高斯公式与斯托克斯公式

1、3 高斯公式与斯托克斯公式 高斯公式与斯托克斯公式都是格林公式的推广. 格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系; 高斯公式建立了空间区域上的三重积分与其边界曲面上的第二型曲面积分之间的关系; 斯托克斯公式建立了空间曲面上的第二型曲面积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系.一、高斯公式 二、斯托克斯公式 一、高斯公式 定理定理22.3 设空间区域设空间区域 V由分片光滑的双侧封闭曲由分片光滑的双侧封闭曲 面面 S 围成围成. 若函数若函数 P, Q, R 在在 V上连续上连续, 且有一阶连且有一阶连 续偏导数续偏导数, , 则则d d dVPQRx y

2、zxyzd d + d d + d d ,(1)SP y z Q z x R x y其中其中 S 取外侧取外侧. .(1) 式称为式称为高斯公式高斯公式. . 证证 下面只证下面只证 d d dd d .VSRx y zR x yz读者可类似读者可类似 d d dd d ,VSPx y zP y zxd d dd d .VSQx y zQ z xy这些结果相加便得到高斯公式这些结果相加便得到高斯公式 (1).先设先设V是一个是一个 xy 型区域型区域, ,即其边界曲面即其边界曲面 S 由曲面由曲面 证明其余两式证明其余两式: : 11():( , ),( , ),xySzz x yx yD及垂

3、直于及垂直于 ()xyD的柱的柱面面 3S组成组成( (图图22-7) ), 其中其中 12( , )( , ) .zx yzx y于是按于是按三重积分的计算方三重积分的计算方 21()( , )( , )d d dd ddxyzx yzx yVDRRx y zx yzzz22():( , ),( , ),xySzzx yx yD法法, ,有有 227 图图xyzO2S1S3S()xyD()2( , ,( , )d dxyDR x y zx yx y21( , , )d d( , , )d dSSR x y zx yR x y zx y12,SS3Sxy在在其中其中 都取上侧都取上侧. 又由于

4、又由于 平面上投影面平面上投影面 21( , , )d d( , , )d d ,SSR x y zx yR x y zx y()21( ( , ,( , )( , ,( , )d dxyDR x y zx yR x y z x yx y()1( , ,( , )d dxyDR x y zx yx y从而得到从而得到 231d d dd dd dd dVSSSRx y zR x yR x yR x yz对于不是对于不是 xy 型区域的情形型区域的情形, , 一般可用有限个光滑一般可用有限个光滑 3( , , )d d0 .SR x y zx y积为零积为零, , 所以所以 曲面将它分割成若干个

5、曲面将它分割成若干个 xy 型区域来讨论型区域来讨论. . d d .SR x y例例1 计算计算 22()d dd d()d d ,SIy xzy zxz xyzxx y其中其中 S 是边长为是边长为 a 的正立方体表面并取外侧的正立方体表面并取外侧. . 22()()() d d dVIy xzxyxzx y zxyz解解 应用高斯公式应用高斯公式, , 2401d.2aaayaya000()d d d =dd( + )daaaVyxx y zzyy xx注注 若在高斯公式中若在高斯公式中,Px Qy Rz 则有则有d dd dd d(111)d d d .SVx y zy z xz x

6、yx y z 于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域 V 的体的体 积的公式积的公式: 11d dd dd d .3SVx y zy z xz x y 例例2 计算计算 22()d dd d()d d ,Sy xzy zxz xyxzx y S225zxy 1z 其中其中 为曲面为曲面上上的部分的部分, 并取并取 上侧上侧. .解解 由于曲面不是封闭的由于曲面不是封闭的, ,不能直接应用高斯公式不能直接应用高斯公式. . 为了能使用高斯公式以方便计算为了能使用高斯公式以方便计算, ,可补充一块平面可补充一块平面 221:4,1,Sxyz 1SS 并取下侧并

7、取下侧, 则则 构成一构成一封封闭曲面闭曲面. .于是于是 122()d dd d()d dSSy xzy zxz xyxzx y()d d dVxyx y z2225001dd( cossin ) d0.rrrrr z 而而122()d dd d()d dSy xzy zxx zyxzx y2()d d4.Dyxx y 因此因此 22()d dd d()d d4.Sy xzy zxz xyxzx y例例3 证明电学中的高斯定理证明电学中的高斯定理: 在由点电荷在由点电荷 q所产生的所产生的 E q静电场中静电场中, 电场强度电场强度 向外穿过任何包含向外穿过任何包含在其内在其内 S4 . q

8、部的光滑封闭曲面部的光滑封闭曲面 的电通量都等于的电通量都等于 q1,S1S证证 以以 为球心作一半径充分小的球面为球心作一半径充分小的球面使使 全部全部 Sq落在落在所包含的区域内部所包含的区域内部, 并将坐标原点取在并将坐标原点取在处处. 由由电学知识电学知识,在点在点( , , )M x y z处的电场强度为处的电场强度为 3( ijk),qExyzr 设设 333( , , ),( , , ),( , , ),qxqyqzP x y zQ x y zR x y zrrr其中其中 222.rxyz易验证易验证( (参见图参见图22-8 ) ) 0.PQRxyz 所以穿过所以穿过 1S的电

9、通量为的电通量为 13d dd dd dSqx y zy z xz x ya33d d d4 ,Vqx y zqa1SV1Sa其中其中 取外侧取外侧, 是是 包围的半径为包围的半径为 的球体的球体. S1S 在在与与所围的空间区域所围的空间区域 上应用高斯公式上应用高斯公式, 其边其边 S1S界的外测是界的外测是 的外侧和的外侧和 的内侧的内侧. 因为因为 228 图图xyzS1SqO1d dd dd dd dd dd dSSP y zQ z xR x yP y zQ z xR x yd d d0,PQRx y zxyz 所以穿过所以穿过 S的电通量为的电通量为d dd dd dSP y zQ

10、 z xR x y1d dd dd dSP y zQ z xR x y4 . q二、斯托克斯公式 先对双侧曲面先对双侧曲面 S 的侧与其边界曲线的侧与其边界曲线 L 的方向作如下的方向作如下 规定规定: :设有人站在设有人站在 S 上指定的一侧上指定的一侧, ,若沿若沿 L 行走行走, ,指指 定的侧总在人的左方定的侧总在人的左方, ,则人前进的方向为边界线则人前进的方向为边界线 L 的正向的正向; ;若沿若沿 L 行走行走, ,指定的侧总在人的右方指定的侧总在人的右方, ,则人则人 前进的方向为边界线前进的方向为边界线 L 的负向的负向. .这个规定也称这个规定也称为右为右 手法则手法则,

11、,如图如图 22-9 所示所示. . 定理定理22.4 设光滑曲面设光滑曲面 S 的边界的边界 L 是按段光滑的连是按段光滑的连 续续曲线曲线. .若函数若函数 P, Q, R 在在 S ( 连同连同 L ) 上连续上连续, ,且有且有 一阶一阶连续偏导数连续偏导数, ,则有则有斯托克斯公式斯托克斯公式如下如下: : 229 图图正向正向LS负向负向LS其中其中 S 的侧与的侧与 L 的方向按右手法则确定的方向按右手法则确定. . 证证 先证先证 其中曲面其中曲面 S 由方程由方程 确定确定, ,它的正侧法线方它的正侧法线方 ( , )zz x yd dd dd ,LSPPz xx yP xz

12、y(3) ddd ,(2)LP xQ yR z()d d()d d()d dSRQPRQPy zz xx yyzzxxycoscos,.coscoszzxy 若若 S 在在 xy 平面上的投影为区域平面上的投影为区域 (),xyDLxy在在平面上平面上 的投的投影为曲线影为曲线 . 现由第二型曲线积分定义及格林现由第二型曲线积分定义及格林 公公式有式有 ( , , )d( , , ( , )dLP x y zxP x y z x yx (,1),xyzz(cos ,cos,cos ) , 向数为向数为方向余弦为方向余弦为所以所以 ( , , ( , ),PPzP x y z x yyyzy所以

13、所以 ()( , , ( , )d d .xyDP x y z x yx yy 因为因为 ()( , , ( , )d dxyDP x y z x yx yyd d .SPPzx yyzy cosd dd dcosSSPPzPPx yx yyzyyz d dcoscoscosSPPx yyz d dd d .SPPz xx yzy由于由于 cos,coszy 从而从而 coscosdSPPSyz d dd dd(4)LSQQx yy zQ yxzd dd dd(5)LSRRy zz xR zyx将将 (3), (4), (5) 三式相加三式相加, ,即得公式即得公式 (2) . . 如果如果

14、S 不能以不能以 ( , )zz x y的形式给出的形式给出, 则可用一则可用一些些 光滑曲线把光滑曲线把 S 分割为若干小块分割为若干小块, ,使每一小块能用这使每一小块能用这 综合上述结果综合上述结果, ,便得到所要证明的便得到所要证明的(3)式式. . 当曲面当曲面 S 表示为表示为 ( , ),( , )xx y zyy z x时时, 同样同样可可证证 为了便于记忆为了便于记忆, ,斯托克斯公式也常写成如下形式斯托克斯公式也常写成如下形式: :d dd dd dddd .LSy zz xx yP xQ yR zxyzPQR(2)d()d()d ,Lyzxxzyyzz例例4 计算计算其中

15、其中种形式来表示种形式来表示. . 因而这时因而这时 (2) 式也能成立式也能成立. . 1Lxyz为为平平面面与各坐标面的交线与各坐标面的交线, ,取图取图 22-8 所示的方向所示的方向. 解解 应用斯托克斯公式推得应用斯托克斯公式推得: : (2)d()d()dLyzxxzyyxz(11)d d(11)d d(12)d dSy zz xx y132d d2d dd d11.22Sy zz xx yxyOz22 10图图 (0,1,0)(1,0,0)(0,0,1)车胎状的环形区域则是非单连通的车胎状的环形区域则是非单连通的. .与平面曲线积分相仿与平面曲线积分相仿, ,空间曲线积分与路线的

16、无关空间曲线积分与路线的无关 性也有下面相应的定理性也有下面相应的定理. .不经过不经过 V 以外的点而连续收缩于属于以外的点而连续收缩于属于 V 的一点的一点. .例例 如如: :两同心球面所界定的区域仍是单连通的两同心球面所界定的区域仍是单连通的; ;而形如而形如区域区域 V 称为称为单连通单连通的的, ,如果如果 V 内任一封闭曲线皆可内任一封闭曲线皆可 注注 上述之单连通上述之单连通, ,又称为又称为“按曲面单连通按曲面单连通”. .其意其意 义是义是: : 对于对于 V 内任一封闭曲线内任一封闭曲线 L, 均能以均能以 L 为边界为边界, 绷起一个位于绷起一个位于 V 中的曲面中的曲

17、面. dddLP xQ yR z与路线无关与路线无关; ; ddd0;LP xQ yR z(i) 对于对于 内任一按段光滑的封闭曲线内任一按段光滑的封闭曲线 L 有有 (ii) 对于对于 内任一按段光滑的封闭曲线内任一按段光滑的封闭曲线 L, ,曲线积分曲线积分 定理定理22.5 设设3R 为空间单连通区域为空间单连通区域. 若函数若函数 P, 个条件是等价的个条件是等价的: :Q, R 在在 上连续上连续, ,且有一阶连续偏导数且有一阶连续偏导数, ,则以下四则以下四 例例5 验证曲线积分验证曲线积分()d()d()dLyzzzxyxyz与路线无关与路线无关, 并求被积表达式的原函数并求被积

18、表达式的原函数( , , ).u x y z这个定理的证明与定理这个定理的证明与定理 21.12 相仿相仿, ,这里不重复了这里不重复了. .在在 内处处成立内处处成立. . ,(iv),PQQRRPyxzyxz (iii) dddP xQ yR z 是是内某一函数内某一函数 u 的全微分的全微分, 即即dddd ;(6)uP xQ yR z0( , , )()d()d()d .M Mu x y zyzxzxyxyz0M M0M取取 如图如图 22-11, 从从 沿平行于沿平行于 x 轴的直线到轴的直线到 所以曲线积分与路线无关所以曲线积分与路线无关. .现在求原函数现在求原函数: : 解解 对于对于 ,Pyz Qzx Rxy显然有显然有 1,PQQRRPyxzyxz0()(),xyzzxyxzyzc000000( , , )()