理论力学虚位移原理

1、虚位移原理虚位移原理虚位移原理虚位移原理建立独立于牛顿力学体系的质点系平衡条件。牛顿力学体系矢量力学。矢量力学。描述的力学量都用矢量表示 如：矢径，速度，加速度，角速度， 角加速度，力，力偶等。分析力学体系标量力学标量力学。描述的物理量为标量。如广义坐标， 能量，功等。 虚位移原理以分析力学为基础，建立系统平衡的充要条件，比牛顿力学建立的平衡条件具有更广泛的意义。 本章仅仅阐述虚位移原理在求解静力平衡问题静力平衡问题中的应用。事实上，虚位移原理建立的平衡准则还应用于动力学建立质点系统运动与受力的关系、固体力学中物体变形的分析等。质点系的位形、约束方程及分类质点系的位形、约束方程及分类 质点系中

2、全部质点空间位置的坐标描述，称为该质质点系中全部质点空间位置的坐标描述，称为该质点系的位形。点系的位形。 质点系的位形可以由直角参考坐标系统确定，质点系的位形可以由直角参考坐标系统确定，也可以由与质点系也可以由与质点系自由度自由度对应的对应的广义坐标确定。广义坐标确定。虚位移原理用于建立虚位移原理用于建立约束系统约束系统的平衡条件的平衡条件XYOABxAyA平面一般运动，3自由度，广义坐标：,AAyx定轴转动，单自由度，广义坐标：xByB对物体运动的限制称为约束对物体运动的限制称为约束。用数学方程表示，称为约束方程约束方程。约束与约束方程约束与约束方程y滑块滑道质点被限制在某曲面上运动，约束方

3、程为该曲面方程0),(zyxf0y约束方程约束方程Byx),(txfv 滑块 B 的约束方程vx 当v=C（常数）时，约束方程Cx 或ACtx当v=0时，约束方程0 x 或Ax 当v=f（x，t）不可积分函数时，约束方程),(txfx 约束的分类约束的分类几何约束几何约束：只限制质点的几何位置的约束。运动约束运动约束：约束方程包含质点坐标（对时间）的导数。定常约束定常约束：约束条件与时间无关，即约束方程中不显含时间t。非定常约束非定常约束：约束条件与时间有关，即约束方程中显含时间t。完整约束完整约束：包括几何约束和可化成几何约束的运动约束。非完整约束非完整约束：不可化成几何约束的运动约束。理想

4、约束理想约束：约束力做功恒等于零的约束。：约束力做功恒等于零的约束。自由度和广义坐标自由度和广义坐标自由度：描述在几何约束条件下质点系位形的独立参变量的个数。对于n个自由质点组成的质点系，可用3n个直角坐标（xi ，yi，zi）i=1，2，3n，描述每一个质点所在的位置称为质点系的位形。整个系统有3n个自由度。对于n个质点组成的非自由质点系，设其有S个约束方程，表明描述质点系位形的3n个直角坐标不独立。这时，可以选取独立的k个参数表示质点系的位形，而Snk3kqqq21,设为描述系统位形的独立参数，称为广义坐标。广义坐标。XYZ),(111zyx),(222zyx两个质点组成质点系两个质点组成

5、质点系约束方程约束方程2221221221)()()(lzzyyxx自由度数自由度数5123k广义坐标，取广义坐标，取,111zyx一般地，具有一般地，具有n个质点的系统中每一个质点用矢径表示为个质点的系统中每一个质点用矢径表示为),(21kqqqiirr ni, 2 , 1表示每个质点的直角坐标表示每个质点的直角坐标),(21kqqqxxii),(21kqqqyyii),(21kqqqzzii注意，一般情况下，广义坐标是时间注意，一般情况下，广义坐标是时间 t t 的函数。的函数。kqqq,21其中其中即为选定的即为选定的k个广义坐标个广义坐标约束方程2121211:lyxM01z22221

6、2212)()( :lyyxxM02z系统自由度2423kXY),(1111zyxM),(2222zyxM12取广义坐标21,质点的直角坐标:111111sincoslylx)sin(sin)cos(cos212112212112llyllx实位移与虚位移实位移与虚位移实位移：质点系发生的为约束允许的真实位移。实位移：质点系发生的为约束允许的真实位移。设一个具有k个自由度的，由n个质点组成的的质点系统，每一个质点由矢径 ri 表示其位置，而ri可以用广义坐标表示如下：),(21tqqqkiirr ni, 2 , 1 在t时刻，外力作用下，经历无限小时间间隔t 质点系中每一个质点产生微小位移dr

7、i（i=1，2，n）。显然，表示系统位形的广义坐标也将产生一组微小增量 dqj （j=1，2，k）。 称为系统广义实位移系统广义实位移。满足条件dtddqqdjkjjiiirrr1ni, 2 , 1（1）（2） 位移满足位移满足约束条件约束条件和和初始条件初始条件虚位移：在实位移概念的基础上，不考虑主动力的作用（产生位虚位移：在实位移概念的基础上，不考虑主动力的作用（产生位移的动力）和初始条件，仅仅满足移的动力）和初始条件，仅仅满足约束条件约束条件的位移。的位移。与实位移的物理意义比较，虚位移是一种假设的、可能产生的位移。两者的共同点是：在一定的条件下（定常、完整约束）在一定的条件下（定常、完

8、整约束）实位移必是虚位移中的一组。实位移必是虚位移中的一组。虚位移与时间无关，对应k个自由度的质点系统，质点位置矢径),(21kqqqiirr ni, 2 , 1虚位移表示如下：jkjjqq1iirrni, 2 , 1显然，虚位移与时间无关。确定系统中质点间虚位移的关系确定系统中质点间虚位移的关系 如前所述，具有k个自由度的，由n个质点组成的质点系统，质点间的位置关系不是完全独立的，因此，每一个质点的虚位移并不完全独立。把每一个质点的虚位移用独立的广义坐标表示，分析中通常需要建立非独立的质点虚位移之间的关系建立非独立的质点虚位移之间的关系，方法如下：1、虚速度法虚速度法：方法等同于“平面运动刚

9、体上两点间的速度关系平面运动刚体上两点间的速度关系”。把“点的虚位移”视为“点的速度”，应用“基点法”、“速度投影定理”和“速度瞬心法”以及“复合运动速度关系”，确定两点间的虚位移关系。2、解析法解析法：在固定参考系中，将确定点的位置的直角坐标表示为选定的独立广义坐标的函数，对其求变分变分。ABCDE试确定D、B、E、C点虚位移与广义坐标 的关系。设AD=DB=BE=EC=lABCDE解：系统是单自由度，取为广义坐标。1、解析法XYsincoslylxDDsin2cos2lylxBBsinsinsin2cos3coscos2lllylllxEE0cos4cos2cos2CCylllx由于AB=

10、BC建立图示坐标系统sincoslylxDDsinsinsin2cos3coscos2lllylllxEE0cos4cos2cos2CCylllx求变分cossinlylxDDsin2cos2lylxBBcos2sin2lylxBBcos3sin3lylxEE0sin4CCylx负号表示角增加时，虚位移方向与坐标方向相反。各点虚位移关系，如D点虚位移与C点虚位移的关系cossinlylxDD0sin4CCylxCDxx41CDxycot41ABCDEXY（2）虚速度法DrBrABCDECrlrDlrB2速度投影定理cos)22cos(CBrrsin2cos2sinBBCrrr各点虚位移方向如图

11、2BDrrsinrrDC460OABO1CO2EAB=BC=AC=O1B=O2C=OA=a,求：此瞬时OE的虚位移与O1B虚位移之间的关系。OEBO1OEBO160OABO1CO2EpBrCrAreArrArarBBO1虚速度法：根据约束，确定Br，Cr方向如图于是刚体ABC的速度瞬心在 p 点。确定Ar的方向如图注意rAeAArrrareAOE各虚位移间关系3BArrOEAeAarr2OEBO321力和功力和功元功和有限功元功rFdWd有限功ABdWrFkjiFzyxFFFkjirdzdydxddzFdyFdxFdWdzyxrFABzyxdzFdyFdxFW)(rrd微分加微分加“ ”表示逆

12、过程在某些表示逆过程在某些情况（如耗散系统）中不成立。情况（如耗散系统）中不成立。XYZrFABrd特殊力系做功的计算1、汇交力系合力做功iRFF合力主矢 iABABABRWdddWrFrFrFii合力在有限路径做功等于分力在有限路径上做功之和合力在有限路径做功等于分力在有限路径上做功之和2、内力做功内力的特点：成对出现，大小相等，方向相反M1M2XYZF12F21r1r2r12设两个质点M1， M2 相互作用力F12 ，F211212FF则有元功2211rFrF12ddWd2)()(11221122112rFrrFrrFdddd当 M1 与 M2 间距不变时，即 r12 等于常数0Wd刚体内

13、的两点刚体内的两点当 M1 与 M2 间距改变时，即 r12 不等于常数0Wd变形体内的两点变形体内的两点3、弹性力做功l0 弹簧原长k 弹簧刚度系数0ll 定义弹簧变形量lllklF1)(0弹性恢复力1FF2 上式表明，弹性恢复力的方向总与变形方向相反。l0l0l1l0l2F1F2r1r2l12弹性力大小kFe弹性力方向与变形方向相反与变形方向相反l0l Fel0l Fe弹性恢复力做功弹性恢复力做功dlllkWd)(0或dklldllkWd)()(00有限功)(21222121kdkW1rrl2lFrrFrFrF1111ddddWd)(1222dlld lllldlllkWd1)(0l0l0

14、l1l0l2F1F2r1r2l12lllklF1)(0弹性恢复力1FF24、约束力做功光滑平面约束，柔绳约束Ndr由于约束力作用线与位移方向由于约束力作用线与位移方向恒垂直，因此做功恒等于零。恒垂直，因此做功恒等于零。光滑铰链约束固定铰约束点处位移恒等于零，因此做功恒等于零；固定铰约束点处位移恒等于零，因此做功恒等于零；活动铰可移动方向约束力恒垂直，因此做功恒等于零。活动铰可移动方向约束力恒垂直，因此做功恒等于零。中间铰处约束力做功恒等于零自行分析凡是约束反力做功恒等于零的约束称为凡是约束反力做功恒等于零的约束称为理想约束理想约束有势力做功有势力做功 有势力的大小和方向是位置的单值函数。如重力

15、重力，弹性力弹性力，万有引力万有引力等都是有势力。有势力有势力做功仅与力作用的起止位置有关而与移动路径无关。有势力的作用空间称为有势力场有势力场重力：gGmz )(弹性力：lllklF1)(0有势力作用的质点位置的改变将引起有势力做功称为势能函数。势能函数。),(),(0),(zyxAzyxAdzyxVrF质点所处的空间位置),(zyxA),(0zyxA选定的参考位置（势能零点）重力势能函数重力势能函数：GzzGWzzmgzzmgmgdzV)()(000弹性势能函数：弹性势能函数：)(21202kWVEE有势力做功等于负势能函数。有势力做功等于负势能函数。当取弹簧原长为势能零点时当取弹簧原长为

16、势能零点时221kWVEE物理意义是：有势力做正功时系统势能减少；有势力做负功时系统势能增加。平面运动刚体上力系做功平面运动刚体上力系做功平面运动刚体上作用力系Fi (i=1,2,n)设Fi 的作用点Di ,其元功为iDirFdWdi以刚体上一点A为基点,则有iADArvvvvADADii于是dddtdiAD)(iiADAADrkrrvrddddWdiii)()(iiADAADAirkFrFrkrFdmdddAiii)()(iAADAFrFkFrrFidmdWdAii)(iAFrFxyDiAdAdriDrdAdiDrAdrFidmdWdAii)(iAFrF力系Fi (i=1,2,n)的元功dm

17、dWdWdniAniinii111)()(iAFrF其中nii1FFR力系的主矢niAAmM1)(iF力系对A点的主矩dMdWdAARrF平面运动刚体上力系的元功当选A点为速度瞬心速度瞬心 p 时dMWdp作用于平面运动刚体上力系的有限功为dMdWAlARrF注意：对于有限功dMWp一般不成立特殊情况：特殊情况：平动刚体平动刚体ARrFdWd定轴转动刚体定轴转动刚体（设设A为转动轴）dMWdA实功与虚功实功与虚功实功实功（广义）力在（广义）实位移上做功（广义）力在（广义）实位移上做功。当力系在自身引起的实位移上做功时，实功恒为正值。当力系在非自身引起的实位移上做功时，实功可为正值，也可为负值。

18、虚功虚功（广义）力在（广义）虚位移上做功广义）力在（广义）虚位移上做功。做虚功的力与位移可以毫不相关，所以虚功可以为正值，也可以为负值。虚功表示Wd对应表示实元功W表示虚元功虚功的计算与实元功相同。有限虚功没有意义，一般不考虑。虚功的计算与实元功相同。有限虚功没有意义，一般不考虑。匀质圆盘重P，半径R，其轮心与一弹簧相连。弹簧刚度系数为k初始长度为l0 。系统在常力偶M0 作用下，在倾角为的斜面上保持平衡，求：系统虚元功。M0Pl0l解：解： 系统为单自由度，选取圆盘转角为广义坐标。圆盘受力分析如图，给圆盘一个微小的虚位移PM0FeNF与各力对应的虚功为（1）sinlPWP（2）0MWMlll

19、kWeF)(0（3）（4）0NW理想约束理想约束纯滚动圆盘摩擦力做功等于零纯滚动圆盘摩擦力做功等于零ls（5）sRRFWF0 FvdtM0Pl0l建立虚位移 ， l 之间的关系Rl sinPRWP0MWMRllkWeF)(0于是系统总虚功)sin(0RkPRMWWi其中0ll 虚位移原理（虚功原理）虚位移原理（虚功原理） 具有定常、完整、理想约束的质点系，保持静止平衡的充分具有定常、完整、理想约束的质点系，保持静止平衡的充分必要条件是：必要条件是：作用于质点系的主动力在平衡位置附近的虚位移上作用于质点系的主动力在平衡位置附近的虚位移上所做的虚功之和等于零所做的虚功之和等于零。011niinii

20、WWirF 与牛顿力学不同之处在于，虚位移原理给出质点系统（包括刚体系统）保持平衡的充分必要条件。虚位移原理在求解静力学平衡问题中的应用虚位移原理在求解静力学平衡问题中的应用mgmgMAB圆盘半径R，AB杆长l ，杆与墙面光滑接触，圆盘做纯滚动。在杆处于水平位置时保持平衡。求：所加力偶 M 的大小。mgmgMABC解：各主动力作用点的虚位移如图pBr12Ar虚功11MW BrmgWsin2CrCmWrg32232cos2)290sin(2lmglmgWmgABCpArBr2CrmgmgMABCpBr12ArCr虚位移之间的关系代入虚功方程1RrB2sin lrB12sinlR11MW 12si

21、nmgRW113sin22cossin2cos2RmglRlmgW1)sin22cossin(RmgmgRMWi系统虚元功系统虚元功虚位移原理0)sin22cossin(1RmgmgRMWi0sin22cossinRmgmgRM得于是)sin22cos(sin mgRMmgmgMABCpBr12ArCr设：AE=AB=l ，DB=CE=2l ，初始位置角度为0 ，E点只能沿Y轴运动，弹簧刚度系数为k， 当= 0时，弹簧为原长。求：保持平衡状态时P、Q与的关系。ABCDEXYPQXYABCDEPQ解：应用解析法A点纵坐标：sin3lyAB点横坐标：cos2lxBC点横坐标：cos2lxC求变分（

22、给一个虚位移）cos3lyAsin2lxBsin2lxCAyBxCx求虚功求虚功ABCDEXYPQAyBxCxcos31lPyPWAcos3lyAsin2lxBsin2lxC弹性力虚功，设0)cos(cos20lkkFe方向如图FeFesin)cos(cos4022klWsin23lQxQWC03)(4202coslPsincoscosklsinlQ虚位移原理0iW0321WWW)cos(cos2cot230lkPQ已知:OA=AB=l ,C为AB中点, 弹簧OB的刚度系数为k 。AB上作用主动力偶M和主动力F, 方向垂直向上, 作用点C ，不计杆件自重。设系统在图示位置处于平衡状态, 求弹簧

23、变形量。30MFOABC解:系统单自由度,其中AB作平面一般运动,p为速度瞬心30MFOABCArBrCrp以AB杆转动角为广义坐标,写出M, F和Fe 所做的虚功:MW130cos22lFWFrC30sin23lkWeBrF虚位移原理:0iW0)43(lkFlMklMFl 43虚位移原理用于求解约束反力虚位移原理用于求解约束反力aaaPbMABCD试求图示结构A截面的约束反力。aaaPbMABCDFAxFAyMA解：解：A截面约束反力如图。结构自由度为零，为求解约束反力，逐个解除对应约束反力的约束。FAxaaaPbMABCD求解FAx 解除对应约束后，给一个与FAx 对应的虚位移AxrAxr

24、DrBrCr各点虚位移ADCBrrrr系统虚功0BrPBW0MWM0AAxirFW0AxFaaaPbMABCDFAyp解除对应FAy 的约束，给一个与之对应的虚位移AyrAyrCrBrDrDC对应各力虚功AAyArFWBBrPWarMMWCMCBArrr注意各点虚位移之间的关系虚功方程0)(AAyraMPFaMPFAy解除与MA 对应的约束，各点虚位移如图 aaaPbMABCDMAACrBrDrDC虚功方程0DCBAAMrPM)23(MPaMA0)23(AAMPaM即ABar3AACDCaaar22虚位移间的关系应用虚位移原理求解静力学平衡问题分析过程应用虚位移原理求解静力学平衡问题分析过程1

25、）确定系统自由度数，选定与之对应的广义坐标。确定系统自由度数，选定与之对应的广义坐标。 若求解约束力（这时系统自由度数为零），则放松与之对应的约束，代之以约束力并将其视为主动力。3）给广义坐标一个虚位移给广义坐标一个虚位移 qj，建立与（广义）主动力对，建立与（广义）主动力对应的（广义）虚位移应的（广义）虚位移 rp 和和 qj 的关系的关系。4）求（广义）主动力在对应的（广义）虚位移求（广义）主动力在对应的（广义）虚位移 rp 上做的上做的虚功。虚功。5）建立系统虚功方程。建立系统虚功方程。2）分析系统中每一个刚体（约束许可）的运动状态。分析系统中每一个刚体（约束许可）的运动状态。PABCD

26、EKaaaa求图示结构C截面的约束反力PABCDEKaaaaXC解：1）求C截面水平约束力放松C截面水平方向约束，代之以约束力XCPABCDEKaaaarCrB给C截面水平方向一个虚位移rCB点虚位移rB方向如图B点为CB杆速度瞬心，即rB = 0于是D点虚位移rD方向如图rDAB杆不动，DK杆E点虚位移rE方向如图rEC为DK杆速度瞬心， DK杆角位移DKDKararCDDK2虚功方程02CCDKrXaP)(PXC即Kr2CDrr大小PABCDEKaaaaYC求C截面垂直约束力YC放松C截面垂直方向约束，代之以约束力YCA点为CB杆速度瞬心，于是D点虚位移rD方向如图另一方面，由基点法DDE

27、ErrrCBAE给C截面垂直方向一个虚位移rCB点虚位移rB方向如图，CBAB？CBADDDreEEErrrr于是PABCDEKaaaaCBABrB rCeErrErrEDrD注意：21tan52tan11cos251tan1tansin25522aaAD2aAE E点虚位移reEEErrr（AB建动系，DK杆上E为动点）CBeEar2CBDar5DDreEEErrrreEDEDrrrcos45cos向轴投影：解出：CBDeEEDaarrr)cos102()cos(25223)sin(cos22)45cos(cos注意：CBEDar得：于是CBKDar2rEreErAPKrEDDEDECBKDrrD45虚功方程CBCCCYaYrYWC20PYWWWC0CYCBCar2cosDKDKyrrrPABCDEKaaaa rCCBYCrKyKDrrD)cos(DKDKyPrrPrPW0)5252(CBaaPCBDar5CBKDar2有势力场中质点系的平衡条件和平