第一篇 第2练

1、第2练复数与平面向量明晰考情1.命题角度：复数的四那么运算和几何意义；以平面图形为背景 ,考查平面向量的线性运算、平面向量的数量积.2.题目难度：复数题目为低档难度 ,平面向量题目为中低档难度.考点一复数的概念与四那么运算要点重组(1)复数：形如abi(a ,bR)的数叫做复数 ,其中a ,b分别是它的实部和虚部 ,i为虚数单位.假设b0 ,那么abi为实数；假设b0 ,那么abi为虚数；假设a0且b0 ,那么abi为纯虚数.(2)复数相等：abicdiac且bd(a ,b ,c ,dR).(3)共轭复数：abi与cdi共轭ac ,bd(a ,b ,c ,dR).(4)复数的模：向量的模r叫做

2、复数zabi(a ,bR)的模 ,记作|z|或|abi| ,即|z|abi|r(r0 ,rR).(5)复数的四那么运算类似于多项式的四那么运算 ,复数除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数.1.(2019·全国)等于()A.i B.iC.i D.i答案D解析i.应选D.2.a ,bR ,i是虚数单位.假设ai与2bi互为共轭复数 ,那么(abi)2等于()A.54i B.54iC.34i D.34i答案D解析由得a2 ,b1 ,即abi2i ,(abi)2(2i)234i.应选D.3.i是虚数单位 ,a ,bR ,那么“ab1是“(abi)22i的()A.充分不必要条件 B.必要不充

3、分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A解析当ab1时 ,(abi)2(1i)22i ,反过来(abi)2a2b22abi2i ,那么a2b20,2ab2 ,解得a1 ,b1或a1 ,b1.故“ab1是“(abi)22i的充分不必要条件 ,应选A.4.复数z(12i)(3i) ,其中i为虚数单位 ,那么z的实部是_.答案5解析z(12i)(3i)55i.故z的实部为5.考点二 复数的几何意义要点重组(1)复数zabi复平面内的点Z(a ,b)(a ,bR).(2)复数zabi(a ,bR)平面向量.5.设aR ,假设(13i)(1ai)R(i是虚数单位) ,那么a等于()A.3 B.

4、3 C. D.答案B解析(13i)(1ai)1ai3i3a ,(13i)(1ai)R ,虚部为0 ,那么a30 ,a3.6.(2019·株洲质检)设复数z满足(1i)zi ,那么|z|等于()A. B.C. D.2答案A解析由(1i)zi ,得zi ,|z|.7.如图 ,在复平面内 ,复数z1 ,z2对应的向量分别是 , ,那么|z1z2|_.答案2解析由题意知 ,z12i ,z2i ,z1z22 ,|z1z2|2.8.复数z ,那么复数z在复平面内对应的点位于第_象限.答案二解析因为i4nkik(nZ) ,且ii2i3i40 ,所以ii2i3i2 019ii2i3i1i1 ,所以z

5、(1i)i ,对应的点为 ,在第二象限.考点三 平面向量的线性运算方法技巧(1)向量加法的平行四边形法那么：共起点；三角形法那么：首尾相连；向量减法的三角形法那么：共起点连终点 ,指向被减.(2)O为平面上任意一点 ,那么A ,B ,C三点共线的充要条件是存在s ,t ,使得st ,且st1 ,s ,tR.(3)证明三点共线问题 ,可转化为向量共线解决.9.(2019·全国)在ABC中 ,AD为BC边上的中线 ,E为AD的中点 ,那么等于()A. B.C. D.答案A解析作出示意图如下图.×()().应选A.10.如图 ,在ABC中 ,N是AC边上一点 ,且 ,P是BN上的

6、一点 ,假设m ,那么实数m的值为()A. B. C.1 D.3答案B解析 , ,mm.又B ,N ,P三点共线 ,m1 ,m.11.如图 ,在正方形ABCD中 ,M ,N分别是BC ,CD的中点 ,假设 ,那么等于()A.2 B.C. D.答案D解析方法一如图以AB ,AD为坐标轴建立平面直角坐标系 ,设正方形边长为1 , , ,(1,1). ,解得故.方法二以 ,作为基底 ,M ,N分别为BC ,CD的中点 , , , ,又 ,因此解得所以.12.假设|a|1 ,|b| ,且|a2b| ,那么向量a与向量b夹角的大小是_.答案解析由|a2b| ,得|a|24a·b4|b|27 ,

7、14a·b4×37 ,a·b.cosa ,b ,又0a ,b ,a ,b.考点四平面向量的数量积方法技巧(1)向量数量积的求法：定义法 ,几何法(利用数量积的几何意义) ,坐标法.(2)向量运算的两种根本方法：基向量法 ,坐标法.13.向量a(1,2) ,b(1,0) ,c(3,4) ,假设为实数 ,(ba)c ,那么的值为()A. B.C. D.答案A解析ba(1,0)(1,2)(1 ,2) ,又c(3,4) ,且(ba)c ,所以(ba)·c0 ,即3(1)2×43380 ,解得.14.(2019·全国)ABC是边长为2的等边三角

8、形 ,P为平面ABC内一点 ,那么·()的最小值是()A.2 B.C. D.1答案B解析方法一(解析法)建立坐标系如图所示 ,那么A ,B ,C三点的坐标分别为A(0 ,) ,B(1 ,0) ,C(1,0).图设P点的坐标为(x ,y) ,那么P(x ,y) ,(1x ,y) ,(1x ,y) ,·()(x ,y)·(2x ,2y)2(x2y2y)22×.当且仅当x0 ,y时 ,·()取得最小值 ,最小值为.应选B.方法二(几何法)如图所示 ,2(D为BC的中点) ,那么·()2·.图要使·最小 ,那么与方向相反

9、,即点P在线段AD上 ,那么(2·)min2| ,问题转化为求|的最大值.又当点P在线段AD上时 ,|2× ,|22 ,·()min(2·)min2×.应选B.15.(2019·全国)向量 , ,那么ABC等于()A.30° B.45° C.60° D.120°答案A解析|1 ,|1 ,cosABC.又0°ABC180° ,ABC30°.16.在平面内 ,···6 ,动点P ,M满足|2 , ,那么|2的最大值是_.答案16解析由易得A

10、BC是等边三角形且边长为2.设O是ABC的中心 ,那么|2.以O为原点 ,直线OA为x轴建立平面直角坐标系 ,如下图 ,那么A(2,0) ,B(1 ,) ,C(1 ,).设P(x ,y) ,由|2 ,得(x2)2y24. ,M , ,|2 ,它表示圆(x2)2y24上的点P(x ,y)与点D(1 ,3)的距离的平方的 ,|max228 ,|16.1.(2019·全国)设有下面四个命题：p1：假设复数z满足R ,那么zR；p2：假设复数z满足z2R ,那么zR；p3：假设复数z1 ,z2满足z1z2R ,那么z12；p4：假设复数zR ,那么R.其中的真命题为()A.p1 ,p3 B.

11、p1 ,p4 C.p2 ,p3 D.p2 ,p4答案B解析设zabi(a ,bR) ,z1a1b1i(a1 ,b1R) ,z2a2b2i(a2 ,b2R).对于p1 ,假设R ,即R ,那么b0 ,即zabiaR ,所以p1为真命题；对于p2 ,假设z2R ,即(abi)2a22abib2R ,那么ab0.当a0 ,b0时 ,zabibiR ,所以p2为假命题；对于p3 ,假设z1z2R ,即(a1b1i)(a2b2i)(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)iR ,那么a1b2a2b10.而z12 ,即a1b1ia2b2ia1a2 ,b1b2.因为a1b2a2b10D/a1a2 ,b1b2

12、,所以p3为假命题；对于p4 ,假设zR ,即abiR ,那么b0abiaR ,所以p4为真命题.应选B.2.在ABC中 ,有如下命题 ,其中正确的选项是_.(填序号)；0；假设()·()0 ,那么ABC为等腰三角形；假设·>0 ,那么ABC为锐角三角形.答案解析在ABC中 , ,错误；假设·>0 ,那么B是钝角 ,ABC是钝角三角形 ,错误.3.向量a(1,2) ,b(1,1) ,且a与ab的夹角为锐角 ,那么实数的取值范围是_.答案解析ab(1 ,2) ,由a·(ab)>0 ,可得>.又a与ab不共线 ,0.故>且0.解

13、题秘籍(1)复数的概念是考查的重点 ,虚数及纯虚数的意义要把握准确.(2)复数的运算中除法运算是高考的热点 ,运算时要分母实数化(分子分母同乘以分母的共轭复数) ,两个复数相等的条件在复数运算中经常用到.(3)注意向量夹角的定义和范围.在ABC中 ,和的夹角为B；向量a ,b的夹角为锐角要和a·b>0区别开来(不要无视向量共线情况 ,两向量夹角为钝角类似处理).1.设i是虚数单位 ,那么复数i3等于()A.i B.3iC.i D.3i答案C解析i3ii2ii.应选C.2.bi(a ,bR) ,那么ab等于()A.1 B.1C.2 D.2答案B解析方法一由可得a2i(bi)i ,

14、即a2ibi1.由复数相等可得所以ab1.方法二2aibi ,由复数相等可得解得所以ab1.3.设i是虚数单位 ,那么复数在复平面内所对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析1i ,由复数的几何意义知 ,1i在复平面内的对应点为(1,1) ,该点位于第二象限 ,应选B.4.(2019·安庆模拟)在ABC中 ,点D是边BC上任意一点 , M是线段AD的中点 ,假设存在实数和 ,使得 ,那么等于()A. B.C.2 D.2答案B解析因为点D在边BC上 ,所以存在tR ,使得tt.因为M是线段AD的中点 ,所以()(t1)t.又 ,所以(t1) ,t

15、,所以.5.“复数z在复平面内对应的点在第三象限是“a0的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案D解析由题意得za3i ,假设z在复平面内对应的点在第三象限 ,那么a<0 ,应选D.6.(2019·通州期末)ABC的外接圆的圆心为O ,半径为1 ,假设0 ,且| ,那么·等于()A. B.C.3 D.2答案C解析0 , ,故点O是BC的中点 ,且ABC为直角三角形 ,又ABC的外接圆的半径为1 ,| ,BC2 ,AB1 ,CA ,BCA30° ,·|·cos 30°×2&#

16、215;3.7.a>0 ,2 ,那么a等于()A.2 B. C. D.1答案B解析2 ,即a23.又a>0 ,a.8.(2019·梧州模拟)在ABC中 ,AB2 ,AC3 ,BC ,假设向量m满足|m2|3 ,那么|m|的最大值与最小值的和为()A.7 B.8C.9 D.10答案D解析由AB2 ,AC3 ,BC ,得BC2AB2AC2 ,即A为直角.以A点为坐标原点 ,AB所在直线为x轴 ,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略) ,那么A(0,0) ,B(2,0) ,C(0,3) ,设m的终点坐标为(x ,y) ,|m2|3 ,(x4)2(y3)29 ,故|m|的最大值与最小值分别为圆(x4)2(y3)29上的点到原点距离的最大值和最小值 ,故最大值为538 ,最小值为532 ,即最大值与最小值之和为10 ,应选D.9.z134i ,z2ti ,且z1·2是实数 ,那么实数t_.答案解析z2ti ,2ti ,z1·2(34i)(ti)3t3i4ti4i2(3t4)(4t3)i.又z1·2是实数 ,4t30 ,即t.10.假设点M是ABC所在平面内的一点 ,且满足53 ,那么ABM与ABC的面积之比为_.答案解析设AB的中点为D ,由53 ,得3322 ,即32.故C ,M ,D三点共线 ,如下图 , ,也就是AB