2021高考文科数学学案：三角函数、解三角形第4节函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用

1、第四节 函数y = Asin( 3 x +小)的图像及三角函数模型的简单应用最新考纲1.了解函数y= Asin( 3x +巾)的物理意义；能画出函数的图像，了解参数A,，6对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.先平-移后情蝇先伸蛤后平林1. y=Asin( cox+G)的有关概念y = Asin( 3 x + 6 )( A振幅周期频率相位初相>0, 3 >0, x>0)表 示一个简谐运动A2兀 T=313f =二=f T 23 X +2.用五点法画y=Asin( wx+ 6 ) 一个周期内的简图时，要找五个关

2、键点，如下表所示:x兀2 6兀一 j3q兀一62兀一3CjD X + ()0兀22兀3兀2兀y = Asin( o x+ ()0A0-A03.由y=sin x的图像变换得到y=Asin( cox+6)(其中A>0, 3>0)的图像常用结论1.函数y= Asin( 3 x + 6 ) + k图像平移的规律：“左加右减，上加下减”.2.由 y = sin 3 x 至U y = sin( cox + 6)( 3>0,66 >0)的变换：向左平移 一个单位长度而非 6个单3位长度.、思、考辨析(正确的打“，”，错误的打“x”)(1)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩

3、，后平移”中平移的单位长度一致.()一 兀 .一兀(2)将y=3sin 2 x的图像左移 彳个单位后所得图像的解析式是y= 3sin 2x + .()兀兀.兀(3) y= sin x 了的图像是由y=sin x+彳 的图像向右平移 个单位得到的.T2.()(4)函数y= Acos(x + 6 )的最小正周期为 T,那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为()答案(1) X (2) X (3) V (4) V二、教材改编y=2sin 2x 一了的振幅、频率和初相分别为()兀. 2,4 % ,2工三'4兀'31 兀B 2, 4T 不D. 2,4 兀，-3由题意知 A= 2, f

4、=-= 7-=-, 初相为 .I 2兀 4兀3兀.为了得到函数 y=2sin 2x的图像，可以将函数y=2sin 2 x的图像()3向右平移"6个单位长度兀向右平移个单位长度 3向左平移"6个单位长度兀向左平移牙个单位长度 3x 7t兀y = 2sin 2x = 2sin 23 .如图，某地一天从 614时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin( wx+ 6 ) + b,则这段曲线的函数解析式为y=10sin 4-x+3JT +20, x 6,14从图中可以看出，从614时的是函数 y= Asin( 3 x +巾)84+ b的半个周期 .11所以 A= 2* (30 10)

5、 =10, b=-X (30+ 10) =20,p 1 2兀兀又 xX= 14 6,所以 3 = -t-.2co8又看 * 10+ 6=2 兀 + 2k 兀，kCZ,取 6 =?,所以 y=10sin p + ?+20, xC 6,14.4 .某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况：月份x1234收购彳格y(元/斤)6765选用一个函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为 兀、r> 0),由题意得A= 1, B= 6, T= 4,因为T=y= 6- cos-2x 设 y=Asin( cox+()+B(A>

6、;0,3兀兀兀所以W =,所以y= sin -2-x+ 6 +6.因为当x= 1时，y=6,所以6= sin万+ 6+6,结合表中数兀兀兀兀兀据得5 + 6 =2k 兀，k Z,可取所以 y= sin -yx- +6=6 cos yx.。考点1函数y= Asin( cox+ 6)的图像及变换(1) y= Asin( cox+ 6)的图像可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z= cox+ 6计算五点坐(2)由函数y = sin x的图像通过变换得到 y = Asin( cox+ 6 )图像有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.兀已知函数 y=2sin 2x+3".(1)用

7、“五点法”作出它在一个周期内的图像;兀(2) 一题多解说明y=2sin 2x+ -的图像可由y= sin x的图像经过怎样的变换而得到.解(1)描点画出图像，如图所示:兀再把 y = sin x+y兀兀(2)法一：把y=sin x的图像上所有的点向左平移 "3个单位长度，得到 y=sin x+y 的图像;、(兀不变)，得到y= sin 2x + 31、，一2倍(纵坐标兀最后把 y=sin 2x+w上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y =3兀2sin 2x+w的图像.3,一，1 ，一，一法一：将y= sin x的图像上所有点的横坐标缩短为原来的2倍（纵坐标不变），

8、得到y= sin 2 x的图像；兀兀兀再将y=sin 2 x的图像向左平移 个单位长度，得到 y= sin 2 x+ = sin 2x+ 的图像；2倍（横坐标不变），即得到兀.再将y= sin 2x + 的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的 32sin兀2x+的图像.3三角函数图像变换中的三个注意点（1）变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数;（2）要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图像，得到的是哪个函数的图像，切不可弄错方向;（3）要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y= Asin x至U y = Asin（ x+巾）的变换量是|加个单位，而函数 y =

9、 Asin cox至1Jy = Asin（ cox+ 6）时，变换量是 个单位.3A.C.1.要得到函数y= sin3 TT向左平移西个单位3 TT向左平移7个单位兀5x-的图像，只需将函数y= cos 5 x的图像（）B.向右平移D.向右平移函数 y= cos 5 x = sin7t7t5x+ =sin 5 x + y0 ,7t7ty=sin 5x =sin 5 x-20 ,设平移（|）个单位,则才兀20'3 7t 入、7 ,、元个单位3 7t 入、7 ,、个单位解得6=1；0，故把函数y= cos 5x的图像向右平移0个单位，可得函数y= sin 5x-4的图像.兀兀2 .右把函数

10、y = sinax "6的图像向左平移3个单位长度，所得到的图像与函数y=cos cox的图像重合，则3的一个可能取值是（）A. 23B.22C.31 D.-23 兀 兀A y = sin co x + % 和函数36y=cos 3X的图像重合，可得后兀下=攵+ 2", kez,则3 = 6k+ 2, kC Z.2是3的一个可能值.一一兀 一,一 一 兀 .3.将函数f(x)=sin 4x + 的图像向左平移 6(巾>0)个单位后，得到的图像关于直线x = 心对312称，则6的最小值为5兀何兀把函数f(x)=sin 4x+的图像向左平移 6( 6 >0)个单位后

11、,243_.兀兀 .，一.可得 y = sin 4 x+ 6+ = sin 4x+ 4()+ 的图像, 71.所得图像关于直线 x =万对称，4X行+ 4巾 +万=万+ (4 Z) ,6=7”Z)。考点2 由图像确定y = Asin( cox+巾)的解析式确定y = Asin( wx+(J) + B(A>0,3>0)的解析式的步骤 求A, B,确定函数白最大值 M最小值m则A= M2m, B- 券1(2)求3 ,确定函数的周期 T,则3(3)求6 ,常用方法有:代入法：把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入.五点法：确定6

12、值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口 .具体如下:“第一点”(即“第三图像上升时与 x轴的交点)为3X+巾=0； “第二点”(即图像的“峰点”“谷点”)为点”(即图像下降时与 X轴的交点)为3X+ 6 =兀；“第四点”(即图像的“第五点”(即图像上升时与 x轴的交点)为3X+ 6 =2兀.(1)函数f(x)=Asin( 3X+ 6 )的部分图像如图所示，则f(x)=TT前云(2)(2019 重 庆 六 校 联 考) 函f (x)Asin( x +713兀6)A, 3, 6是常数，A> 0, 3 >0, 0v 6万 的部分图像如图所示，则 f_之兀(1)2sin2x-yx/

13、6兀(2)2- (1)由题图可知，A= 2, T= 2 -716=兀，所以 3=2,由五兀点作图法可知2X5十7t7t6=万，所以6=9，所以函数的解析式为y=2sin兀2x-6 .,_ 一 ,1(2)由函数的图像可得A= *, 4X2兀 7 Tt 兀123,可得 3=2-r兀贝U 2X + (j)=7t+2k7t(ke7t7t故 f(x) =42sin7t7t2x+,所以 f -般情况下，3的值是唯一确定的,但6的值是不确定的,如果求出的巾的值不在指定范围内,可以通过加减 红的整数倍达到目的.在用“零点”求 36时，务必关注三角函数在该点附近的图像变趋势.脚典迎1.(2019 开封模拟)如果

14、存在正整数3和实数6使得函数f(x)=sin 2( 3X+ 6)的图像如图所示(图像经过点(1,0),那么3的值为(A.)D. 4C.因为f(x) =sin 2( cox+ 6)=1 1cos 2( 3x+(),所以函数f(x)的最小正周期 T=醇=工,2 223，什T 13T由题图知2V i,且"4"> i,4即WTv2,又 3为正整数，所以 3的值为2,故选B.32.(2019 合肥模拟兀)函数f(x)=Asin( cox + 6) A> 0, |()|< 的图像如图所示，则下列说法正确的是()A.在区间R 13匚上单调递减66B.在区间7三，野上单调

15、递增1212C.在区间至112-上单调递减D在区间7613兀""6"上单调递增B 由题意得,A= 2T= 4X兀 兀一3127t兀. 一一一=2.当x = 12时取得最大值 2,所兀2sin 2X12+ 6 ,兀2x+.313兀时12'兀2x+35-2-,又由正弦函数 y = sin x的图像与性质可知，函数y= sin5 上单调递增，故函数7兀 13f(x)在 白，72-上单调递增.当xC7 Tt 13 Tt时,兀2x+ 37T一、一.一.-,所以函数的解析式为f(x)=2sin38兀B.14,由函数y=sin x的图像与性质知此区间上不单调，故选33.

16、兀已知函数f(x) =sin(兀x+ 8 ) | 0 | <的部分图像如图所示，且f(0)12'则图中m的值为4 因为 f (0) = sin 8 = 1,且 | 8 |3"，所以 0 = - T-,所以 f (x) = sin 兀 x一套，所以 f ( n) 32266=sin mu 一 "6 = 2,所以 nu = 2k 兀 + -6-, k C Z,所以 m= 2k+- , kC Z.又周期 T= 2,所以 0 Vm< 2,所以 m= 4. 3。考点3三角函数图像与性质的综合应用已知函数f(x)=，3sin 2cox + ： ( 3 >0)的

17、图像与x轴相邻两个交点的距离为-2.(1)求函数f(x)的解析式;兀(2)若将f(x)的图像向左平移 n(m>0)个单位长度得到函数 g(x)的图像恰好经过点一石，0 ,求当m取得最小值时，g(x)在一卷,72上的单调递增区间.,一一， 兀解(1)函数f(x)的图像与x轴相邻两个交点的距离为-2,得函数f(x)的最小正周期为T= 2x4 = 2-±,得3 = 1,22 co,L兀故函数f(x)的解析式为f(x)=>J3sin 2x + .(2)将f(x)的图像向左平移nmm> 0)个单位长度得到函数g(x)=，3sin 2 x+m +一 =，33兀兀sin 2x+2

18、m+w的图像，根据g(x)的图像恰好经过点一区, 0 ,33可得 q3sin 2 2m+ =0,即 sin 2m-=0,333所以 2m-?=k7t ( kC Z), m=等+高(kCZ), 326因为m> 0,，一一 一一一一 兀所以当k=0时，m取得最小值，且最小值为 .6此时，g(x) = 43sin 2x+-3-.因为xe 一曝,M ,所以2x + ?e工 . 612336当 2x+-3-, -2-,即 xC -6,时,g(x)单调递增,当2x+ 1e 9，生，即xC 5f, 72时，g(x)单调递增. 乙kJI乙I乙综上，g(x)在区间一，72上的单调递增区间是一"6

19、", 12和工，72.研究y=Asin( wx+ 6 )的性质时可将cox+ 6视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.1.(2019 全国卷n )若 xi = "4，x2=?是函数f(x)=sin 3 x( 3 >0)两个相邻的极值点，则 w =()A. 2B.3 C . 1D.122A 由题意及函数y=sin cox的图像与性质可知，13 717t2 兀-T'= -,T= % ,=兀,3 = 2.2443故选A.2. (2019 天津高考)已知函数f(x) = Asin( 3x+(J)(A>0,3 >0"(H v 兀)是奇函数

20、，将 y=f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2兀，且g卷=机则f3=()A. -2B. 2C. 2D. 2C f(x) = Asin( 3x+6)为奇函数,1- (J)= k7t,kez,又 | |<兀,()=0,.f(x)= Asin co x,3则g(x) =Asin yx .由g(x)的最小正周期T= 2 兀，得 2- = 2T-=1, ，3=2.又 g 4 = Asin -42,A= 2,3=2,故选 C.f(x) = 2sin 2 x, . f = 2sin 8论、逻辑推理与数学运算一一三角函数中

21、3的确定方法数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；而逻辑推理是得到数学结构建数学体系的重要方式.运算和推理贯穿于探究数学问题的始终，可交替使用，相辅相成.三角函数的周期 T与3的关系【例1】 为了使函数y = sin 3x(co>0)在区间0,1上至少出现50次最大值，则少的最A. 98 兀197B.-2-兀小值为199C.-2-兀D. 100 兀 1197197 2 兀B 由题意,至少出现50次最大值即至少需用49个周期,所以7T= V-兀.2兀评析解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T=与所给区间的关系，从而建立不等关系.三角函数的单调性与3的关系_ .一

22、一一 . 一兀 2 71 .一 . 一【例2一题多解右f (x) = 2sin 3x(>0)在区间一万,丁-上是增函数，则 w的取值氾围是.。，3 法一：因为 xC -y, 2 ( >0), 423所以ax e因为 f (x) = 2sin7122厂上是增函数,37t7t2-3 接一2,所以 2兀兀-T- 3 W 32兀要使f (x)在一万法二：画出函数f(x)=2sin 3x(>0)的图像如图所示.(3>。)，上是增函数，需2兀 兀 &323法二：由一"2" + 2k % <兀2k兀兀2'7+r<x<2'7+2k兀一(底 Z),3故f(x)的单调递增区间是兀2k兀2+2k兀十 丁(kJ),3由题意兀2,兀2k %2+7t2k%+3(kez, >0),从而有兀 2兀>,2 co 3 '即0V3W3.评析根据正弦函数的单调递增区间，确定函数f(x)的单调递增区间，根据函