线性回归中的相关系数

1、线性回归中的相关系数山东 胡大波线性回归问题在生活中应用广泛，求解回归直线方程时，应该先判断两个变量是否是线性相关，若相关再求其直线方程， 判断两个变量有无相关关系的一种常用的简便方法是绘制 散点图；另外一种方法是量化的检验法，即相关系数法下面为同学们介绍相关系数法.一、关于相关系数法统计中常用相关系数 r来衡量两个变量之间的线性相关的强弱，当xi不全为零,yi也不全为零时，则两个变量的相关系数的计算公式是：n(xx)(yiy)i 1nn(Xi x)1 2(yiy)2i 1i 1Xi yi nx yi 1n2Xii 12nx2ny244929.22 ,xy 4475.6 , x 4462.24

2、 ,2y 4489,1044836.4 ,r就叫做变量y与x的相关系数(简称相关系数).说明：(1)对于相关系数r，首先值得注意的是它的符号，当r为正数时，表示变量 x,y正相关；当r为负数时，表示两个变量x, y负相关；(2)另外注意r的大小，如果r 0.751，那么正相关很强；如果 r 1, 0.75，那么负相关很强；如果r0.75, 0.30或r 0.30,0.75，那么相关性一般；如果r0.25,0.25,那么相关性较弱.下面我们就用相关系数法来分析身边的问题，确定两个变量是否相关，并且求出两个变量间的回归直线.二、典型例题剖析例1测得某国10对父子身高(单位：英寸)如下:父亲身高(x

3、)60626465666768707274儿子 身高(y)63。565.26665。566.967。167.468。370.170所以rXiYi nxyi i102Xii 1一2nxn2yi2ny44836.4 10 4475.6(4479444622.4)(44929.2244890)80.480.46730.15282.040.98 ,所以y与x之间具有线性相关关系.(2)设回归直线方程为 y a bx，则b10幼 10xyi 110 2x210xi 144836.4 4475644794 44622.40.4685，a y bx 67 0.4685 66.8 35.7042 .故所求的回

4、归直线方程为y 0.4685x35.7042 .(3) 当 x 73 英寸时，y 0.4685 73 35.7042 69.9047,所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为69.9英寸.点评：回归直线是对两个变量线性相关关系的定量描述，利用回归直线，可以对一些实际问题进行分析、预测，由一个变量的变化可以推测出另一个变量的变化这是此类问题常 见题型.例210名同学在高一和高二的数学成绩如下表：X74717268767367706574y76757170767965776272其中x为高一数学成绩，y为高二数学成绩.(1) y与x是否具有相关关系；(2) 如果y与x是相关关系，求回归直线方

5、程.解：(1)由已知表格中的数据，利用计算器进行计算得10Xii 110710, yi 1723 , x 71, y 72.3,10Xi yii 151467 .102Xi10250520, yi 52541.i 110102XiXi yii 110xy210x102yi210y5146771 72.3 100.78.、(50520 10 71 )(5254110 72.3 )由于r 0.78，由0.78 0.75知，有很大的把握认为 x与y之间具有线性相关关系.(2)y与x具有线性相关关系，设回归直线方程为y a bx，贝U10xy 10xyi 1102Xi_210x51467 10 71 72.350520 10 712a y bx 72.3 1.22 7114.32 .所以y关于x的回归直线方程为 y 1.22x 14.32 .点评：通过以上两例可以看出，回归方程在生活中应用广泛 要明确这类问题的计算公式、 解题步骤，并会通过计算确定两个变量是否具有相关关系.(1)对变量y与x进行相关性检验；(2)如果y与x之