第一章章末检测

1、章末检测范围1.11.2时间:45分钟分值:100分题号1234567891011得分答案一、选择题(本大题共7小题,每题5分,共35分)1.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,假设A=60°,a=23,那么sinCc=()A.1B.33C.312D.142.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.a=5,c=2,cos A=23,那么b=()A.2B.3C.2 D.33.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,假设A=60°,b=1,SABC=3,那么a+b+csinA+sinB+sinC的值为()A.2633B.2393C.393D.133

2、34.根据以下情况,判断三角形解的情况,其中正确的选项是()A.a=8,b=16,A=30°,有两解B.b=18,c=20,B=60°,有一解C.a=5,c=2,A=90°,无解D.a=30,b=25,A=150°,有一解5.钝角三角形ABC的面积是12,AB=1,BC=2,那么AC等于 ()A.5B.5C.2D.16.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.假设asin Bcos C+csin Bcos A=12b,且a>b,那么B等于()A.6B.3C.23D.567.一船自西向东匀速航行,上午7时到达灯塔A的南偏西75°方

3、向且距灯塔80 n mile的M处,假设这只船的航行速度为106 n mile/h,那么到达这座灯塔东南方向的N处时是上午()A.8时B.9时C.10时D.11时二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)8.ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,假设A=34,a=2,c=2,那么sin C=. 9.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且C=34,sin A=55,c-a=5-10,那么b=. 10.a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边,假设D为BC的中点,AD·BC=a2-3ac2,那么角B=. 11.在ABC

4、中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,假设a=4,b=5,c=6,那么sin2A2sinC=. 三、解答题(本大题共3小题,共45分)12.(15分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且cosAa+cosBb=sinCc.(1)证明:sin Asin B=sin C;(2)假设b2+c2-a2=65bc,求tan B.13.(15分)A,B,C为ABC的三个内角,且其对边分别为a,b,c,cos Bcos C-sin Bsin C=12.(1)求A;(2)假设a=23,b+c=4,求ABC的面积. 14.(15分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的

5、轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t时后与轮船在B处相遇.(1)假设相遇时小艇的航行距离最小,问小艇的航行速度应为多少?(2)假设小艇的最高航行速度只能到达30海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使小艇能在最短时间内与轮船相遇,并说明理由.图G1-1章末检测答案1.D解析 由正弦定理得asinA=csinC,sinCc=sinAa=3223=14,应选D.2.D解析 由余弦定理得5=b2+4-2×b×

6、;2×23,解得b=3b=-13舍去,选D.3.B解析 因为SABC=3,即12bcsin A=3,所以c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bc·cos A=13,所以a=13,所以a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=2133=2393.4.D解析 选项A中,由asinA=bsinB,得sin B=16×sin30°8=1,即B=90°,只有一解;选项B中,sin C=20sin60°18=539,且c>b,C>B,故有两解;选项C中,A=90°,a=5,c=2,b=a2-c2=25-4=21

7、,有解.因此A,B,C都不正确,应选D.5.B解析 ABC的面积S=12AB·BCsin B=12×1×2sin B=12,sin B=22,又0<B<,B=4或34.当B=34时,根据余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=1+2+2=5,AC=5,此时ABC为钝角三角形,符合题意;当B=4时,根据余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=1+2-2=1,AC=1,此时AB2+AC2=BC2,ABC为直角三角形,不符合题意.综上可知,AC=5.6.A解析 由条件得absin Bcos C+cbsi

8、n Bcos A=12,由正弦定理,得sin Acos C+sin Ccos A=12,sin(A+C)=12,从而sin B=12,又a>b,且B(0,),B=6.7.D解析 由题意画出示意图如下图,那么MAN=75°+45°=120°,MA=80,AMN=90°-75°=15°,ANM=45°.由正弦定理,得MNsinMAN=MAsinANM,那么MN=MA·sin120°sin45°=406,船从M处到N处需要的时间是406106=4(h),即到达这座灯塔东南方向的N处时是上午11时

9、,应选D. 8.12解析 由正弦定理可得asinA=csinC,sin C=csinAa=2×222=12.9.5解析 在ABC中,由正弦定理,得asinA=csinC,即ca=sinCsinA=102.又c-a=5-10,得c=5,a=10.由sin A=55,c=34>2,得cos A=1-sin2A=255,cos B=-cos(A+C)=-cos Acos C+sin Asin C=31010,那么b2=a2+c2-2accos B=10+25-2×5×10×31010=5,那么b=5.10.30°解析 D为BC的中点,AD=12

10、(AC+AB).又BC=AC-AB,AD·BC=12(AC+AB)·(AC-AB)=12(AC2-AB2)=12(b2-c2),12(b2-c2)=a2-3ac2,b2=a2+c2-3ac.由余弦定理b2=a2+c2-2accos B知,cos B=32,B=30°.11.12解析 asinA=bsinB=csinC,sin2A2sinC=2sinAcosA2sinC=4cosA6=2cosA3.由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=25+36-1660=34,sin2A2sinC=23×34=12,12.解:(1)证明:根据正弦定理,可设as

11、inA=bsinB=csinC=k(k>0),那么a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C,代入cosAa+cosBb=sinCc中,有cosAksinA+cosBksinB=sinCksinC,变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)由,b2+c2-a2=65bc,根据余弦定理,有cos A=b2+c2-a22bc=35,所以sin A=1-cos2A=45.由(1)知,sin Asin B=sin Ac

12、os B+cos Asin B,所以45sin B=45cos B+35sin B,故tan B=sinBcosB=4.13.解:(1) cos Bcos C-sin Bsin C=12,cos(B+C)=cos(180°-A)=-cos A=12,A=120°.(2)由(1)知A=120°,a=23,b+c=4,b2+c2-2bccos A=a2,即(b+c)2-2bc-2bccos A=a2,42-2bc+2bc×12=232,bc=4,ABC的面积S=12bcsin A=12×4×32=3.14.解:(1)由题意知AO=20,AB=30t,设相遇时小艇航行的距离为S,那么S=900t2+400-2×30t×20×cos(90°-30°)=900t2-600t+400=900t-132+300. 故当t=13时,Smin=103,v=10313=303,即小艇以303海里/时的速度匀速行驶,相遇时小艇的航行距离最小.(2)由余弦定理得v2t2=400+900t2-2×20×30t&