微积分及其应用第二章习题解答

1、练习2.11 对于任意正数，分析当n（或x）满足什么条件时下列不等成立.（1）；（2）.解：（1）因若要，即只需就能满足条件。（2）若要只需.2设，求，.解 不存在。 不存在. 3指出下列函数在什么极限变量过程中是无穷小，在什么极限变量过程中是无穷大.（1）；（2）；（3）解：（1）易见故或时，函数为无穷小. 故时，函数为无穷大.（2）易见故，时函数为无穷小.（3）故时函数为无穷小.4说明当时不是无穷大.解 不是无穷大.易见令但是习题2.21计算下列函数在点处的左右极限与极限.解 由于 故 不存在.2计算下列极限.（1）； （2）；解 （1）由于对任意有故 又由于 故有（2）易见且 故3证明的

2、极限存在，并求.证明 先证明数列有界.用数学归纳法证明.当n=1时， 假设当n=k时结论成立，即则当n=k+1时，即证数列有界. 下证数列单调.用数学归纳法证明.当n=1时，由于则假设当n=k时结论成立，即则当n=k+1时，即证对所有的n数列都是单调的， 由单调有界数列必收敛，可知存在，不妨设为A.对两端求极限，可得即解方程得或（舍去），故习题2.31计算下列极限.（1）；（2）；（3）；（4）.解 （1）由于 故 （2） 由于 故 （3）由于 故 2计算下列极限.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9），其中；（10）.解 （1）由于是个有界量，故（2）由于（3

3、）（4） （5）（6）只需计算且由等价无穷小代换知当则 故 （7） （8）令则且故(9)由于故 （10） 3计算下列极限.（1） ；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；(7) .解 （1）当利用无穷小代换可知（2）当故 极限不存在.（3）当且则 （4） （5）当则（6）当则（7）当则4根据极限等式确定其中参数.（1），求A，k；（2），求a，b；（3）若，求a；（4）若，求a，b；（5），求a，b；（6），求a，b；（7），求a，b.解 （1） 则即再代入上式可得（2）由于所以即（3）由于 故 即 (4) 由于所以即故 （5）由于解得代入原式得 解得（6）由于.5 根据等价无穷小关系确定参

4、数.（1）当时，求a.（2）当时，求k.（3）当时，求.（4）当时，求k.解 （1）由于时，故(2) 当 (3) 当时, 故(4) 当时,故 习题2.41利用函数连续性确定参数.（1）在处连续，求A.（2）已知函数连续，求参数k.（3）在上连续，求a.（4）已知函数连续，求参数a,b.解 (1) 要使在处连续，则又由于从而(2) 由于是个分段函数，要使连续，只需证明在处连续，即又由于故 (3) 由于是个分段函数，要使连续，只需证明在处连续，即又由于故 (4) 由于是个分段函数，要使连续，只需证明在处连续，即又由于故 2寻找下列函数的可去间断点，并修改或补充间断点处函数值使其连续.（1）； （2

5、）；（3）；（4）.解 (1) 易见仅在处无定义，故为函数的间断点，且 则为可去间断点，故只需令，则在处连续.(2) 由于且由于在处极限不存在，故不是可去间断点；由于在处故是函数的可去间断点，可令即可使函数在处连续,由于在处极限不存在，故不是可去间断点.(3)由于，函数仅在处没有定义，且故只需令即可使函数在处连续.(4) 由于，函数仅在处没有定义，且故只需令即可使函数在处连续.3计算下列极限： （1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6）；（7）；解 (1) (2) 令则 则(3) (4) (5) (6) (7) 4 证明方程有非零根.证明，令易见在区间上连续，且则由根值存在定理可知存在

6、使得即证方程有非零根5 证明方程至少有一个正根.证明 令易见在区间上连续，且则由根值存在定理可知存在使得即证方程至少有一个正根.复习题二12已知，证明.证明：由于，即对任给的当时，有则对上面给定的当时，有即证.3设， 在极限过程下，当a,b为何值时为无穷小？a,b为何值时为无穷大？ 解 由于要使 当且仅当要使 当且仅当？4* 设，计算.5设，计算.解 由于，从而则且由夹逼准则可得6计算下列极限：（1）；（2）；(3)* ；(4)* ；（5）；（6）；（7）；（8）；(9)* ；（10）.解 (1) 由于对任意的都有,即时为有界量，(2) 由于对任意的都有为有界量，故(3) 由于对任意的都有为有

7、界量,则从而(4) (5) (6) 由于且当为有界量，则从而太难（7）由于极限是个型，由罗必塔法则可得（8） (9)* （10）由于极限是个型，由罗必塔法则可得7已知，求.解 由题意可得 从而可得8已知，求c.解 由于则9设，求.解 由可得当时则10讨论下列函数的连续性，若函数有间断点，指出间断点类型.（1）；（2）.解 （1）当时当时即 易见故是跳跃间断点，且故函数在时连续.解 （2）当时，当时，即 易见为函数的分段点，但则函数在时连续，故函数是个连续函数.11* 设在上连续，且.试证至少存在一点，使证明 令易见在上连续，并且则由连续函数的介值定理可得至少存在一点，使即12* 证明三次方程至少有一个实根.13证明方程至少有一个小于1的正根. 证明 令 易见在上连续，并且从而由连续函数