2017年__高中二年级立体几何垂直证明题常见模型和方法

1、 .wd.立体几何垂直证明题常见模型及方法垂直转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直； 根底篇类型一：线线垂直证明共面垂直、异面垂直（1） 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 只需要同学们掌握以下几种模型等腰等边三角形中的中线 菱形正方形的对角线互相垂直 勾股定理中的三角形1:1:2 的直角梯形中 利用相似或全等证明直角。例：在正方体中，O为底面ABCD的中心，E为,求证：（2） 异面垂直 利用线面垂直来证明，高考中的意图例1 在正四面体ABCD中，求证变式1 如图，在四棱锥中，底面是矩形，证明：；变式2 如图，在边长为的正方形中，点是的中点，点是的中点，将AED,DCF分别沿折起，使两点重

2、合于.求证:；类型二：线面垂直证明 方法 利用线面垂直的判断定理 例2：在正方体中，O为底面ABCD的中心，E为,求证：变式1：在正方体中，,求证：变式2：如图：直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=AA1=2，ACB=90°.E为BB1的中点，D点在AB上且DE=.求证：CD平面A1ABB1；DACOBE变式3：如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，求证：平面BCD；变式4 如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面，求证：平面 利用面面垂直的性质定理例3：在三棱锥P-ABC中，,，。方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。变式1, 在四棱锥，底面ABCD是正方形

3、，侧面PAB是等腰三角形，且,求证：变式2：类型3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直)ABCDEF 例1 如图，平面，平面，为等边三角形，为的中点.(1) 求证：平面；(2) 求证：平面平面；例2 如图，在四棱锥中，底面，是的中点1证明； 2证明平面；变式1直四棱柱ABCDABCD的底面是菱形，E、F分别是棱CC与BB上的点，且EC=BC=2FB=21求证：平面AEF平面AACC；举一反三1.设M表示平面，a、b表示直线，给出以下四个命题：bMbM.其中正确的命题是 ( )A. B. C. D.2.以下命题中正确的选项是 ( )A.假设一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直

4、于这个平面B.假设一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面C.假设一条直线平行于一个平面，那么垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.假设一条直线垂直于一个平面，那么垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如下图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把ADE、CDF和BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体PDEF中，必有 ( )第3题图A.DP平面PEF B.DM平面PEF C.PM平面DEF D.PF平面DEF4.设a、b是异面直线，以下命题正确的选项是 ( )A.过不在a、b上的一点P一定可以作

5、一条直线和a、b都相交B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直C.过a一定可以作一个平面与b垂直D.过a一定可以作一个平面与b平行5.如果直线l,m与平面,满足:l=,l,m和m,那么必有 ( )A.且lm B.且m C.m且lm D.且6.AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，假设BC=1,AC=2,PC=1，那么P到AB的距离为 ( )A.1 B.2 C. D.7.有三个命题：垂直于同一个平面的两条直线平行；过平面的一条斜线l有且仅有一个平面与垂直；异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直其中正确命题的个数为 ( )A.0 B.1 C.2 D

6、.38.d是异面直线a、b的公垂线，平面、满足a，b，那么下面正确的结论是 ( )A.与必相交且交线md或m与d重合B.与必相交且交线md但m与d不重合C.与必相交且交线m与d一定不平行D.与不一定相交9.设l、m为直线，为平面，且l，给出以下命题 假设m，那么ml；假设ml，那么m；假设m，那么ml；假设ml，那么m，其中真命题的序号是 ( )A. B. C. D.10.直线l平面，直线m平面，给出以下四个命题：假设，那么lm；假设，那么lm；假设lm，那么；假设lm，那么.其中正确的命题是 ( )A.与 B.与 C.与 D.与二、思维激活第12题图11.如下图，ABC是直角三角形，AB是斜

7、边，三个顶点在平面的同侧，它们在内的射影分别为A，B，C，如果ABC是正三角形，且AA3cm，BB5cm，CC4cm，那么ABC的面积是. 第11题图第13题图12.如下图,在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件时,有A1CB1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)13.如下图，在三棱锥VABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件时，有VCAB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)三、能力提高14.如下图,三棱锥V-ABC中,AH侧面VBC,且H是VBC的垂心，BE是VC边上的高.第14题图(1)求证:VCAB;(2)假设二面角EAB

8、C的大小为30°,求VC与平面ABC所成角的大小.15.如下图，PA矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.第15题图(1)求证：MN平面PAD.(2)求证：MNCD.(3)假设PDA45°，求证：MN平面PCD.16.如下图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，BAD60°，AB4，AD2，侧棱PB，PD.(1)求证：BD平面PAD. (2)假设PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角PBCA的大小.第16题图17.直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=90°,BAC=30°,BC=1，AA1=，M是CC

9、1的中点，求证：AB1A1M18.如下图，正方体ABCDABCD的棱长为a，M是AD的中点，N是BD上一点，且DNNB12，MC与BD交于P.(1)求证：NP平面ABCD. 第18题图(2)求平面PNC与平面CCDD所成的角.(3)求点C到平面DMB的距离.第4课线面垂直习题解答1.A 两平行中有一条与平面垂直，那么另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.2.C 由线面垂直的性质定理可知.3.A 折后DPPE,DPPF，PEPF.4.D 过a上任一点作直线bb,那么a，b确定的平面与直线b平行.5.A依题意,m且m,那么必有,又因为l=那么有l,而m那么lm,应选A.6.D过P作PD

10、AB于D，连CD，那么CDAB，AB=，PD=.7.D 由定理及性质知三个命题均正确.8.A 显然与不平行.9.D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，那么另一条也与该平面垂直.10.B ，l，lm11 2 设正三角ABC的边长为a.AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB=a2+4，又AC2+BC2=AB2，a2=2SABC=cm212.在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中当底面四边形ABCD满足条件ACBD(或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD是正方形，菱形等)时,有A1CB1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).点评：此题为探索性

11、题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考察了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.13.VCVA，VCAB. 由VCVA，VCAB知VC平面VAB.14.(1)证明:H为VBC的垂心,VCBE,又AH平面VBC,BE为斜线AB在平面VBC上的射影,ABVC.(2)解:由(1)知VCAB,VCBE,VC平面ABE,在平面ABE上,作EDAB,又ABVC,AB面DEC.ABCD,EDC为二面角EABC的平面角，EDC=30°,AB平面VCD,VC在底面ABC上的射影为CD.VCD为VC与底面ABC所成角,又VCAB,VCBE,VC面ABE,VCDE,CED=90°

12、;,故ECD=60°,VC与面ABC所成角为60°.15.证明：(1)如下图，取PD的中点E，连结AE，EN，那么有ENCDABAM，ENCDABAM，故AMNE为平行四边形.MNAE.第15题图解AE平面PAD，MN平面PAD，MN平面PAD.(2)PA平面ABCD，PAAB.又ADAB，AB平面PAD.ABAE，即ABMN.又CDAB，MNCD.(3)PA平面ABCD，PAAD.又PDA45°，E为PD的中点.AEPD，即MNPD.又MNCD，MN平面PCD.16.如图(1)证：由AB4，AD，BAD60°，第16题图解故BD2AD2+AB2-2AD

13、·ABcos60°4+16-2×2×4×12.又AB2AD2+BD2，ABD是直角三角形，ADB90°，即ADBD.在PDB中，PD，PB，BD，PB2PD2+BD2，故得PDBD.又PDADD，BD平面PAD.(2)由BD平面PAD，BD平面ABCD.平面PAD平面ABCD.作PEAD于E，又PE平面PAD，PE平面ABCD，PDE是PD与底面ABCD所成的角.PDE60°，PEPDsin60°.作EFBC于F，连PF，那么PFBF，PFE是二面角PBCA的平面角.又EFBD，在RtPEF中，tanPFE.故二面

14、角PBCA的大小为arctan.17.连结AC1，.RtACC1RtMC1A1，AC1C=MA1C1，A1MC1+AC1C=A1MC1+MA1C1=90°.A1MAC1,又ABC-A1B1C1为直三棱柱，CC1B1C1，又B1C1A1C1，B1C1平面AC1M.由三垂线定理知AB1A1M. 点评：要证AB1A1M，因B1C1平面AC1，由三垂线定理可转化成证AC1A1M，而AC1A1M一定会成立18.(1)证明：在正方形ABCD中，MPDCPB，且MDBC，DPPBMDBC12.又DNNB12，由平行截割定理的逆定理得NPDD，又DD平面ABCD，NP平面ABCD.(2)NPDDCC

15、，NP、CC在同一平面内，CC为平面NPC与平面CCDD所成二面角的棱.又由CC平面ABCD，得CCCD，CCCM，MCD为该二面角的平面角.在RtMCD中可知MCDarctan，即为所求二面角的大小.(3)由棱长为a可得，等腰MBC面积S1，等腰MBD面积S2，设所求距离为h，即为三棱锥CDMB的高.三棱锥DBCM体积为，空间中的计算 根底技能篇类型一：点到面的距离 方法1：直接法把点在面上的射影查出来，然后在直角三角形中计算例1：在正四面体ABCD中，边长为a，求点A到面BCD的距离。 变式1 在正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD边长为a,侧棱长为b.求顶点V到底面ABCD的距离。变式2

16、在正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD边长为a,侧棱长为b.求顶点A到底面VCD的距离。方法2：等体积法求距离-在同一个三棱锥中利用体积不变原理，通过转换不同的底和高来到达目的。例2 在三棱锥VABC中，VA,VB,VC两两垂直，VA=VB=3，VC=4，求点V到面ABC的距离。变式1：如下图的多面体是由底面为的长方体被截面所截而得到的，其中 1求的长；2求点到平面的距离 _A_B_D_C_O变式2 如图，在四棱锥中，底面ABCD是四边长为1的菱形，, 面, ,求点B到平面OCD的距离变式3在正四面体ABCD中，边长为a，求它的内切求的半径。类型二：其它种类的距离的计算点到线，点到点 例3 如

17、图，在四棱锥中，底面ABCD是四边长为1的菱形，, 面, ,M为OC的中点，求AM和点A到直线OC的距离_A_B_D_C_O举一反三1正三棱锥P-ABC高为2，侧棱与底面所成角为，那么点 到侧面的距离是A B C6 D2如图，正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为A10 B20 C30 D40二、填空题：3太阳光照射高为m的竹竿时，它在水平地面上的射影为1m，同时，照射地面上一圆球时，如下图，其影子的长度AB等于cm,那么该球的体积为_4假设一个正三棱柱的三视图如以下图所示，那么这个正三棱柱的高和底面边长分别为_主视图俯视图2 左视图三、解答题：5正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN2C1N求点B1到平面AMN的距离6一个多面体的直观图及三视图如下图：其中M、N分别是AF、BC的中点.1求证：MN平面CDEF； 2求多面体ACDEF的体积7一个多面体的直观图和三视图如下图，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点.1求证：2当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP/平面FMC,并给出证明SBCFDAEO8如图，正四棱锥,设为的中点，为的中点，为边上的点1求证：平面；2试确定点的位置，使得平面底面BAACAC1AB1AA