，dt平面的法矢量为n i 2j k，由题知n i 2tj3t2ki 2j k1 4t 3t201得t 1, 一。将此依次代入式，得3|t 1ij k, |!1 .1 .1 ,ijkt339271 1 1故所求点为1,11 , 一，一，一3 927习题21 说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。1Ax By Cz D解：1场所在的空间区域是除 Ax By Cz D 0外

4、的空间。等值面为Ax By Cz DC1 或 Ax By Cz DC10( C10为任意常数)这是与平面Ax By Cz D 0平行的空间。2场所在的空间区域是除原点以外的2 2 2z x y的点所组成的空间部分。等值面为 z2 (x2 y2)sin2c, (x2 y20)，当sin c 0时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面(除顶点外)当sin c 0时，是除原点外的xOy平面。2 2x y2求数量场u经过点M 1,1,2的等值面方程。z解：经过点 M 1,1,2等值面方程为12 122 2x y uz即z x2 y2，是除去原点的旋转抛物面。3.已知数量场u xy，求场中与直线 x 2 y 4

5、 0相切的等值线方程。 解：设切点为 x0, y0 ，等值面方程为xy c x0y0，因相切，则斜率为 k 匹 1，即 X。 2y0X。2点X0,y°在所给直线上，有X。2y° 40解之得y01,x02故xy 24.求矢量A xy2i x2yj zy2k的矢量线方程。解矢量线满足的微分方程为A dr 0,或 dx dy dz或 2-22xy x y zy厶dxdz有 xdxydy , .x z2 2x解之得zy C1,（C1,C2为任意常数）C2x5.求矢量场22A x i y j (x y)zk通过点M (2,1,1)的矢量线方程。解矢量线满足的微分方程为dx2xdy2y

6、dz(x y)zdxdy2yCi ,按等比定理有d （:y）x ydz ,即d(x y)兰解得x(x y)z x y zy c 2Z.故矢量线方程为Ci，又 M (2,1,1)求得 c1,C2x y C2Z丄丄 1故所求矢量线方程为x y 2.x y z习题31.求数量场ux2z3 2 y2z在点M向导数。2xi x2 . y j3z4k4iM解：因1M43cos一, cos0, cos55在点M (2,0,1）处有u2xz34, uxy u43所以?( 4)0?0一 ?124l552.求数量场u 3x2z xy z2在点M 12,0, 1 处沿 I 2xi xy2j 3z4k 的方3k ,其

7、方向余弦为4yz 0,3x2z2 2y212,z231,1处沿曲线x t, y t ,z t朝t曲线上点增大一方的方向导数。解：所求方向导数，等于函数u在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。M所对应的参数为t 1 ,从而在点M处沿所取方向，曲线的切向方向导数为dx1,dy2tdTMdtMt 1其方向余弦为cos3t23.解:114,cos2,cos.14(6xz y)M7,_xM1,-uMyMz.14M于是所求方向导数为又-x(上 cosx求数量场0时,graduM(2xyz3i(3x22z)u cosyu cosz1、141)214 5324.14、14x2 yz3 在点grad u l0

8、方向导数最大。(巴xM 2,1,grad u3x2yz2k即函数u沿梯度grad u4i 4j1处沿哪个方向的方向导数最大?cos ,4i 4j 12k,12k方向的方向导数最大最大值为grad u.176 4.11 o一 1 24.画出平面场u (X2M 1 (2,、2)与点1 3y2)中u 0, ,1, ,2的等值线，并画出场在2 2M2(3, .7)处的梯度矢量，看其是否符合下面事实：(1 )梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小；(2)在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向u增大的方向。2 x2y0,x22y1,解：所述等值线的方程为：2 x2y2,x22y3,其中第一个又可

9、以写为2 x2y4,x y 0, x y 0 为:直线，其余的都是以Ox轴为实轴的等轴双曲线（如下图，图中 GigraduM，G2 grad u M2，）由于 grad u xi yj,故grad% 2i 间，grad u M2 3i <7 j,由图可见，其图形都符合所论之事实。5用以下二法求数量场 u xy yz zx在点P 1,2,3处沿其矢径方向的方向导数。直接应用方向导数公式;作为梯度在该方向上的投影。解:点P的矢径i 2j3k,其模r J14.其方向余弦为cos114,COS214,COSI.又(yz)p5,(xz)pu4,z(x y)所以I(-cosxu cosyu cosz

10、grad(丄ix3-1422-145i4j 3k,k.14grad u P ?41422。3.4.14处梯度的大小和方向余弦。又问在哪些点上梯度为0?grad uO 3i 2j6k,grad uA6i3j0k,其模依次为：<32 ( 2)2(6)27&623202于是grad uO的方向余弦为cos3,cos2,cos6777grad uA的方向余弦为COS2J5,cos1T5,cos0.2x y30,求使grad u0之点，即求坐标满足4y x20,之点，由此解得解：grad u ( 2xy 3)i (4y x2)j(6z 6)k,6z 60x 2, y 1, z 1故所求之点

11、为(2,1,1).7.通过梯度求曲面 x2 y 2xz4上一点M(1, 2,3)处的法线方程。2解：所给曲面可视为数量场u x y 2xz的一张等值面，因此，场u在点M处的梯度，就是曲面在该点的法矢量，即2k,grad u M (2xy 2z)i x2 j 2xk m 2i故所求的法线方程为习题41.设S为上半球面x22y2z a2(z0),求矢量场rxiyjzk向上穿过S的通量。【提示：注意 S的法矢量n与r同指向】解：r dSrndSrdS adSa2 a22 a3.SSSS2.设S为曲面x2 y22 za2(0zh),求流速场v(xyz)k在单位时间内下侧穿S的流量Q2 2解：Q (x

12、y z)dxdy (x y x y )dxdy 其中 d为 s在 xOy 面上的SD投影区域：x2 y2 h.用极坐标计算，有 Q(rcosDrsi nr2)rdrd2h / 223.2、h3h21 od(r cos r sin r )dr(cossin )d-h2.0003423.设S是锥面z x2y2在平面z 4的下方部分，求矢量场A 4xzi yzj 3zk向下穿出S的通量 。解：略4.求下面矢量场A的散度。（1）A(x3yz)i(y2xz)j(z3xy)k（2）A(2z3y)i(3xz)j(y2x)k;（3）A(1ysin x)i(xcos yy)j解：（1）2div A 3x2y3z

13、2（2）divA0（3）divAycosxx siny 15.求div A在给定点处的值：(1)A x3i y3j z3k在点M(1,0, 1)处；(2) A 4xi 2xyjz2k在点 M (1,1,3)处;(3) A xyzr(r xi yj zk)在点 M (1,3,2)处；解：(1)div A(3x2 3y2 3z2)6(2) div Am (4 2x 2z)m 8(3) div A xyzdiv r grad (xyz) r 3xyz (yzi xzj xyk) (xi yj zk)6xyz，故 div A m 6xZm36。6.已知u2 3 八2.xy z , Ax ixzj2 y

14、zk ,求 div (uA)。解：div A2x 2ygrad u233y z i 2 xyz j3 xy2 2z k故 div (uA)udiv A grad u ? Axy2z3(2x2y)23.(y z i2 xyz3j 3xy2z2k)(x2223232x y z 2x y32z x23y z2x2 yz4 6xy 3z3223233x y z 8x y :z3 2x2 4yz .7.求矢量场A从内穿出所给闭曲面S的诵量(1)A x3i y3 j z3k,S为球面 x22 yz2 a2;(2)A (x yz)i(y zx)j(z xy)k, S为椭球面解：(1)A dSsdiv AdV

15、23(xy其中为S所围之球域x2 y22 2za今用极坐标xrsincos , y rsin sin ,zr cos计算，有3r2 r2sin drd d32da 4sin d r c2ooo2 x2 ai xzj 2yzk)2 y b22z2)dV121.解:(2)A dSSdiv AdV习题五求一质点在力场a(1 cost)从tdV 3abc 4yi zj xk的作用下沿闭曲线0到 t 2运动一周时所做的功。ydx zdy xdzabcx a cos t, ya sin t,20a2 si n2t a2(1 cost) cost a2 cost si n t dt2 a2 2 o (1 c

16、ost cost sin t)dt2 a2.求矢量场Ayi xj Ck（C为常数）沿下列曲线的环量：2（1）圆周xy2 R2,z 0 ；（2）圆周（x2)2 y2R2,z 0。解：（1 ）令xRcos ，则圆周x2 y2 R2 ,z 0的方程成为x Rcos , y Rsin ,z0，于是环量:A ?dli。ydxlxdyCdz(R20 sin 2R2 cos )d2 R .(2 )令 x 2Rcos ，则圆周(x 2)22yR2,z0的方程成为x Rcos2, y Rsin,z0,于是环量:A?dll° ydxlxdyCdz2 2R02 sin(Rcos2) R cosd2 (R2

17、0 2R cos )d2R23.用以下两种方法求矢量场Ax(z y)iy(xz)jz(y x)k在点M( 1,2,3 )处沿方向n i 2j 2k的环量面密度。（1）直接应用环量面密度的计算公式;（2 ）作为旋度在该方向上的投影。解:（ 1）n0n 1.2.n 3i 3J2k,故n的方向余弦为cos31,cos322,cos33x(z y),Q y(xz）, R z（ yx）根据公式，环量面密度(RyQz)cos(Pz Rx) cos(QxPy)cos m(z1y)3 (x225z)3 (x y)3M38619333rot(z y)i(x z)J(x y)kM5i 4J 3k,于是m rot?

18、n°(5i 4j 3k)?(1i32 .3jIk)19rot A4xzi (12yZj (z 3x2)k.z2(2) DA 2xz2y2yz2x,故有 div A 000,2xyrot A x(2y x)iy(2z y)j z(2x z)k.4用雅可比矩阵求下列矢量场的散度和旋度。（1）A(3x2yz)i (y32 xz ) j2xyzk；（2）A2 . yz i2zx j xyk；（3）AP(x)iQ(y)jR(z)k.6xy 3x21解：（1）DA2 2z 3 y2xz2,故有 divA 6xy 3y 2xy (8x 3y)y,2yz 2xz2xyP (x)00（3）DA0Q&#

19、39;(y)0,故有 div AP'(x) Q'(y) R'(z)00R'(z)rot A 0。5.已知ue xyz , A2 z i2x jy 2k ,求rot uA.解：rot uA u rotA grad u A,00 2zda 2x 00 ,有 rotA 2yi 2zj 2xk, u rotA exyz(2yi 2zj 2xk),0 2y 0grad uexyz (yzi xzj xyk), grad u Axyz eyz2 zxz xy2 2 x yxyz23232e (xy z x y)i (xyz y z)j (x yzxz3)k,rot uAex

20、yz(2yxy2z x3y)i (2z xyy3z)j (2x x2yzxz3)k习题六1.证明下列矢量场为有势场，并用公式法和不定积分法求其势函数。(2)A(2xCOSy2y sinx)i (2ycosxx2 sin y)j.解：(1)记Py cosxy,Qx cosxy, R sin z.ijk则 rot A0i0j (cos xyxy sin xy)xyzPQR(1)A所以A为有势场。(cos xyy cos xyi x cos xyj sin zk;F面用两种方法求势函数v :xy sin xy)k 010公式法：vxy0 P(x,0,0)dx0 Q(x, y,0)dyz0 R(x,

21、y,z)dz C20不定积分法:xyz00dxxcosxydy。sin zdz0 sin xy cosz 1因势函数 v满足Avxy cosxy, vyxcos xy ,vz将第一个方程对x积分，得v对y求导，得vyxcosxyy(y,z)0,于是(y, z)再对z求导，得vzC1C1 cosz sin xy C.grad v，即有sin乙sin xy (y,z),y(y,z)，与第二个方程比较，知(z),从而vsinxy (z).(z),与第三个方程比较,(z) sin z，故 (z) cosz C.所以 v cosz sin xy C.2(2)记 P 2xcos y y sin x,Q 2

22、ycosx2x sin y, R 0.(2x sin y 2y sin x)k 0i jkrot A0ix yzP QR则0j ( 2ysin x 2xsin y)所以A为有势场。下面用两种方法求势函数V :0xyZ1 公式法：v ° P(x,O,O)dx °Q(x,y,O)dy 0 R(x, y,z)dz Cxy2z2xdx (2ycosx x2si ny )dyOdz C0 0 02 2 2 2 2 2x y cosx x cosy x C y cosx x cosy C.20不定积分法：因势函数 V满足A grad v ,即有2 2vx 2xcosy y sin x,

23、vy2 y cosx x si ny ,vz 0,将第一个方程对x积分，得v x2 cosy y2cosx ( y,z),对y求导，得vy x si ny 2ycosx y (y, z)，与第二个方程比较，知' 2 2y(y,z)0,于是 (y, z) (z),从而 v x cosy y cos (z).再对z求导，得vz '(z),与第三个方程比较，知'(z) 0，故(z) C.所以 v x2 cos y y2COSx C.2.下列矢量场 A是否保守场？若是，计算曲线积分 Adl :l(1)A(6xyz2)i(3x2z)j(3xz2y)k，l的起点为A(4,0,1),终点为B(2,1,1);(2)A2xzi2yz22j (x2y2z1)k，l的起点为A(3,0,1),终点为B(5, 1,3)6y6x 3z">解：(1)DA6x0 1,有3z21 6xzrot A(1)(1)i(3z23z2)j(6x6x)k0,故A为