线性代数与空间解析汇报几何地相互的应用分解

1、摘要关键词：线性代数，解析几何，相互应用Each application of linear algebra and spaceanalytic geometryAbstractIn our lear ning process, can be found a lot of mutual applicati on in lin ear algebra and space analytic geometry. This paper do some research on mutual betwee ntheapplicatio n oflin ear algebraan dspacean alyt

2、ic geometry. Firstly, applicati on, li near algebra in spatialan alyticgeometry including, application of homogeneous linearequations, the matrix rank in space in analytic geometry, three yuan for a solution of the linearequations determine the plane position, applicationof general equationtheory an

3、d methods of two type to simplify twotimes, two times thesurface curve. Secondly, the application, the space analytic geometry in linear algebra, geometry significanee algebraic problems, geometric interpretation of linear algebra concepts and problems of the application of analytic geometry, linear

4、 algebra. Through the discussion of the paper to illustrate the lin ear algebra and space an alytic geometry is the mutual connection, mutual promotion. Can be a little more precise to say is the space analytic geometry is the corn erst one of lin ear algebra and lin ear algebra is gen eralized, and

5、 space an alytic geometry the abstract ion.Keywords: lin ear algebra, an alytic geometry, the use of each other、引言1、线性代数在空间解析几何中的应用 1一齐次线性方程组在空间解析几何中的应用1二用一次线性方程组的解来判断平面的位置关系4三二次型理论和方法在化简二次曲面、二次曲线方程中的应用5四矩阵的秩在空间解析几何中的应用 6、空间解析几何在线性代数中的应用 9一代数问题几何化意义 9二几个线性代数概念的几何化解释 111. 关于行列式的几何背景112. 关于正交变换的几何意义13

6、3. 关于正交化的几何解释13三两个线性代数问题的几何解释 131. 线性相关与线性无关132. 施密特正交化14四线性代数中解析几何的应用 15四、完毕语 16五、参考文献 17、引言线性代数起源之一是解线性方程组线性方程组几乎是作为一条 主线贯穿于线性代数，即使是解析几何，直线、平面方程都是线性的， 平面位置关系确实定也与线性方程组解的结构理论相关.在十七世纪, 笛卡尔与费马在几何空间中引入了坐标系， 从而在几何与代数间建立 了一座桥梁，用代数方法解决空间的几何问题，产生了解析几何解析 几何的产生，可以说是数学开展史上的一次飞跃 .恩格斯曾经这样评 价：数学中的转折点是笛卡尔的变量，有了变

7、量，运动进入了数学， 有了变量，辩证法进入了数学，有了变量，微分和积分也就成了必要 的了.人们也注意到，对于变量不多于三个的某些代数问题，如果将 其解释为相应的几何问题，有助于代数问题的解决当处理变量个数 多于三个的问题时，直观的几何解释不再存在，但是数学家从几何学 的经验中汲取直觉，把几何空间的矢量运算规律抽象出来，形成了有 限维矢量空间理论，建立空间基的概念，将坐标系的概念推广到抽象 的线性空间中，再将其中得到的理论应用于几何空间.历史上，几何与代数互为问题，互为方法，相互交融解析几何为线性代数提供了 一些几何背景，而线性代数又为解析几何提供了有力的工具 本文的 目的就是浅谈线性代数与空间

8、解析几何的相互应用二、线性代数在空间解析几何中的应用一齐次线性方程组在空间解析几何中的应用ai xa2 X2ai nXn0定理2:齐次线性方程组a21x1a 22 X2a2nXn0a n1 X1an2X2a nn Xn0有非零解的充要条件是它的系数行列式等于零即aiiai2a21a22an1an2Dal na2na nn只有零解的充要条件是它的系数行列式不等于零该定理在线性代数中是作为克莱姆法如此的两个推论给出的例1:假如矢量a同时垂直于三个不共面向量a1,a2,a3如此a 0.证明：设 aiai,b,G,i1,2,3, a x, y, za!, a2,a3不共面ai bi ga2b2 c2a

9、3 b3 C3又 a同时垂直于a1,a2, a3,a1xb1 y c1z0a2x b2y c2z0*)a3xb3yC3Z0ai bi Cia2 b2 C20 a3 b3 C3故齐次线性方程组(*)只有零解，即x y z 0,从而 a 0例2:求由不共线三点A(xi, yi, Zi), B(X2, y2,Z2),C(X3 ,y3,Z3)所确定的平面的方程解：A ,设 的方程为：a(x Xi) b(y yj c(z z)0,其中a,b,c至少有一个不为零同理，B,C,所以有：a(x2Xi)b(y2yi) c(z2 Zi) 0a(x3Xi)b(y3yi) c(z3 Zi) 0于是可得到一个关于a,b

10、,c的齐次线性方程组(x xja (y yjb (z zjc 0(X2xi)a (y2 yi)b (z? zjc 0(X3 Xi)a (y3 yi)b (Z3 zjc 0a,b,c不全为零,该方程组至少有一个非零解，由定理知，其系数行列式的值为零，即XX1yy1zZ1X2X1y2y1Z2Z10X3X1y3y1Z3Z1此即的方程.例 3:求四点 A(xi，y乙),B(X2, y2，Z2),C(X3, 丫彳厶),D(&,y4，Z4)在同一平面上的充要条件解：设代B,C,D共面于平面ax by cz d 0 ( a,b,c不全为零),如此有ax1by1cz1d0ax2by2cz2d0ax3b

11、y3CZ3d0ax4by4cz4d0如此(*)是关于变量a,b,c,d的齐次线性方程组.又由于a,b,c不全为零,故 a, b, c, d不全为零,即方程组(*)存在一组非零解,由定理知,(*)有一组非 零解的充分必要条件是：X2y2X3y3:10X4y4z41此亦为所求.例4:试证三平面aiX by qz 0i(1,2,3)共线的充分必要条件是aa2a3b1c1b2c2b3C3证明:显然坐标原点(0,0,0)是三平面的一个公共点于是,三平面能否共线的问题在于它们有无除原点以外的公共点，也就是方程组:a1xbiy qz 0a2x b2y c2z 0a3x bsy C3Z 0有无非零解的问题，于

12、是由定理知其充要条件是：a b ca2 b2 c20a3 b3 C3二用一次线性方程组的解来判断平面的位置关系线性代数中的线性方程组的结构理论对深刻领会直线、平面的位置关 系起到重要作用，下面以一个一次线性方程组为例 .设空间中三个平面1, 2, 3,其方程为：aix biy C1Z di ( 3)a2x b2y c2z d2 ( 2)a3x b3y C3Z d3 ( 3)其系数矩阵为A,增广矩阵为A ,那么方程组的解可以分为以下几个情形：1. 如果r(A) r(A) r,三个平面有公共点,方程组有解. 如果r 3,方程的系数矩阵可逆，如此方程存在唯一解，这时三个 平面相交于一点. 如果r 2

13、,方程组的解等价于某两个线性无关的解，存在无穷多个 解，此时三个平面相交于一条直线. 如果r 1 ,三个方程组重合为一个方程组，方程组有无穷多解，三 个平面重合.2. 当r(A) r(A),三个平面没有公共交点,方程组无解.由平面方程定义可知 1 r(A) r(A) r(A) 1. 如果r(A) 2, r(A) 3,设Aa1,a2,a3 T,如此分为两种情况：如果A的行矢量两两线性无关，如此三个平面形成一个三棱柱.如果A的其中两个行矢量线性相关，不妨假设为与a2线性相关,如此1, 2,平行,与3相交. 如果r(A) 1,r(A)2,三个平面互相平行，设A a,a2,a3 T.如果(A，Aj)(

14、i j)线性无关，如此三个平面互相平行但不重合.如果A的其中两个行矢量线性相关,不妨假设为a2,如此仆2重 合,与3平行.三二次型的理论和方法在化简二次曲面、二次曲线方 程中的应用当我们从几何空间抽象出一般矢量空间后，又可以将其中得到的结论 和方法应用于解决几何问题.在空间解析几何中，空间二次曲面用一个二 次方程表示，这是线性代数中二次型的特例 ,所以，在线性代数中关于二 次型的理论和方法又可以解决几何中二次曲面、二次曲线化简的问题 .例1:证明二次曲面4y1 、2x x所以通过坐标旋转变换y P yz有 XTAX 2y2 6z 4z2 4yz 2x 14y 22z 33 0为椭圆抛物面.解：

15、利用二次型理论化方程为标准方程，该曲面方程可写成：00 0 xxx y z 042 y 2 14 22 y 33024 zz或 xtAx bTx33,其中x0002xy,A042,b14z02422经计算得正交矩阵P0 11 使得 P 1AP弋2< 2PT AP diag 0,2,6 ,bTx bTP y2xz8 y12362Z带入曲面方程，得：2y2 6z2 2x 1236y 2Z33, 即 2 y2 22厂3c“6 z2 x 12 2再做坐标平移变换x x 1, y y22, Z3Z 2,原曲面方程化为了标准方程y 2 3z 2 x从标准方程可以看出二次曲面为椭圆抛物面同样，应用二次

16、型理论可以化简二次曲线一般方程为标准方程，从而确定二次曲线的形状，这里不再进展讨论四矩阵的秩在空间解析几何中的应用矩阵的秩是代数中的根底概念，将它的理论推广到解析几何中，会收 到很好的效果下面讨论矩阵的秩关于解析几何的几个定理与其应用5.定理1:两条直线aiX biy Gz d1 0a2x b2y c2z d20a3x bsy C3Z d30a4x b4y c4z d40b1C181b1C1d1矩阵a2b2C2和82b2C2d283baC383bsC3d3a4b4C484b4C4d4的秩分别是r和R,如此： 两条直线既不平行也不相交的充要条件是 r 3, R 4 ； 两条直线相交的充要条件是r

17、 R 3 ； 两条直线平行且相异的充要条件是r 2, R 3 ； 两条直线重合的充要条件是r R 2；定理 2:面1: a1x b|y c（z d1与平面 2: a2x dy c2z d2，设线性方程组aixa2xthy gz di b2yc2zd2（1）的系数矩阵为A，增广矩阵为A,如此 假如秩（人）=秩A 2，平面1与2相交于一条直线; 假如秩（A）=a a i，平面i与2重合； 假如秩（A） 1，但秩A =2,平面1与2平行证明：考虑线性方程组（1） 假如秩（A） 2，且秩（A）2，此时方程组（1）有解，设它的一个特解为0Xo, yo, zo，它的导出组（2）的系数矩阵A的秩为2,而未知

18、量有3个，因此方程组（2）有非零解，且 根底解系里解的个数为3 2 1个设（e,e2G），是导出组的一个根底解系，如此方程组1的全部解为r0 k（x0 kei，y0 ke2，z0 ke），其中k取遍全体实数.从解析几何知，当k取遍全体实数时，点rok(Xo kq,y。 ke2,zo ke)的轨迹是通过点ro （Xo，yo，z。）,且方向向量为 的一条直线，平面所以当秩 （A）2时，平面1与2相交于一条直线假如秩（A） 1，且秩(A)1此时方程组（1）有解,因为3,6,0© 与（a2,d,C2,d2）成比例，于是a b c d 1a1thC1d1所以方a2b2C2d 2oo oo程组（

19、1）的一般解为&XdyGz d1这就是平面1的方程，因此平面1与2，重合. 假如秩（A）1,但秩（A）2此时方程组（1）无解，即平面1与2没有公共点，所以1与2平行.由于知4,0不全为零，所以，因此只有上述三种情况 定理3 :三个平面:a1xb1yc1zd10a2xb2yc2zd20a3xb3yc3zd30设r和R分别疋矩阵a1 b1 c1a1b1c1 d1A a2 b2 c2 ,Ba2b2c2 d2a3b3c3a3b3c3d3的秩，如此：三个平面有唯一公共点的充要条件是 r 3 ； 三个平面两两相异且有唯一公共点的充要条件是 r R 2，且矩阵 A 的 任何两行不成比例； 三个平面两

20、两相交且每两个平面的交线平行于第三个平面的充要条件是r 2,R 3，且矩阵A的任何两行不成比例； 两个平面平行，第三个平面与它们相交的充要条件是 r 2,R 3，且A 的两行成比例； 三个平面相互平行的充要条件是r 1,R 2，B的任何两行不成比例； 两个平面重合，第三个平面与它们相交的充要条件是r R 2，且B的 两行成比例； 两个平面重合，第三个与它们平行的充要条件是 r 1,R 2，且B 的两行成比例； 三个平面重合的充要条件是 r R 1；例 ：证明如下两条直线互相平行：L1:x 2y z 72x y z 7与 L23x 6y 3z 82x y z 0证明：由定理1的只需证明r 2,R

21、 3.1211217令:2 112 117AB36336382112110121121051051A00000005 1000rAr21217121705120512B000130001305 1140000r B R 3，故由定理:1知，两条直线平行解析几何证明是:Si3,1,5S23 3 31 2,29, 3, 15故S2 3S1,即S1平行S2，亦即两条直线平行.从上面两种证法可以看出：采用矩阵的秩的有关结论证明平面与平面 的位置关系；直线与直线的位置关系是简单而方便的 .三、空间解析几何在线性代数中的应用一代数问题几何化意义线性代数中有许多概念是非常抽象的，以至于学生在学习时被概念所困

22、扰，因此可以用几何空间的例子化解学习线性代数时的困难.下面以向量空间为例来说明.在线性代数中所涉与到的向量空间是 Rn,理解n维向量空间的概念是较抽象的，其实它就是空间解析几何中R3的推广.而对于R3空间它有具体的几何意义，我们是熟悉的.这样把它推广到一般n维空间，我们就很容易承受了 学生理解了一般向量空间的概念后，就会知道 向量空间是一个非常广泛、非常抽象的概念，不仅Rn是n维向量空间，Rxn(次数不超过n的实系数多项式的集合)也是n维向量空间，不仅 有有限维向量空间,还有无限维向量空间,如V = f(x)| f为定义在a,b 的实函数也是向量空间，现代数学思想，对我们今后进一步学习和应用数

23、 学,都是非常有益的由于一般向量空间有着高度的抽象性，因此,我们在讨论这个概念与 有关理论时，强调几何空间例子的引导作用，从而化解对抽象概念的理解， 如：讨论一般向量空间定义时,用几何空间R1, R2, R3作为例子；在讨论子 空间定义时,用R1, R2是R3的子空间作为例子；在讨论向量的线性相关性 时,用两向量共线，三向量共面作为例子；在讨论向量空间基、维数、坐标 时,用几何空间的仿射坐标系作为例子；在讨论向量空间的任一基可通过 Schmidt正交化算法构造一个标准正交基时,也是利用几何空间R3中的三 向量(1,0,0),(2,2,0),(3,3,3),构造出一个标准正交基(1,0,0),(

24、0,1,0),(0,0,1)( 如图1),然后，合理的推出Schmidt正交化算 法.(3,3,3)V1(1,0,0), V2(2,2,0), V3ei (1,0,0)12 v(V2,ejeei v 严 ? i (0,2,0),(1, 1)2e2 (0,1,0),2(V3 , 1)(V3, 2)3 V3(V3,e1)(V2 , e2)e2 V3-)1-)2(0,0,3),(1,1) ( 2 , 2 )e3 (0,0,1)3通过以上代数与几何的整合，说明向量空间V作为一种代数结构，集合V的对象是抽象的，V上的加法与数乘两种运算有他们所满足的性质，即：加法公理和数乘公理，而向量空间的加法、数乘和基

25、都是以几何空间中 向量的加法、数乘与空间仿射坐标系为直觉图象开展起来的，使抽象有限维向量空间得到与几何空间仿射坐标系几乎同样的结构.n维空间Rn是像三维空间R3 一样具体的几何对象，可以在其中谈论超平面以与展开多 元微积分学，这是科学中一种普遍的思维方式.曾获诺贝尔物理学奖的日 本物理学家汤川秀树，描述过这种思维方式：“抽象不能单独起作用，在 几何富有成果的科学思维中，直觉和抽象交互为用不但某种本质性东西必须从我们丰富的而多少有点儿模糊的直觉图形中抽象出来，而且同样 的是，作为人类抽象能力的成果而建立起来的某一个概念也常常在时间的 进程中变成我们直觉图象的一局部从这种新建立起来的直觉，人们可以

26、 继续做出进一步的抽象.二几个线性代数概念的几何化解释1. 关于行列式的几何背景设(印孔忌),(b1 ,b2,b3),(cC2，C3)两个向量的向量积可以用行列式写为：i j ka1 a2 a3，它在几何上表示的是与,向量都垂直且成右手系d b2 b3的向量.三个向量的混合积可以用行列式ai a2 a3(,)()bi b2 b3Ci C2 C3表示为图1的平行六面体图1此行列式的几何解释是它的绝对值等于他们 3个向量为相邻棱所做的平行六面体的体积如图1ai a2 a3 bi b2 b3特别的，当（，）0时，由于平行六面体的体积为零所以共面.由此可得：过平面上两点（xyj，（x2,y2）的C1

27、C2 C3直线方程为：xy1x1y-i10X2y21再推广到空间中有不在同一直线上的三点(X%Z)(i 123)的平面方程为：x yz1xi yi乙1X2y2Z21X3讨3Z312. 关于正交变换的几何意义在二次型化为标准型时，可以米用可逆变换或正父变换但由于可逆变换对 2 2 2应于仿射坐标系的变换，所以区别比拟大例如：1;149通过可逆变换化成x2y 2 z21，即椭球面变成了球面x 1通过线性变换 y 2xy化成x2 y2 1，即椭球面变成了圆柱面.而正交变换保持向量长度和角度不变，因此几何图形不变所以在讨论 二次方程决定的图形时，必须用正交变换；如果只考虑它所属类型时，可 以用可逆变换

28、当然包括正交变换.还应注意正交变换中：当正交阵 的行列式表示为1时是旋转变换；当正交阵的行列式为-1时，为镜面 反射变换.3. 关于正交化的几何解释线性无关的向量组可以由schmidt正交化得到与其等价的正交组，它 的几何解释为，如果有三个线性无关的向量1， 2， 3如此可通过schmidt正交化得到相应的三个正交向量1， 2， 3这里1 1，222，333，其中2为2在1上的投影向量；3为3在1、2所确定的垂直投影向量.三两个线性代数问题的几何解释线性代数与几何严密相关，线性代数中许多问题都有形象的几何解 释，在线性代数教学中有效的融合几何背景，可以帮助学生更好的理解线 性代数中较为抽象的问

29、题.下面就线性代数中两个比拟抽象的问题详细的 给予几何解释.1.线性相关与线性无关线性代数中线性相关与线性无关的定义如下: 定义：给定向量组 A: 1, 2, , S，如果存在不全为零的数kjk?, ,ks，如此称向量组 A线性相关，否如此称为线性无关，即当且仅当k1 k2ks 0时，（1）式成立,向量组1, 2, s线性无关.线性相关、线性无关的定义给出之后，接着又给出了假如干判断线性相关的定理与推理，女口：当向量组中所含向量的 个数大于向量的维数时，此向量组必线性相关.在解析几何中，也有线性相 关和线性无关的定义，并有着形象的几何解释.两个向量线性相关的几何 意义是这两个向量共线；三个向量

30、线性相关的几何意义是这三个向量共 面，可以用来理解线性相关这个抽象的定义.三维欧式空间中任何四个或 四个以上向量总是线性相关的，可以用来理解向量组中所含向量的个数大 于向量的维数时，此向量组必线性相关.2.施密特正交化当向量空间中的基取做标准正交基时，可以通过向量的内积运算快速 求出某个向量在此基下的坐标，因此在给出向量空间的基时常常取标准正 交基.在实对称矩阵的对角化问题上，我们需要求正交矩阵使得实对称矩 阵对角化.这两方面的问题都需要对向量组正交化，而用到的方法即为施 密特正交化，具体过程如下：设1, r是向量空间V的一个基,22n211,11,32 ,3331,112 ,221,r2 ,

31、rrrr1,112 ,22 .r1 1 ；234r 1 5,r 1此处的要求是记忆并应用公式，但学生不理解这个公式是来的，此时可以 以三个向量为例，利用几何背景来形象的理解此公式： 2一 5式是 解析几何中将仿射标架变为直角标架的过程：(3)式中1, 12 32垂直于为2在1上的射影向量，因此 221，21垂1, 1(4)式中 31, 1直于2为3在1 ,2生成的平面上的射影向量,2 , 2因此 331，2，类推;(5)式中亠丄1, 1r r r 1可以理解为r在1，r 1, r 1r 1所生成平面的射影向量，nrr1,11r2)r22 ,2(6)垂直于 1, 2,.,r 1通过这种简单形象的几何解释，可以更好的记忆和理解这个公式.线性代数与解析几何的联系远远不止于此，解析几何除了可以为线 性代数中抽象问题提供几何直观外，线性代数也为解析几何提供了代数工 具，两者相互渗透，因此充分重视两者的结合教学是非常必要的.四线性代数中解析几