第二章关于空间的定义与命题

1、第二章 关于空间的定义与命题定义2-1 线段线段是物体的一种可视觉或可触觉现象。是物体的一种构成属性。用符号表示为：LSi-Ei或lSi-Ei 。其含意为：两个端点分别为Si和Ei的第i条线段。由线段LS1-E1、LS2-E2LSn-En构成的线段集合用符号表示为：LSi-Ei；由线段lS1-E1、lS2-E2lSn-En构成的线段集合用符号表示为：lSi-Ei；由线段LS1-E1、LS2-E2LSn-En和lS1-E1、lS2-E2 lSn-En构成的线段集合则用符号表示为：LSi-Ei&lSi-Ei。因此，LSi-Ei和lSi-Ei均为LSi-Ei&lSi-Ei的子集。可用

2、公式表示为：LSiEiÌLSi-Ei&lSi-Ei及lSi-EiÌLSi-Ei&lSi-Ei。线段通常有如下两种可直接感知的特性：其一，每条线段都有两个端点。其二，每条线段都能与一条膨紧的细线完全重合。或者说，我们总能找到一个方向使得沿这一方向看过去该线段呈现为一个点。虽然，欧几里德在原理中也使用了某些物理概念来对其关于直线和平面等基本概念的定义加以适当的解释。但是，无论是欧几里德本人还是及其追随者却都认为：此种做法是不必要的，甚至是完全应当加以避免的。因为，在他们看来，似乎只有如此才能保持所谓数学的纯洁与严密。然而无论是数学本身、还是物理学经过飞速发展之后

3、所已经达到的那种精确与严密的水准都说明，任何想要通过使数学独立于自然的客体世界之外的方式来保持所谓数学的纯洁和严密的企图是没有根据的、也是不可能的。定义2-2 重合操作重合操作是指进行在任意两条给定线段LS1-E1与LS2-E2之间的一种操作过程，其具体步骤为：移动线段LS1-E1使其两个端点S1和E1分别与线段LS2-E2上的某两点X2和Y2重合、或着使LS2-E2的两个端点S2和E2分别与线段LS1-E1上的某两点X1和Y1重合。虽然,一根又细又直的树枝或一段绷紧的细线都可被看成是一条线段并被用于重合操作。但是，树枝或细线只是被我们有意忽略了其他构成属性仅表现出“线段”这一构成属性的物体。

4、因此, 重合操作实际上是在两个都具有”线段”这一构成属性的物体之间进行的。定义2-3 线段之间的重合关系1、 线段LS1-E1与线段LS2-E2完全重合。记作: LS1-E1 LS2-E2 。 其含义是： 若：在LS1-E1与LS2-E2之间进行重合操作时， 当：LS1-E1的一个端点S1与LS2-E2的一个端点S2重合时 则：必有E1和E2重合。如果在任意两条给定线段LS1-E1与LS2-E2之间进行的每一次重合操作都可使LS1-E1与LS2-E2表现出相同的重合关系：LS1-E1 LS2-E2 。那么，我们便称这两条线段对于重合操作所表现出的重合关系是稳定不变的。并且，由于线段之间对于重合

5、操作所表现出稳定不变的重合关系这一事实是自然界中的并非个别的和偶然的一种普遍现象。因此，凡无特别指明，以后所涉及的各种重合关系均为稳定不变的。这也将是下述所有有关重合关系之命题的前提条件。命题2-3-1若：LS1-E1与LS1-E1完全重合，即：LS1-E1LS2-E2 则：对于LS1-E1上的每一个点Xi都有LS2-E2上的一个点Yi与Xi重合。命题2-3-2若：LS1-E1 LS2-E2且：LS2-E2 LS3-E3则：LS1-E1 LS3-E3即：线段与线段之间的完全重合关系是一种可传递关系。命题2-3-3若：LS1-E1 LS2-E2 则：LS2-E2 LS1-E1即：线段与线段之间的

6、完全重合关系是一种对称关系。2 、线段LS1-E1与线段LS2-E2部分重合。记作: LS1-E1<LS2-E2其含义 是： 若：在LS1-E1与LS2-E2之间进行重合操作时，当：LS1-E1的端点S1与LS2-E2的端点S2重合时则：LS1-E1的端点E1必与LS2-E2上的介于S2和E2之间的某一点Y2 重合。据此定义有如下命题成立：命题2-3-4若：LS1-E1<LS2-E2 且：LS2-E2<LS3-E3则：LS1-E1<LS3-E3即：线段LS1-E1 与线段LS2-E2部分重合是一种可传递关系。命题2-3-5若：LS1-E1<LS2-E2则：LS2-

7、E2 LS1-E1即：线段LS1-E1与线段LS2-E2部分重是一种非对称关系。命题2-3-6若：LS1E1 LS2E2 且：LS2E2<LS3E3则：LS1E1<LS3E3、线段LS1-E1与线段LS2-E2 等分重合。记作:N12*LS1-E1LS2-E2 (N 12为自然数) 。其含义是：若：移动线段LS1-E1使线段LS1-E1的端点S1与线段LS2-E2的端点S2 重合而E1与线段LS2-E2上的介于S2和E2之间的某一点X1重 合， 再移动线段LS1-E1使线段LS1-E1的端点S1与线段LS2-E2 上 的X1 重合而E1又与线段LS2-E2上的介于X1和E2之间的某

8、一 点X2重合以此类推至第n次操作：再移动线段LS1-E1使线 段LS1-E1的端点S1与线段LS2-E2的点Xn-1 重合时，而E1恰好 与线段LS2-E2的E2重合。 则：称线段LS1-E1 N等分线段LS2-E2 。据此定义有如下命题成立：命题2-3-7若：N12*LS1-E1 LS2-E2且：N23 *LS2-E2 LS3-E3则：N13* LS1-E1 LS3-E3且：N13 N12*N23命题2-3-8若：LS1-E1 LS2-E2 且：N12*LS1-E1 LS2-E2 则：N23*LS2-E2 LS3-E3命题2-3-9若：N12*LS1-E1 LS2-E2则：N21*LS2-

9、E2 LS1-E1 不成立。即：线段之间的等分关系是一种非对称、可传递关系。、LS1-E1与LSi-Ei等分重合。记作：LS1-E1 «LSi-Ei。其含义是： 线段LS1-E1 与线段集合LSi-Ei的所有线段分别有等分重合关 系：N12*LS1-E1LS2- E2、N13 * LS1-E1LS3-E3 N1n *LSn-EnLSn-En 。、线段LS1-E1近似N等分线段LS2-E2 。记作: N12*LS1-E1LS2-E2 (N 12为大于或等于2的整数) 。其含义是：在进行上面定义3 之所描述的操作中，若第n次操作：再移动线段LS1-E1使线段 LS1-E1的端点S1与线段

10、LS2-E2的Xn-1 重合时，E1与线段LS2-E2上的 介于S2和E2之间的某一点Xn重合，但当第n+1次操作：再移动 线段LS1-E1使线段LS1-E1的端点S1与线段LS2-E2的点Xn重合时，必 有线段LS2-E2的E2与线段LS1-E1上的介于S1和E1之间的某一点XI 重合。 命题2-3-10若：LS1-E1 LS2-E2 且：N12*LS1-E1LS3-E3则：N23*LS2-E2LS3-E3命题2-3-11若：N12*LS1-E1LS2-E2则：N21*LS2-E2LS1-E1 不成立。即：线段之间的近似等分关系是一种非对称关系。定义2-4 单元线段、可等分线段和等分数在定义

11、3之关系中，若：N12*LS1-E1LS2-E2则：称LS2-E2为LS1-E1的可等分线段、LS1-E1为LS2-E2的单元线段、N12为等分数。定义2-5 线段的关系属性在定义2-3中，线段之间的每一种关系都称为线段的一种关系属性。 因为线段是物体的一种构成属性,所以所谓线段的关系属性也就是具有线段这一构成属性的物体的关系属性。 正如我们在第一章中所已经指出过的那样，过程之构成属性与过程之关系属性之间是有差别的。同样，线段这一物体的构成属性与线段之关系属性、亦即物体之关系属性也存在着同样的差别。定义2-6 线段系统若：线段集合LSi-Ei&lSi-Ei及其子集lSi-Ei满足条件：

12、、构成子集lSi-Ei的所有线段对于重合操作表现出如下之 稳定的非对称关系： N12*lS1-E1lS2-E2、N13*lS1-E1lS3-E3 N1n*lS nEn lSn - En 。、对于 LSi-Ei&lSi-Ei之内lSi-Ei之外的任意一线段LSi-Ei 都有lSi-Ei之内的某一线段lSi-Ei与之有等分重合关系：NlL*lSi-EiLSi-Ei 。则：线段集合lSi-Ei被定义为LSi-Ei&lSi-Ei的一个线段系统。 用符号记作：l lL*。并：称lSi-Ei与l lL*之间有确定的重合关系。记作：LSi-Ei N lL*lSi-EiÎl lL*。

13、 定义2-7 自然线段系统在由那些又细又直的树枝、矩型桌台的棱线、门、窗的边线、房屋的墙线以及我们所能感知到的所有线段和由我们人类自制的那些完全相同的、刻有毫米、分米和厘米等刻度的直尺所构成的线段集合中，那些被人们加工或烧制成其对应线段可以完全重合的石块或砖块的边线、用这些完全相同的石块或砖块砌成的围墙的墙线、以及由人们自制的那些完全相同的、刻有毫米、分米和厘米等刻度的直尺所构成的线段集合就称为一个自然线段系统。当然，这一我们人类生活于其中的、与人类活动密切相关的、或着更确切地说是制约着人类活动的自然线段系统从某种意义上讲是粗糙的和近似的，而我们所定义的线段系统概念则是这种自然的、粗糙的和近似

14、的自然线段系统的理想化的、抽象的结果。就如过程系统是太阳过程系统、质点是太阳、地球以及其它许多物体的一种理想化模型一样。也许只能设想：在由那些完全自然的线段（诸如又细又直的树枝、石块的棱线、绷紧的细等）所构成的线段集合中，人们最初所认识到的只能是如LS1-E1<LS2-E2 <<LSn-En 这样的稳定的非对称关系。之后才进一步认识到：似乎总能找到或制成某一足够小的线段LS1-E1使其可以近似等分或可“足够精确”地等分其它所有我们所能感知、所能发现的、且有稳定之非对称关系LS1-E1<LS2-E2 < < LSn-En的所有线段。因此可以认为由人们所制成的那

15、些完全相同的、刻有毫米、分米和厘米等刻度的直尺这样一种线段系统正是人们关于上述认识的集中表现。这也正如钟表这样的过程系统正是人们对于自然的太阳过程系统之认识的集中表现一样。定义2-8 刚性线段在定义6中，线段系统l lL*的所有线段lS1-E1、lS2-E2 lSn-En都称为对该线段系统l lL*而言的刚性线段。因此，刚性线段或线段之刚性必须对某一给定的线段系统而言才有意义。定义2-9 单位线段与最小单位线段在定义6中, l lL*中的每一条线段lSi-Ei都为LSi-Ei&lSi-Ei的一条单位线段。用符号表示为: l u 。而lS1-E1被称为LSi-Ei&lSi-Ei的

16、最小单位线段,用符号表示为: l(u) 。因为根据定义6,显然有LSi-Ei&lSi-Ei中的任意一条线段LSi-Ei或lSi-Ei都可被最小单位线段l (u) 等分。定义2-10 长 度在定义2-6中, 线段LSi-Ei与线段系统l lL*之间的重合关系： LSi-Ei N liLi*lSi-EiÎl lL*。就称为线段LSi-Ei对线段系统 l lL*而言的长度。用符号记作：I 。因此,所谓线段的长度就是就是线段与线段之间的某种关系。就是一线段与相互之间有着某种稳定非对称关系的诸线段之间的一种关系。就是线段与线段系统之间的一种关系。就是线段的一种关系属性。并且，犹如一过程

17、之时间（包括持续时间和发生时间）必须相对于某一给定的过程系统而言才有意义，一条线段之长度也必须相对某一给定的线段系统而言才有意义。显然，蕴涵在时间及长度的定义中的时间与长度的相对性较之爱因斯坦在其论动体的电动力学即狭义相对论中所提出的时间与长度的相对性而言是某种程度上的、更为基本的特性。至此，我们已经可以看出：就一理论体系当中的概念之间的逻辑关系而言，由线段系统导出的长度概念以及由过程系统导出的时间概念不仅具有形式上的对应关系，而且在人类之认识自然的过程中也有着同样重要的地位。事实上，所谓时间的本质并不会比长度的本质有更多或更深刻的客观内容。而人们之所以唯独对所谓时间的本质问题纠缠不休，其根本

18、原因也许在于，人们对于自身之生命运动过程与其它自然过程之间的关系的关注、亦即对自己在这个世界上能存活多长时间的关注要远胜于对所谓身高体长或居住面积的关注。定义2-11 长度的相等 若：LSi-Ei NliLi*lSi-Ei Îl lL*、LSk-Ek N lkLk*lSi-EiÎl lL*且：NliLi = NlkLk 。则：LSi-Ei与LSk-Ek有相等的长度。 正如过程的持续时间的相等需要特别的定义一样，线段的长度的相等也需要特别的定义。而且，现在我们已十分清楚地知道，过程的持续时间的相等不能仅由两个过程的完全同步这一对称关系就可获得定义。同样，线段的长度的相等也不能

19、仅由两条线段的完全重合这一对称关系就可获得定义。因为，无论是在过程的持续时间的相等的定义中，还是在线段的长度的相等的定义中，稳定的非对称关系与对称关系都有着同样基本的意义和同样重要的作用。定义2-11 单位长度与最小单位长度根据定义2-9和定义2-10，我们把单位线段l u 的长度定义为单位长度。用符号记作为：u 。把最小单位线段l (u) 的长度定义为最小单位长度。用符号记作为：（u） 。因此，任意一给定的线段系统l lL*的单位线段与最小单位线段对该线段系统l lL*的长度都是恒定不变的。这也是我们通常要求一把用于测量其它线段之长度的尺子必须是刚性的、即尺子自身之长度在测量过程中必须保持不

20、变的客观内容所在。因为，我们不能仅仅通过用另一把尺子来量度这一把尺子去判定尺子的刚性。这正如同我们不能仅仅通过用另一只钟表来量度这一只钟表去判定所谓钟表走时的均匀性一样。与人们提出时间是连续的还是分立的这一问题相同，我们照样可以对线段之长度提同样的问题，即线段之长度是连续的还是分立的？对此问题，我们唯一能说的就是：根据对长度的定义，如果在自然界中存在这样一个线段系统使得自然界中的任意一条线段都能被该线段系统中的最小单位线段n等分。那么，线段之长度就是分立的。反之便是连续的。事实上，包括长度和时间在内的任何一个已被人们赋予其客观内容的物理量都存在分立与连续的问题。而要想科学地回答这些问题，就必须

21、设计出科学的实验以使我们在回答这些问题时有一个客观的、统一的因而也是唯一的判据。就象密立根在证实电荷电量之量子化现象时所精心设计并成功演示的油滴实验一样。定义2-12 普点、标点与质点普点：是标点与质点的统称。用符号表示为：DGi ；标点：则可以是物体的一种可视觉或可触觉现象。例如一个有棱角的物体的顶点、一条线段的两个端点等。也可以是通过几何作图或计算所得到的：两条线段的交点、一物体或诸物体的质心等。用符号表示为：DSi ；质点：是被物理学家忽略所有其它构成属性而被看成是点的物体。例如一个苹果、一块石头、一颗恒星等。用符号记作：DMi 。因此，无论是标点还是质点都是一物体或诸物体的构成属性，是

22、不能脱离物体而独立存在的。因此，所有关于标点和质点的相互之间的关系的描述，就是关于物体之间的相互关系的描述。命题2-12-1一标点与另一标点可以相互重合。例如在下面的图（一）中：三角形ABC的顶点C与三角形DEC的顶点C重合。图（一）命题2-12-2一质点可与某一给定的标点相互重合。但是不能同时与两个相互不重合的标点重合。命题2-12-3任意两个质点在保持其所代表物体的构成属性不变的前提下均不可能相互重合。因为，自然界中的任意两个物体都不可能在保持其构成属性不变的前提下相互重合。定义2-13 普点集合、标点集合与质点集合由若干标点DS1 、DS2 DSn 构成的集合称为标点集合。用符号记作：D

23、Si；由若干质点DM1、DM2DMn构成的集合称为质点集合。用符号记作：DMi；由若干质点DM1、DM2DMn和若干标点DS1、DS2DSn构成的集合称之为普点集合。用符号记作：DGi。定义2-14 两点之间的相距关系-距离若：I为给定两点D Gi 、D Gk所连成的线段对某一线段系统l lL*而言的长度，则：称I为该两点DGi 、DGk之间的相距关系或距离。记作： i 。 显然，两点之间的距离不仅是该两点之间的一种关系，而且也是该两点作为一个整体与某一线段系统之间的关系。并且，较之两点之间的距离而言，线段之长度概念是更为基本的。 定义2-15 刚性普点集合若:普点集合DGi中的任意两点所连成

24、的线段对某一给定线段系统l lL*的距离都恒定不变，则:称DGi为一个对 l lL*而言的刚性普点集合。用符号表示为DGi*。定义2-16 刚性质点集合全部由质点构成的刚性普点集合称作为刚性质点集合。用符号表示为：DMi*。在自然界中，有许多刚性质点集合。例如：银河系里的所有恒星构成一个刚性质点集合，一铁块中的所有铁原子核构成一个刚性质点集合等等。应当说，刚性质点集合、刚性标点集合或着刚性普点集的概念正是由它们概括而来的。至此，我们已经定义了线段的长度、两点之间的距离和刚性质点集合。并且，由定义可知：这些概念都必须对某一给定的线段系统而言才有意义。由于在下面的定义中还要经常使用这些概念，所以在

25、此约定：以后在用到长度、距离和刚性点集这三个概念时凡无特别指明，都是对同一线段系统而言的。因此可以看出，我们人类生活于其中的、由那些司空见惯的又细又直的树枝、矩型台桌的棱线、门窗的边线、房屋的墙线等等以及所有由我们人类自制的、完全相同的刻有毫米、分米和厘米等刻度的直尺所构成的自然线段系统是我们判别所有刚性质点集合的客观基础。并且，无论这些刚性质点集合是由恒星组成还是由原子组成。定义2-17 刚 体表现为刚性质点集合的物体就被定义为刚体。显然，不仅一块石头、一个铁块被视为刚体。而且，根据定义由恒星组成的银河系也是刚体。于是，我们自然要问：使众多铁原子紧密结合成一个铁块的原因与使得众多恒星构成一个

26、刚性的银河系的原因之间有什么必然联系吗？。或者更进一步说，那些所有不同的刚体之所以为刚体的原因是相同或相似的吗？定义2-18 刚性质点集合的位点设：DM1、DM2DMn为构成刚性质点集合DMi*的n个质点，若：由这n个质点分别为一个端点的n条刚性线段有共同且唯一的另一个端点Pi 。则：该端点Pi 就被称为该刚性质点集合DMi*的一个位点。用符号记作为：Pi ïDMi*。且：由这n条刚性线段的长度1、2 n 所构成的集合 i就被称为位点Pi ïDMi*与刚性质点集合DMi*之间的相距关系。显然，刚性质点集合DMi*的任意两个位点必与刚性质点集合DMi*有不同的相距关系。因此，

27、所谓刚性质点集合的一个位点，其实就是与该刚性质点集合有着某一确定相距关系的标点。并且，与该刚性质点集合有某一给定相距关系的标点必须是唯一的。但是，通常情况下，与任意一给定的刚性质点集合之间有相同相距关系的标点并不一定是唯一的，所以，在稍后的定义2-20到定义2-24中我们将据此对刚性质点集合予以分类讨论。定义2-18 空 间若：刚性质点集合DMi*存在有位点Pi ïDMi*，且：DMi*之外的任意一个质点在任意给定的某一时刻都必与 DSi*的某一位点重合，则：由DMi*的所有位点构成的集合就被称为这一刚性质点集合DMi*的空间。用符号记作为：å Pi ïDMi*。

28、 因此，空间的本质就是代表物体的质点与某一给定的、具有位点的刚性质点集合的相距关系的集合。至此，请允许我再一次引用爱因斯坦在其狭义与广义相对论中关于空间的一段论述，“力学的目的在于描述物体在空间中的位置如何随时间而改变，如果我未经思考、不加详细的解释就来表述上述的力学的目的，我的良心会承担违背力求清楚明确的神圣精神的严重过失这里，位置和空间应如何理解是不清楚的我们必须老实承认，对于空间一词我们无法构成丝毫概；因此，我们代之以相对在实际上可看作刚体的一个参考物体的运动”然而事实上，当我们在谈及爱因斯坦之“时空、观的革命”时却几乎无人愿意提及上面这一段真正能够反映爱因斯坦之科学精神及其关于人们在认

29、识时、空之本质方面的真实状况的坦述。命题2-18-1若:刚性质点集合DMi*有空间 å Pi ïDMi*，则:该空间中的任意两个位点Pi ïDMi*和PkïDMi*(ik)必 与DMi*有不同的相距关系。命题2-18-2若:刚性质点集合DMi*有位点Pi ïDMi*，则:与该刚性质点集合DMi*某一确定相距关系的位点必是唯一的。命题2-18-3若: 刚性质点集合DMi*有空间 å Pi ïDMi*，则:DMi*之外的任意一个质点在任意给定的某一时刻都必与DMi*的某一位点重合。即：DMi*之外的任意一个质点都必在DMi*的空

30、间 å Pi ïDMi*之中。命题2-18-4对于自然界中的所有刚性质点集合而言，当且仅当：刚性质点集合DMi*中含有四个或四个以上且不在同一平面上的质点时，与DMi*有某一确定相距关系的标点才是唯一的。命题 2-18-5若：Mi*ÌDMi*且：Mi*仅由四个不在同一平面上的质点构成。当：任意一个给定的标点DGi与Mi*有确定的相距关系，则：DGi与DMi*也有确定的相距关系。此命题之另一种表达方式为：若：刚性质点集合DMi*中含有四个或四个以上且不在同一平面 上的质点。则：由DMi*中的任意四个不在同一平面上的质点所构成的子刚 性 质点集合都与DMi*有相同的空

31、间å Pi ïDMi*。由于这一命题并不直观，因此，我们将详述得出此命题的分析和归纳过程： 、假设DMi*是仅由一个质点DM1构成的刚性质点集合如下面的图（二）所示：1为任意给定一点P1 与DM1之间的距离。那么容易看出与DMi*亦即与DM1 有确定相距关系1的点并非是唯一的。事实上，以DM1为圆心以1为半径的球面上的所有点（如图二中的P1 、P2 和Pi ）均与DM1有相同的相距关系 1。因此根据定义2-17和定义2-18仅由一个质点DM1构成的刚性质点集合是不存在位点的。当然也就无所谓空间。 、假设DMi*是仅由两个质点DM 1 和D M 2构成的刚性质点集合，如图（三

32、）所示：任意给定一点Pi 与DM1图（二） 图（三）和DM2的距离分别是1和2 。那么亦可看出，与DMi*亦即与DM1和DM2有确定相距关系 i的点也不是唯一的。因为若设圆O是DM1DM2Pk以过DM1和DM2的直线L为轴线旋转时点Pk所形成的轨迹，那么，圆O上的所有点分别与DM1和DM2的距离均分别是1和2 。即圆O 上的所有点都与DMi*有相同的相距关系。因此根据定义2-17和定义2-18，仅由两个质点DM1和DM2构成的刚性质点集合也不存在位点，当然也无所谓空间。、假设DMi*是由三个不在同一直线上的质点DM1、DM2和DM3构成的刚性质点集合，那么如图（四）所示亦可图（四） 图（五）

33、看出：若过P1 、P2 的线段与过DM1、DM2和DM3的平面垂 直且交于点O,则当O P1 = O P2 时分别有：P1 DM1 =P2 DM1 、P1 DM2=P2 DM2 和P1 DM3 =P2 DM3 。因此，点P1 、P2 与由DM1、DM2和DM3构成的刚性质点集合DMi*有相同的相距关系。因此，根据定义2-17和定义2-18，由三个不在同 一直线上的质点DM1、DM2和DM3构成的刚性质点集合也不 存在位点，当然亦无所谓空间。、假设DMi*是由四个不在同一平面上的质点DM1、DM2、DM3和DM4构成的刚性质点集合，如图（五）所示。那么，我们的经验是：从未能找到相互不重合的两点使

34、它们与DMi*有相同的相距关系。因此，根据定义2-17和定义2-18得到命题2-18-4及命题2-18-5。定义2-19 空间的维数若：刚性质点集合DMi*满足条件：、DMi*有空间å Pi ïDMi*。、DMi*中存在子集 Mi*、å Pi ï Mi*= å Pi ïDMi*。、在所有与DMi*有相同空间的子集中， Mi*的质点 数n最小。则： Mi*的质点数n就被定义为空间å Pi ïDMi*的维数。 或者称å Pi ïDMi*是一个n维空间。定义2-20 直线刚性质点集合若：刚性质点集合D

35、Mi*的所有质点中存在有两个质点DMi、DMk 使得DMi*的所有其它质点都在以DMi、DMk为两个端点所连成的直线上。则：DMi*为一直线刚性质点集合。用符号记作：DMi*L 。且：称该直线为该刚性质点集合的广延线。记作：ïDMi*L 。命题2-20-1构成直线刚性质点集合DMi*L 的质点数n2。命题2-20-2与任意一直线刚性质点集合DMi*L 有某一确定相距关系的点不是唯一的。故DMi*L 没有位点和空间。命题2-20-3若：直线刚性质点集合DMi*L 的广延线ïDMi*L 上的任意一个标点Pi与DMi*L的至少两个质点DM1、DM2有确定的距离 1 、 2 ，则：

36、点P i与DMi*L的其它质点的距离亦确定。即：点Pi与DMi*L 有确定的相距关系。即：此点为DMi*L的在其广延线上的一个位点：Pi ïD M i *L 。定义2-21 直线空间刚性质点集合DMi*L的广延线ïDMi*L上的所有位点的集合被定义为DMi*L 的一个直线空间。用符号记作å Pi ïDM i *L 。命题2-21-1显然，根据前面的定义2-19，直线空间å PiïDMi*L 是一个二维空间。定义2-22 平面质点刚性点集若：在刚性质点集合DMi*的所有质点DM1、DM2DMn中存在有不在同一直线上的三个质点DMi、DM

37、k 、DMj，使得DMi*的所有其它质点都在DMi、DMk 、DMj所够成的平面上。则：DMi*为一平面刚性质点集合。用符号记作：DMi*F。且：称该平面为该刚性质点集合的广延面。记作：FïDMi*F 。命题2-22-1构成平面刚性质点集合DMi*P 的质点数n3。命题2-22-2与任意一平面刚性质点集合DMi*F 有某一确定相距关系的点不是唯一的。故DMi*F 没有位点和空间。命题2-22-3若：平面刚性质点集合DMi*F 的广延面Fï DMi*F 上的任意一个标点P i与D M i *F 中的任意三个不在同一条直线上的质点DM1、DM2、DM3有确定的距离 1 、 2

38、、 3 ，则：此点P i与D M i *F 的其它质点的距离亦确定。即：此点Pi为DMi*F在其广延面上的一个位点：PiïDMi*F 。定义2-23 平面空间把平面刚性质点集合DMi*F 的广延面FïDMi*F 上的所有位点的集合定义为DMi*F的一个平面空间。记作：åPiïDMi*F 。命题2-23-1根据前面的定义2-19，平面空间å PiïDMi*F 是一个三维空间。定义2-24 立体刚性质点集合若：在刚性质点集合DMi*的所有质点DM1、DM2DMn中存在有不 在同一平面上的四个点DMi、DMj 、DMk、DMl则：DMi*为

39、一立体刚性质点集合。用符号记作：DMi *V。并把 DMi *V的空间称为一个立体空间。记作：å PiïDMi *V 。命题2-24-1显然根据前面的定义2-19,立体空间å PiïDMi*V 是一个四维空间。定义2-25 物体在空间中的位置若：一质点与一刚性质点集合DMi*的某个位点Pi ïDMi*重合，则：称该位点Pi ïDMi*为该质点在空间åPi ïDMi*中的位置。亦即该质点所代表的物体在空间åPi ïDMi*中的位置。因此，根据定义2-11和定义2-16，被看作质点的物体在某一给定的

40、空间中不能同时占据两个或两个以上的位置。附 释：至此,我们已经给出了包含空间在内的、相互之间存在着明确逻辑关系的一系列定义和命题。不论繁简，它们所描述的都是直观的自然现象以及这些现象之间的相互联系。现在我们就要从这些定义和命题出发，来进一步论述与空间之性质有关的一些问题。而之所以未能继续用定义和命题的形式给出这些论述，乃是因为它们所涉及的内容在未经天文学家和物理学家用实验证实和用基于某些公理之上的推理加以证明之前只能算作是一些猜想，并且其中还包括了一些未能解决的问题。1、位置与空间的维数关于维数，人们通常所采用的是一种心照不宣的定义即确定一个点的位置所需要的坐标数。于是，在对数轴、平面直角坐标

41、系及立体直角坐标系中的点的位置的确定方法进行一番分析之后便得出了一直被人们所普遍认可的关于维数的概念。所谓直线是一维的、平面是二维的以及立体是三维的这些观念便是如此确立的。尽管几乎所有探讨空间及其维数的学者都意识到：点的位置、或物体的位置概念显然要比空间及其维数的概念更基本，但是，事实上几乎所有的人都忽略了对于位置概念的深入分析。由于牛顿力学只对质点成立，因此，人们只论点的位置而不谈物体的位置。然而，无论是物体的位置还是质点的位置在牛顿力学中都不重要。因为，牛顿力学只用到质点以及质点与质点之间的距离这两个概念。但是，我们显然不能把一质点与另一给定质点之间的距离定义为该质点的位置。事实上，在人们

42、的实际生活中，对于位置概念是有着十分严格的要求的。这就是，当我们被告知某一位置时，我们可以按照对这一位置的描述准确而唯一地到达这一位置。并且，不难发现对这一位置的描述的核心内容就是代表该位置的点或占据该位置的物体与若干其它物体之间的距离。并且，这若干其它物体两两之间的距离必须是恒定不变的。如果把所有物体都抽象为质点，那么，所谓点的位置就是该点与两两之间均有恒定不变之距离的若干点的相距关系。这就是说，只有当我们把两两之间均有恒定不变之距离的若干点即某一刚性质点集合作为参照，点的位置才有意义。或者说，所谓点的位置就是该点与某一刚性质点集合之间的相距关系。我们前面与空间有关的所有定义与命题就是基于这一简单的事实而建立起来的。尽管由此建立起来的空间的维数与从前的维数概念在具体数值上有些许差异，但是不难看出，所谓数轴，平面直角坐标系和立体直角坐标系其实是分别与直线刚性质点集合、平面刚性质点集合和立体刚性质点集合等同的。并且如果我们取消对坐标系之象限的人为划定，那么，确定一个点分别在数轴，平面直角坐标系和立体直角