专题平行线分线段成比例

1、专题14平行线分线段成比例阅读与思考平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段及相似形的最基本、最重要的理论.运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线. 若无平行线，需作平行 线，而作平行线要考虑好过哪一个点作平行线， 一般是由成比例的两条线段启发而得.此外, 还要熟悉并善于从复杂的图形中分解出如下的基本图形：例题与求解【例1】如图，在梯形ABCD中，AD/ BC, A a，BJ b，E, F分别是AD，BC的中点， 且AF交BE于P，CE交DF于Q贝U PQ的长为.（上海市竞赛试题）解题思路：建立含PQ的比例式，为此，应首先判断 PQ与 AD （或BQ的

2、位置关系，关键是从复杂的图形中分解出基本图形，并能在多个成比例线段中建立联系【例2】如图，在 ABC中, D, E是BC的三等分点，M是AC的中点，BM交AQ AE于G, H,则 BG： GH HM等于（）A. 3 : 2 : 1B. 4 : 2 : 1C. 5 : 4 : 3D. 5 : 3 : 2（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：因题设条件没有平行线，故须过 M作BC的平行线，构造基本图形.【例3】如图， ABCD中, P为对角线BD上一点，过点P作一直线分别交BA BC的延 长线于Q, R,交CD AD于 S,求证：PC?PT= PRRS.（吉林省中考试题）解题思路：要证PCPPT=

3、PR7PS,需证匹=PR ,由于PQ PT, PR, PS在同一直线上, PS PT故不能直接应用定理，需观察分解图形.【例4】梯形ABC冲，AD/ BC A吐DC（1）如图1,如果P, E, F分别是BC, AC BD的中点，求证：A吐PE+ PF；（2）如图2,如果P是BC上的任意一点（中点除外），PE/ AB, PF/ DC,那么A吐PE + PF这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.（上海市闵行区中考试题）图1图2解题思路：（1）不难证明；对于（2）,先假设结论成立，从平行线出发证明A吐PE+PF,即要证明 些+比=1,将线段和差问题的证明转化为与成比例线段相关问题

4、的证明.AB AB【例5】如图，已知AB/CC, AD/ CE F, G分别是AC和 FD的中点，过G的直线依次交AB, AD CD CE于点 M N, P , Q.求证：MF+ PQ= 2PN.解题思路：考虑延长BA EC构造平行四边形，再利用平行线设法构造有关的比例式 .（浙江省竞赛试题）【例6】已知： ABC是任意三角形.（1）如图1,点M P N分别是边AB, BC, CA的中点,求证：/ MPNtZ A；如图2，点M N分别在边AB, AC上 ,且如=1AB 3边BC的三等分点，你认为/ MRN+/MPN=/A是否正确？请说明你的理由；（3）如图3，点M N分别在边AB, AC上,且

5、R , P2 ,P2009是边BC的2010等分点, 则/ MPN+/ MPN+ / ME0o9N=.（济南市中考试题）C图1A图2C解题思路：本题涉及的考点有三角形中位线定理、平行四边形的判定、相似三角形的判 定与性质.能力训练1 .设 K=a +b _c _ a _b +c _ _a +b +c贝卩 k_cb（镇江市中考试题2.如图,AD/ EF/ BC,BC= 21, 2AE= EB,贝U EF=第3题AM与 BN相交于AD= 15,DCCD, BMh 3MC AD= DM 贝U BD： DN=（杭州市中考试题4.如图,EG： GH： HCABCD是正方形，E, F是AB,BC的中点,连

6、结EC交DB交DF于G, H,（重庆市中考试题5.如图,在正 ABC的边BC, CA上分别有点E , F,且满足BE= CF= a , EO FA= b ( a b ）,当BF平分AE时，则a的值为（ bB.云2AFC.5 -126.如图, ABC中 , AD是BC边上的中线,CF并延长交AB于E ,则AE： EB等于（F是AD上的一点,且AF： FD= 1 : 5 ,连结A. 1 : 107.如图,)C. 12B. 8第6题PQ/ AB,D. 1 : 7C第8题A. 4D.168如图，EF/ BC FD/ AB, BD= 3 BC 则 BE： EA等于（）5A. 3 : 5B. 2 : 5C

7、. 2 : 3D. 3 : 29. （1）阅读下列材料，补全证明过程.已知，如图，矩形ABCD中, AC BD相交于点O, OEL BC于 E,连结DE交0C于点F, 作FG丄BC于 G.求证：点G是线段BC的一个三等分点.（2）请你依照上面的画法，在原图上画出 BC的一个四等分点.（要求：保留画图痕迹， 不写画法及证明过程）（山西中考试题）2求证：Ad 1AC.511.如图，梯形ABCD中, AD/ BC, EF经过梯形对角线的交点 O,且EF/ AD（1）求证：OE= OF；（2）求坐+匹的值；ADBC(3)求证：1 +1 _ 2ADBCEF（宿迁市中考试题）12.如图，四边形ABCD1

8、梯形，点可E是上底边AD上的一点，CE的延长线与BC的延长线交于点F,过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M MB与 AD交于点N.求证：/ AFNkZ DME（全国初中数学联赛试题）B级1.如图，工地上竖立着两根电线杆 AB, CD它们相距15cm分别自两杆上高出地面4m 6m的A, C处，向两侧地面上的E , D和B, F点处，用钢丝绳拉紧,以固定电线杆,那么钢丝绳AD与 BC的交点P离地面的高度为 m（全国初中数学联赛试题AF)A第5题5如图,C. 16A. 10B. 12D. 18第6题EF的值是（第4题AB/ EF/ CD 已知 A吐20, CD= 80,那么DCOABEFBECD

9、AAEFMEACDBBCF第2题（江苏省竞赛试题）（“祖冲之杯”邀请赛试题）第1题2.如图， ABCD勺对角线交于0点，过0任作一直线与第3题CD，BC的延长线分别交于4如图，设 AF= 10, FB= 12, B 14, DC= 6, CE-9, EA= 7,且 KL/ DF, LM/ FE,MN/ ED 贝U EF： FD=3如图，D, F分别是 ABC边AB, AC上的点，且AD： D吐CF： FA= 2 : 3,连结DF交BC边的延长线于点E,那么EF： FD=.B Q DE 点设 BC- a , CD= b , CF- c ,贝U CE-/ FCED F（全国初中数学联赛试题）6.如

10、图,CE, CF分别平分/ ACB / ACD AE/ CF, AF/ CE 直线 EF分别交 AB, AC于点M N.若BC- a, AC- b , A吐c ,且c a b ,则EM的长为()D.2a b - c（山东省竞赛试题）7.如图，在 ABCD勺边AD延长线上取一点F, BF分别交AC与 CD于 E, G.若EF-E. 1632, GF-24,则 BE等于（）D. 12A. 4B. 8C. 10（美国初中数学联赛试题）8如图，在梯形 ABCD中，AB/ CDA吐3CD, E是对角线AC的中点，直线BE交AD于点F,则AF： FD的值是（）A. 2B. 53CC. 3D. 1（黄冈市竞

11、赛试题）9.如图,第7题P是梯形ABCD勺中位线第8题MN所在直线上的任意一点，直线第9题AP, BP分别交直线 CD于 E，F.求证：MN =丄（些旦）.NP 2 EP FP（宁波市竞赛试题）10. 如图，在四边形 ABCD中, AC与BD相交于O,直线I平行于BD且与AB, DC，BC，AD及 AC的延长线分别交于点 M, N, R, S和P.求证：PM- PN= PR- PS.（山东省竞赛试题）第10题11. 如图，AB丄 BC, CDL BC, B, D是垂足,CDAD和BC交于E, EF丄BD于F.我们可以证明：丄丄=丄成立（不要求证出）.以下请回答：若将图中垂直改为 AB/CD/ EF,AB CD EF那么，（1）丄丄 二还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.AB CD EF（2）请找出 Sa ABD, SBED和 SBDC的关系式，并给出证明.（黄冈