立体几何与空间向量学案

1、空间向量及线性运算例3、如图，在空间四边形 ABCD中，E是线段AB的中点,【本课重点】1、理解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及性质；2、通过平面向量向空间向量的推广，体会数学的类比和归纳的思想方法【预习导引】1、 在空间，既有 又有的量叫空间向量.空间向量可以用 表示;的长度叫向量的模；凡是方向相同且长度相等的有向线段表示同一向量或.2、 已知空间向量 a, b，在空间任取一点 0,作0A=a, AB=b，则a，b二；作 OA =a, OB =b，贝y a b =;作 0A =a, OP = 0A（， R），则菇工.3、 空间向量的加法和数运算满足运算律：（1） ;（1）若CF =2

2、FD，连接EF , CE , AF , BF化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量: aC CB "Bd ;若F为CD的中点，求证:EF =】(AD BC).2C(2)； (3)4、如果表示空间向量的有向线段互相或，那么这些向量叫或向量a与b平行,记为.5、对空间任意两个向量a与b（ao）, b与a共线的充要条件是存在实数 人，使【典例练讲】例1、如图，M,N,P,Q,R,S为平行六面体 ABCD-ABGD1所在棱中点，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量.(1)AB BC AB AD AA1AB AD 1CC： (4)2-(AB AD AAJ3BC - BB1 - BDMN

3、PQ RS例4、已知六面体 ABCD - ABC1D1是平行六面体（如图）1T T 2T（1）化简一 AA BCAB，并在图上标出结果；23（2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCGB对角线BG上的四等分点（靠近点 G ）,设 MNABADAA,试求，一：，的值例2、如图，在长方体OADB -CA1D1B1 中，0A =3 , 0B =4 , 0C =2 , 01 =0J =0K =1，点 E,F 分别DiCi是DBQ1B1的中点。设01 =i , OJ=j , OK =k。试用向量 i, j,k表示 OD1、B10A1、0E、OF .A1共面向量定理例3、证明：三个向量丄3飞，二4；总览

4、池并1石总共面.【预习导引】1、叫共面向量.2、 在平面向量中，向量 b与向量a（a厂0）共线的充要条件是存在实数，使得b = 'a ；在空间向量中，已 知向是b与a不共线，那 么向量p与向量a， b共面的充要 条件是 存在有序实数组（x,y）,使得P =.3、 已知空间四点 0、A、B、C满足OC=o（OA + POB，则A、B、C三点共线的充要条件是 .4、 已知A、BC三点不共线，则点0在平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x,y,使0A=.例4、（ 1）对于空间某一点 O，空间四个点A、B C、D （无三点共线）分别对应着向量0A、"ob、"Oc、5、 设

5、空间任意一点 0和不共线的三点A、B、C,若点P满足向量关系0P二xOA yOB - zOC （其中x+y+z=1） 试问：P、A、B、C四点是否共面？并证明你的结论 .OD，求证：A、B、C、D四点共面的充要条件为存在四个不全为零实数使得 ：0A ： OB OC 、0D = 0，且：:.=0 ;【典例练讲】例1、正方体ABCD-ABC.D,，E和F点分别为面 ABGD,与BBGC的中心，判断下列几组向量是否（2）设空间任意一点 O和不共线三点A、B C，若点P满足向量关系 OP = xOA，yOB zOC，当x, y,z为共面向量:满足什么条件时，能够使得P, A, B, C四点共面.C1C

6、C1）BG, AD1Q1D ；（2）A例2、如图，已知矩形 ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点 M , N分别在对角线BD, AE上,且 BMBD，ANAE .求证：MN / 平面 CDE .33空间向量基本定理例3、已知空间四边形 OABC，其对角线为OB,AC，点M , N分别是对边OA, BC的中点，点G在直线MN上，且MG二2GN，试用基底向量oA,ob,oc表示向量用a,b,c作为基底，则向量MN可表示为OG可表示为例4、如图，在平行六面体ABCD-ABCP中，点E,F,G分别是忌，DD，而的中点，请选择3、如图，已知空间四边形 OABC，其对角线OB, AC，M , N分别

7、是对边OA, BC的中点，点G在线段MN上，表示向量OG =且MG -3GN，用基底向量 OA,OB,Oc【典例练讲】恰当的基底向量证明：(1)EG / AC ；(2)平面EFG/平面ABC .例1、如图，在平行六面体 ABCDABCiD,中，已知T 4 T 4>DA 二 a， DC 二 b， DD c，点G是侧面B,BCG的中心，试用向量a,b,c表示下列向量:【本课重点】空间向量基本定理及其运用【预习导引】* - *1、如果3个向量8(2忌不共面，那么对空间任一向量p，存在的有序实数组x,y,z,使p =。ei(2,e3 称为空间的一个 ， 巴(2(3叫做。当ei,e2,e3两两互相

8、垂直时称为 ,当ei,e2,es为两两垂直的单位向量时称为 .通常用表示.2、已知空间四边形 OABC,点M ,N分别是OA, BC的中点，G在AN上，且AG=2GN, OA二a, OB二b, OC二C ,例2、在正方体OADB-CADB冲，点E是AB与OD的交点，M是OD 与 CE的交点，T TT j T I(1)试分别用向量 OA,OB,OC表示向量OD和OM ;(2 )OI,OJ,OK分别为OA,OB,OC方向上的单位向量,试用 Ol ,OJ,OK 表示 OA,OB,OC .空间向量的坐标表示使 d = - a b亠丫 c.【本课重点】空间向量的坐标表示、运算及空间向量平行的坐标表示【预

9、习导引】1、若 A(Xi,yi,Zi)， B(X2,y2,Z2)那么 AB = 2、设 a=(Xi,yi,Zi)，b =(X2,y2,Z2),， R,那么(1) a +b =(2) )a -b =(3) 入a =:(3) 若 a / b(a H 0)，贝U13、已知向量 a = (8, x, x), b= (x,1,2),其中 x>0若 a/ b，贝U x 的值为4、给出命题：若=入a若a, b,a与b共线，则a与b所在的直线平行；若 a与b共线，则存在唯一的实数OM=10A+10B+3 OC，则点 mC三点不共线，0是平面ABC外一点,入，使b定在平面ABC上，且在 ABC的内部.其中

10、真命题是 【典例练讲】例 4、( 1)、已知向量 a = (2,4,5) , b=(3,x,y)，若 a/b，求 x, y 的值；(2)、已知空间四点 A(2,3,1) , B(2,5,3) , C(10,0,10)和 D(8,4,9)，求证：四边形ABCD为梯形.E、F、G、H、例1、已知ABCD -是棱长为2的正方体,P为正方体的中心，建立如图所示的空间直角坐标系(1) 、试写出图中各点的坐标；(2) 、x轴，y轴，z轴上的点的坐标有什么特点？例 2、( 1、已知 a = (1,3,8), b=(3,10,4)，求 a+b , ab, 3a , 3a 2b.(2、已知A, B , C三点坐

11、标分别为(2,-1,2), (4,5, -1), (-2,2,3),求满足下列条件的P点的坐标:11 - OP (AB-AC): AP (AB-AC).22(1 2b-1)2，空间向量的数量积(1)【本课重点】空间向量数量积、夹角及求法【预习导引】1、 设a,b是空间两个非零向量， 过空间任一点 0作OA = a ,OB = b，则NAOB叫向量a与b的,记作,范围为.若< a,b >=0,则向量 a 与 b； 若< 2, b >=兀，则向量 a 与b；若<a,b>=卫,则向量a与b互相，记为a丄b. a丄b二22、 设a, b是空间两个非零向量，把| a

12、|b | cos< a,b >叫做向量a与b的数量积，记为 .并规定：零向量与任一向量的数量积为 0空间向量的数量积的运算律：例2、已知向量Lb，向量c与説的夹角均为60，且|畀1，仏2 , |强3，试求：(Ik，；(2)；(3).I 4444 443、已知a,b是空间两个向量，若a =3, b =2， a +b = 7,则a,b的夹角为例3、如图，在平行四边形 ABCD中，AB=AC=1, ACD = 90，将它沿着对角线 AC折起，使AB与CD成60 角，求BD间的距离.4、如图所示，空间四边形 OABC中，0A _ BC,OB _ AC.求证：0C _ AB.1，点E、F分别

13、是AB,AD的中点，计算：EF BA，典例练讲】例1、如图，已知空间四边形 ABCD的每条边和对角线都等于EF BD，EF DC.C例4、在三棱锥 O-ABC中，已知侧棱 OA, OB，OC两两垂直，求证：底面ABC是锐角三角形(1)线段AB的中点坐标和 AB的长度;(2) AB与AC的夹角的正弦值；【本课重点】空间向量数量积的坐标运算【预习导引】*1、设，b=(X2,y2,Z2)则(1)|a| =；a b =；f -* f(3) cos< a, b >=;(4) a 丄 b 二 = .2、若 A(Xi , yi,Zi)， B(X2,y2,Z2),贝U AB中点 M的坐标为 求二A

14、BC的面积；(4)到 C点的距离为1的P ( x,y,z )的坐标x, y, z满足的条件AB =; | AB |=.4 4 _-I 43、“ a bcO”是“ ca,b>为钝角”的 条件.(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”或“既不充分也不必要”)444 44、已知 a=(11,1 t,t), b = (2,t,t)，则 ba 的最小值为 .【典例练讲】例 1、a =(3,5,V), b= (2,1,8)，计算：(1) 2a 3b, 3a-4b , ab , |a|, 12a 3b|cos：a,b ;(3)求向量2a 3b与a的夹角;(4)确定,"的关系，使-b与

15、z轴垂直例4、在棱长为 1的正方体 ABCD-ABGD中，E,F分别是 DD,BD的中点，G在棱CD上，且1CG CD , H是C1G的中点，应用空间向量法解决下列冋题：4(1)求证：EF _ B1C ; 求EF与C1G所成角的余弦值； 求FH的长.例 2、已知 a =(1,5, -1) , b = (-2,3,5).4 444(1) 若 (ka b)/(a -3b)，求 k 的值；4 4 T T(2) 若(ka，b) _(a-3b)，求 k 的值(1)写出直线AB的一个方向向量；【本课重点】直线的方向向量和平面的法向量若点M(x,y,z)在直线AB上，求x, y, z满足的关系式；【预习导引

16、】.z, “，亠"设平面g经过线段AB的中点，且与直线 AB垂直，点P(x,y,z)是平面a内一点，求x,y,z满足的关系式;1、直线l上的叫做直线l的万向向量.求到A,B两点距离相等的点 Q(x,y,z)的坐标x,y,z满足的关系式.2、 如果表示非零向量n的有向线段所在直线与平面a,那么称向量 n与平面°，记着,此时，把向量 n叫做平面°的3、下列说法正确的是.(1)一条直线的所有方向向量都互相平行；(2) 一个平面的所有法向量都互相平行(3)平面的法向量一定是非零向量；(4) 向量n是平面:-的法向量，向量a是与平面平行或在平面:-内，则有n g =0.4、

17、(1)在空间直角坐标系 O-xyz中，下列向量中不是y轴的方向向量的是 1CD (0,1,0)；国(0,-1,0);30,-1);(0,1,1)2(2)过空间三点A(1,1,0), B(1,0,1),C(0,1,1)的平面的一个法向量为 【典例练讲】例1、(1)在正方体 ABCD-A 1B1C1D1中，求证：DB是平面ACD 1的法向量；(2)已知：A(1,2,1), B(3,2,3), C(5,3,1),求平面ABC的一个单位法向量.例4、在棱长为1的正方体ABCD-A 1B1C1D1中，E,F分别是棱AB,BC的中点，则在棱 BB1上是否存在点M，使得UM 平面EFB1 ?若存在，指出点

18、M的位置；若不存在，请说明理由例2、在空间直角坐标系中，设平面 :-经过点P(x0,y0,z0)，平面爲的法向量是e = (a,b,c) , M(x,y,z)是平面二内的任意一点，求 x, y, z满足的关系式【本课重点】用向量语言表述线线、空间线面关系的判定(1)线面、面面的平行和垂直关系； 用向量方法判定空间线面的平行和垂直关系.【预习导引】1设两直线 匚的方向向量分别为 e,e2 ;平面、，一:込的法向量分别为ni,门2,那么：(1) li 打二; li 丄打二;(2) li / 8 二;li 丄口1 = ； 8 / G2 二 ； S 丄口2 = .2、设a,b分别是直线li,l2的方向

19、向量,根据下列条件,判断li,l2的位置关系：(i) a =(2,i,2),b =(6,3,6) ； (2) a = (i,2,2),b = (-2,3,2) ；3、 设u,v分别是平面:,-的法向量，根据下列条件，判断:，-的位置关系：(i) (-2,2,5), v =(6,4,4) ； (2) u =(i,2,-2),v =(-2,4,4)；(3) u =(2,-3,5),v =(-3,i, V).4、已知直线l的方向向量a =(-1,0, -2)，平面:-的一个法向量为e =(4,0, m)，若直线l与平面垂直,则实数m =.【典例练讲】例i、证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的

20、一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直(三垂线定理)例2、证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.(直线与平面垂直例 3、如图，在直三棱柱 ABC ABG 中，NACB=90，Z BAC=30 , BC=i,AA,= J6 ,M 是棱 CG 的中点,求证：AiB_AM.例4、已知正方体 ABCD-ABiGDi中，E,F分别为BBi、CD的中点，求证：DiF_面ADE.的判定定理)n空间线面关系的判定例3、如图，平行六面体 ABCD-ABiGDi的底面ABCD是菱形，且必C1CBC1CDBC 0 .【本课重点】用向量方法判定空间线面的平行和垂直关系【预习导引

21、】1、 长方体ABCD-ABiCiDi中，AD=AA, AB=2AD点E是线段 CD的中点，贝U DE与平面EBC的位置关系是 .2、 正三棱柱 ABC-ABiCi的各棱长均相等，点 D是BC上一点，AD丄CQ，则平面 ADC与平面BCCB的位置关系.3、在正方体 ABCDAiBiCiDi中，点M是棱AAi的中点，点 0是BDi的中点，贝V OM是异面直线 AAi与B0的.TIT T T4、已知 AB =(i,5,-2), BC =(3,i,z),若 AB _ BC,BP = (x-i, y,-3),且 BP _ 平面 ABC,则实数 x,y,z分别为.【典例练讲】例i、在四棱椎 P-ABCD

22、中，底面 ABCD是一直角梯形，.bad =90 , AD/ BC, AB=BC=aAD=2a,且PA丄底面ABCD, PD与底面成30°角，AE± PD, E为垂足，试建立恰当的空间直角坐标系：44 十工4 一求证：BE丄PD；设n =(i,p,q)，满足n _平面PCD，求n的坐标.cd(i)求证：GC_BD ; (2 )当的值为多少时，能使 AiC_CiBD平面，请给出证明GC例4、如图所示，在三棱锥 P-ABC中，AB _ BC，AB二BC二kPA,，点O, D分别是AC, PC的中点，OP _平面ABC .(i)求证：OD /平面PBA ; (2)当k为何值时，O

23、在平面PBC内的射影恰好为 丄PBC的重心？例2 :在棱长为i的正方体 ABCD AiBiCiDi中.(1) 若E、F分别为棱 AB和BC的中点，试在 BBi上找一点M，使得DiM _平面EFBi ；(2) 若PQ是AC与CiD的公垂线段，试确定点 P在AC上及点Q在GD上的位置.【本课重点】向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算二BC =2 , AD = 1，求面SCD与面SBA所成二面角的大小【预习导引】1两条异面直线所成的角与它们的方向向量的夹角2、斜线与平面所成角是斜线与平面法向量的夹角 3、两个平面所成的二面角与两个平面的法向量的夹角空间角的计算例 3、如图，ABCD是直角梯形，&

24、#163; ABC =90 , AD / BC , SA _ 平面 ABCD , SA = AB14、设a,b分别是两条异面直线 hi的方向向量，且cos：a,b -,则异面直线人丄所成角为25、 正方体ABCD kBCD 1 1中，M是AB的中点，贝V DBi与CM所成角的余弦值为 .【典例练讲】1例 1、在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，Ei、F分别在 Ab、GD上，且 EBAB,1DFi = CiDi,P 为 BC 中点.4(1)求BEi与DF所成角的大小；求直线FiP和平面Di AC所成角的大小求二面角Ai - BD - Ci的大小.4例4、已知四棱锥 P-ABCD,底面ABC

25、D为菱形，PA!平面ABCD, Z ABC = 60 ,E, F分别是BC PC的中点.(1)证明：AE± PD;若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为6，求二面角E AF C的余弦值.2例 2、如图，在直三棱柱 ABO A1B1O1 中，001 =4 , OA =4 , OB =3 , AOB =90 , D 是线段 AiBi的中点，P是侧棱BBi上的一点，若OP _BD，求OP与底面AOB所成角的余弦值AiB空间角的计算(2)在PC上是否存在点 E,使得PB_面ADE.4. 在直二面角-1 - -中，A丄,B - , A、B都不在I上，AB与所成角为x, AB与

26、所成角为y,例4、如图所示，四棱锥 P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中 BD是圆的直径,2 2 2AB与l所成角为 z,贝U cos x+cos y -cos z的值为.典例练讲】例1、如图所示，已知ABCD是上、下底边长分别为 2和6，高为75的等腰梯形，将它沿对称轴00,折.ABD =60； , BDC 二 45 , PD 垂直底面 ABCD , PD 二 2 2R, E, F 分别是 PB, CD 上的点，且成直二面角，如图(2)所示，求证：AC_BOt ;求二面角OAC Oi的大小.PE DFEB 一 FC ,过点E作BC的平行线交PC于G .求BD与平面ABP

27、所成角二的正弦值;(2)证明： EFG是直角三角形；PE i当时，求 EFG的面积.EB 2EGA尸F【本课重点】向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算【预习导引】1若 NAPB =NBPC = NCPA =60°，贝U PA与面 PBC所成角为 ；若/APB =NBPC =NCPA =120°，贝U PA与面 PBC所成角为 .2 .若/APB ZBPC /CPA =90° , Q为异于P的一点，PQ与平面PAB平面PBC平面PAC所成角分别为 a、 B、 ？，贝U cos2 ° + cos2 B 十cos2 ? =.3.共点的三条直线 PA PB PC两两垂直，它们与平面 ABC所成角为：、 ，则sin2a +sin2 目 +sin2 丫 =例2、在直三棱柱 ABC AiBiCi中，底面 ABC是等腰直角三角形, -ACB =90，侧棱AAi=2 , D E分别是CCi与AiB的中点，点E在平面ABD上的射影是