三角恒等变换复习(公开课精华)

1、基本思想基本思想：理解三角函数中的理解三角函数中的4 4个个“三三”：（1）从知识层面看：三角函数公式系统的三条主线）从知识层面看：三角函数公式系统的三条主线 同角关系式、诱导公式、变换公式同角关系式、诱导公式、变换公式（和、差、（和、差、 倍角）倍角）.（2）从问题层面看：三角变换三大问题）从问题层面看：三角变换三大问题求值、化求值、化 简、证明简、证明.（3）从方法层面看：）从方法层面看：“三个统一三个统一”解决三角函数解决三角函数 问题时要从问题时要从“统一角度、统一函数名、统一运算统一角度、统一函数名、统一运算 结构结构”方面方面 思考思考（4）从算法层面看：使用公式的三重境）从算法层

2、面看：使用公式的三重境顺用、顺用、 逆用、变用逆用、变用.1 1、两角和与差的三角函数公式、两角和与差的三角函数公式：)cos(sinsincoscos)sin(sincoscossin)tan(.tantan1tantan)sin(sincoscossin)cos(sinsincoscos)tan(.tantan1tantan基本公式：基本公式：xbxacossin22ba 22ba .cossin2222确定，由其中baabab2 2、辅助角公式、辅助角公式说明：说明： 利用辅助角公式可以将形如利用辅助角公式可以将形如 的函的函数，转化为一个角的一种三角函数形式。便于后面求三数，转化为一个

3、角的一种三角函数形式。便于后面求三角函数的最小正周期、最大（小）值、单调区间等。角函数的最小正周期、最大（小）值、单调区间等。= sin+ cosy ab这个公式这个公式有什么作有什么作用？用？)cossin(2222xbabxbaa )cossinsin(cosxx . )sin( x22ba 3 3. . 二二倍角公式倍角公式: : 2tan1tan22tan cossin22sin 22cos1 22sincos2cos 21 2sin 变形变形变形变形（ 降幂公式降幂公式 ）21 cos2sin221 cos2cos22)cos (sin2sin1变形变形CC几何法，三几何法，三角函数

4、线角函数线SS2C2S2TTT2C2S2T基本知识框架基本知识框架：基础练习基础练习：计算：计算： （公式变，逆用公式变，逆用）14cos74sin14sin74cos) 1 (70sin160cos110cos20sin) 2(5 .22sin21 )3(215cos15sin)4(33tan12tan133tan12tan)5(231224111413)cos(,71cos1为锐角，：已知例的值求cos典型例题典型例题：01413)cos(,71cos又,1433)sin(,734sin9823sin)sin(cos)cos()cos(cos注：注： 常用角的变换：常用角的变换： 注意对角

5、范围的要求。注意对角范围的要求。)()()(2)(222)4()4( 借题发挥借题发挥 解决此类问题的关键在于寻找条件和结论中的角的关解决此类问题的关键在于寻找条件和结论中的角的关系，系，分析角与角之间的互余、互补关系，分析角与角之间的互余、互补关系，合理拆、凑，把未知角合理拆、凑，把未知角用已知角表示用已知角表示为锐角，解：变式练习变式练习：).4 tan( ,414 tan, 52)tan() 1 (求）（已知osc , 31)6sin)2(求（为锐角，且若sinsin)cos(2sin)2sin(2：求证例sinsin)cos(2)2sin(sinsin)cos(2)sin(sinsin

6、)cos(cos)sin(sinsin右边证明证明：左边：左边sinsin)cos(2sin)2sin( 借题发挥借题发挥 证明的本质是化异为同，可以说，证明是有目证明的本质是化异为同，可以说，证明是有目标的有目的化简标的有目的化简. . 左右归一或变更结论，常用定义法、化左右归一或变更结论，常用定义法、化弦法、拆项拆角法、弦法、拆项拆角法、1 1的变换法、公式变形法等方法的变换法、公式变形法等方法例例3 :已知已知 A、B、C是是ABC三内角，向量三内角，向量.1, )sin,(cos, )3,1( nmAAnm；求角求角）（A1.tan,3sincos2sin1222CBBB求求若若）（

7、解：解：,1)1( nm,1)sin,(cos)3,1( AA,1cossin3 AA即即,1)cos21sin23(2 AA.21)6sin( A,0 A,6566 A,66 A.3 A即即,3sincos2sin1222 BBB由由）（,2tan B)(tantanBAC )tan(BA BABAtantan1tantan 32132 .11358 ,3sincos)sin(cos222 BBBB得得,3sincossincos BBBB即即,3tan1tan1 BB,0cos B 借题发挥借题发挥 在三角函数式的化简求值问题中要注意角的变化在三角函数式的化简求值问题中要注意角的变化函数名

8、的变化，合理选择公式进行变形，同时注意三角变换函数名的变化，合理选择公式进行变形，同时注意三角变换技巧的运用技巧的运用（给角求值，给值求值，给值求角）（给角求值，给值求值，给值求角） 三角恒等变换实际上是对角、函数名称，以及函数形三角恒等变换实际上是对角、函数名称，以及函数形（结构）的变换，这类问题，无论是求值化简证明以及（结构）的变换，这类问题，无论是求值化简证明以及复杂的综合问题，一般的考虑方法是：复杂的综合问题，一般的考虑方法是： 找差异：角、名、形的差异；找差异：角、名、形的差异； 建立关系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间建立关系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间 可以用哪个

9、公式联系起来；可以用哪个公式联系起来； 变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变 形后，正用或逆用公式形后，正用或逆用公式. .（4 4）常用技巧：）常用技巧： 弦化切弦化切 化化“1 1” 正切的和、积正切的和、积 角变换角变换 “升幂升幂”与与“降次降次” 辅助角辅助角课堂小结：课堂小结：121sin125sin) 1 (sin 7cos15 sin 8(4)cos 7sin 15 sin 8 80cos60cos40cos20cos)2(课后巩固：课后巩固：)2232cos21212121)5(（化简 的值域为函数xxxfsin22co

10、s)()3(= =tantan,51)sin(,53)sin(6则）已知（考题体验考题体验：1 1、A 2A 2、D 3D 3、 4 4、3656典型例题典型例题：考向一：求角问题考向一：求角问题变式变式1： 变式变式1： 典型例题典型例题：考向二：求值问题考向二：求值问题变式变式2 ：典型例题：典型例题：考向三：综合应用考向三：综合应用典型例题典型例题变式变式3：三角恒等变换实际上是对角、函数名称，三角恒等变换实际上是对角、函数名称，以及函数形（结构）的变换，这类问题，无论是以及函数形（结构）的变换，这类问题，无论是求值化简证明以及复杂的综合问题，一般的考虑方法是：求值化简证明以及复杂的综合问题，一般的考虑方法是： 找差异：角、名、形的差异；找差异：角、名、形的差异； 建立关系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用建立关系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；哪个公式联系