二次函数中考压轴题平行四边形解析精选

1、二次函数中考压轴题(平行四边形)解析精选【例一】 (2013?嘉兴)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= (x - m) 2 - m2+m的顶点为A ,与y轴的交点为 B,连结AB , AC ±AB ,交y轴于点C,延长CA到点D,使AD=AC ,连结BD.作 AE / x 轴，DE / y 轴.(1)当m=2时，求点B的坐标；(2)求DE的长？(3)设点D的坐标为(x, y),求y关于x的函数关系式？过点D作AB的平行线，与第(3) 题确定的函数图象白另一个交点为P,当m为何值时，以，A, B, D, P为顶点的四边形是平行四边形？考点：二次函数综合题.专题：数形结合.分析：

2、(1)将m=2代入原式，得到二次函数的顶点式，据此即可求出B点的坐标；(2)延长EA,交y轴于点F,证出AFCAED,进而证出 ABFsDAE,利用相似三 角形的性质，求出 DE=4;(3)根据点A和点B的坐标，得到x=2m, y= - m2+m+4 ,将m=代入y= - m2+m+4 ,即可 求出二次函数的表达式； 作PQLDE于点Q,则DPQBAF,然后分(如图1)和(图2)两种情况解答.解答：解：(1)当 m=2 时，y= (x-2) 2+1 ,把 x=0 代入 y= (x - 2) 2+1 ,得：y=2 , 点B的坐标为(0, 2).(2)延长EA,交y轴于点F, AD=AC , ZA

3、FC= /AED=90 °, / CAF= / DAE , AAFCA AED ,AF=AE ,点 A (m, m2+m),点 B (0, m), AF=AE=|m| , BF=m - (- m2+m) =m2, / ABF=90 / BAF= / DAE , / AFB= / DEA=90 AABFA DAE , 幸,即：轧AF DE| 加 I DEDE=4 .(3);点A的坐标为(m, - m2+m),，点D的坐标为(2m, - m2+m+4),1- x=2m , y= - m2+m+4 ,y= ?+4,所求函数的解析式为:y=一1|T&2+x+4 作 PQXDE 于点

4、Q,则DPQBAF,(I )当四边形 ABDP为平行四边形时(如图 1),点P的横坐标为3m,点 P 的纵坐标为： ( m2+m+4) (m2) = - m2+m+4 ,把 P (3m, m2+m+4)的坐标代入 y=1-x2+x+4 得：1&-m2+m+4= _yj?>< (3m) 2+x (3m) +4,解得：m=0 (此时A, B, D, P在同一直线上，舍去)或 m=8.(n )当四边形 ABDP为平行四边形时(如图 2),点P的横坐标为m,点 P 的纵坐标为：(-m2+m+4) + (m2) =m+4 ,把P (m, m+4)的坐标代入 y= -Lx2+x+4得：

5、16m+4= m2+m+4 ,16解得：m=0 (此时A, B, D, P在同一直线上，舍去)或 m=- 8,综上所述：m的值为8或-8.点评：本题是二次函数综合题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意数形结合及 分类讨论.【例二】 已知抛物线的顶点为 A( 2,1),且经过原点O,与x轴的另一交点为Be(1)求抛物线的解析式；(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以 Q C D B四点为顶点的四边形为平行四边形，求 D点的坐标;(3)连接OA AB,如图，在x轴下方的抛物线上是否存在点 P,使得OBPj y (与4OAa目似？若存在，求出P点的坐标;若不存在，说明理

6、由【例三】 (2013阴目潭)如图，在坐标系 xOy中/jABC是等艘直角三角形,0), B (0, 2),抛物线y=Ex2+bx - 2的图象过Q点.(1)求抛物线的解析式;图OAC=90图“y>:AB xA(2)平移该抛物线的对称轴所在直线l.当l移动到何处时，恰好将4ABC的面积分为相等的两部分?(3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P,使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出 P点坐标；若不存在，说明理由.考点：二次函数综合题.分析：如解答图所示：(1)首先构造全等三角形 AOBCDA,求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物 线的解析式；(2)首先求出直线 BC与AC的解析

7、式，设直线l与BC、AC交于点E、F,则可求出EF的表达式；根据SACEF=7jSAABC ,列出方程求出直线l的解析式；(3)首先作出？PACB,然后证明点P在抛物线上即可.解答：解：(1)如答图1所示，过点C作CDx轴于点D,则/ CAD+ / ACD=90 °. / OBA+ / OAB=90 °, / OAB+ / CAD=90 °, / OAB= / ACD , / OBA= / CAD . .在4AOB 与4CDA 中，AAOB ACDA (ASA).CD=OA=1 , AD=OB=2 , . OD=OA+AD=3 , C (3, 1). 点 C(3,

8、 1)在抛物线 y=-=-x2+bx - 2 上，1= ； M+3b - 2,解得：b=一.抛物线的解析式为:y=-x22(2)在 RtAAOB 中,OA=1 , OB=2 ,由勾股定理得:AB=V5.Saabc =AB 2=22设直线 BC 的解析式为 y=kx+b, .B (0, 2), C (3, 1),.产1.3k+b=l解得 k= -士，b=2,y=x+2 . 3同理求得直线 AC的解析式为：y=x -.2 2如答图1所示,设直线l与BC、AC分别交于点1115 F；E、F,贝U EF= ( - -x+2) (x -) = x. 3222 G CEF 中，CE 边上的高 h=OD -

9、 x=3 - x.由题意得：Sacef=t;Saabc , 2即：#F?h=H ABC, 一 2|x)? (3 -x)制微,整理得：(3-x) 2=3,解得x=3 - d三或x=3+正(不合题意，舍去)， 当直线l解析式为x=3-6时，恰好将4ABC的面积分为相等的两部分.(3)存在.如答图2所示，过点 C 作 CGy 轴于点 G,贝U CG=OD=3 , OG=1 , BG=OB - OG=1 .过点A作AP II BC,且AP=BC ,连接BP,则四边形PACB为平行四边形.过点P作PHx轴于点H,则易证 PAHBCG,PH=BG=1 , AH=CG=3 ,OH=AH -OA=2 P (-

10、 2, 1).抛物线解析式为：y=lx2-lx-2,当x=-2时，y=1,即点P在抛物线上.，存在符合条件的点 P,点P的坐标为(-2, 1).点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数 法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形等知识点.试题难度不大，但需要仔细分析， 认真计算.【例四】 (2013?盘锦)如图，抛物线 y=ax2+bx+3与x轴相交于点 A (- 1, 0)、B (3, 0),与y轴相交于点C,点P为线段OB上的动点(不与 O、B重合)，过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F,点D在y轴正半轴上，OD=2 ,连

11、接DE、OF.(1)求抛物线的解析式；(2)当四边形 ODEF是平行四边形时，求点 P的坐标；(3)过点A的直线将(2)中的平行四边形 ODEF分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式.(不必说明平分平行四边形面积的理由)考点：二次函数综合题.分析：(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)平行四边形的对边相等，因此 EF=OD=2 ,据此列方程求出点 P的坐标；(3)本问利用中心对称的性质求解.平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点(或对角线的中点)，过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点 A与？ODEF 对称中心的直线平分？ODEF的面积.解答：解：(1)二.点

12、 A (- 1, 0)、B (3, 0)在抛物线 y=ax2+bx+3 上，Ta-b+5=019己+3b+3=0解得 a= - 1, b=2 , .抛物线的解析式为：y= - x2+2x+3 .(2)在抛物线解析式 y= - x2+2x+3 中，令 x=0,得 y=3 ,C (0, 3).设直线BC的解析式为y=kx+b ,将B (3, 0), C (0, 3)坐标代入得：解得 k= - 1 , b=3,y= x+3.设 E 点坐标为(x, x2+2x+3),则 P (x, 0), F (x, x+3), EF=yE - yF= - x2+2x+3 - (-x+3) = - x2+3x . 四

13、边形ODEF是平行四边形，EF=OD=2 , x2+3x=2，即 x2 3x+2=0 ,解得x=1或x=2 ,.P点坐标为(1, 0)或(2, 0).(3)平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点(或对角线的中点)，过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点A与？ODEF对称中心的直线平分？ODEF的面积.当P (1, 0)时，点F坐标为(1, 2),又D (0, 2),设对角线DF的中点为G,则G (1, 2).2设直线AG的解析式为y=kx+b，将A ( - 1, 0), G (工2)坐标代入得：|2|-k+b=O* 1 ,小+b：2解得k=b='，问4 4所求直

14、线的解析式为：y=-x+;当P (2, 0)时，点F坐标为(2, 1),又D (0, 2),设对角线DF的中点为G,则G (1, E).2设直线AG的解析式为y=kx+b，将A ( - 1, 0), G (1, <)坐标代入得：2r - k+b=or+b=i，解得k=b=金， 所求直线的解析式为：y=x+-.4 4综上所述，所求直线的解析式为：y=1x+-或y=x+ .点评：本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、平行四边形的性质、中心对称的性质等知识点.第(3)问中，特别注意要充分利用平行四边形中心对称的性质, 只要求出其对称中心的坐标，即可利用待定系数法求出

15、所求直线的解析式.A (j, 0)和【例五】 (2013?沈阳)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y旦？x2+bx+c经过点5点B ( 1, 2的)，与x轴的另一个交点为 C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D在对称轴白右侧，x轴上方的抛物线上，且 / BDA= / DAC ,求点D的坐标;(3)在(2)的条件下，连接 BD,交抛物线对称轴于点 E,连接AE.判断四边形 OAEB的形状，并说明理由；点F是OB的中点，点M是直线BD的一个动点，且点M与点B不重合，当/ BMF='/ MFO时,请直接写出线段BM的长.考点：二次函数综合题.分析：(1)利用待定系数法求出抛物线的函数表达式

16、；(2)由/ BDA= / DAC ,可知BD / x轴，点B与点D纵坐标相同，解一元二次方程求出点D的坐标；(3)由BE与OA平行且相等，可判定四边形 OAEB为平行四边形;点M在点B的左右两侧均有可能，需要分类讨论.综合利用相似三角形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，求出线段BM的长度.解答:解：（1）将A巨0）、B （1, 2及）代入抛物线解析式x2+bx+c,得:解得：，42立7=%2-+些55(2)当/ BDA= / DAC 时，BD / x 轴.- B (1, |2V2),当y= 28时, 一 Lx2 x+二 55解得：x=1或x=4 ,D (4, |2V2).(3)四边形OAE

17、B是平行四边形.理由如下：抛物线的对称轴是x-L xBE- -BE- A (-|, 0),3OA=BE.2又 BE / OA ,四边形OAEB是平行四边形.-.O （0, 0）, B （1, 2®, F 为 OB 的中点，F 4,血）.过点 F 作 FNL直线 BD 于点 N,则 FN=2/2 -V2=/2, BN=1 2 2在RtBNF中，由勾股定理得：BF=Jbn，+ fM暇 / BMF弓/ MFO ,/ MFO= / FBM+ / BMF , / FBM2 / BMF .（I）当点M位于点B右侧时.在直线 BD上点B左侧取一点 G,使BG-BF金，连接FG,则GN=BG - B

18、N=1 ,2在RtAFNG中，由勾股定理得：FG-JgN2+fM=6. BG-BF , ZBGF- Z BFG .又 / FBM= / BGF+ / BFG=2 / BMF ,/ BFG= / BMF ,又,：乙 MGF= / MGF ,. GFBsGMF ,BM=工； 2(II)当点M位于点B左侧时.设BD与y轴交于点K,连接FK,则FK为RtAKOB斜边上的中线，KF=OB=FB=W 22/ FKB= / FBM=2 / BMF ,又 / FKB= / BMF+ / MFK ,/ BMF= / MFK ,MK=KF=,3|5BM=MK+BK= +1=.22综上所述，线段 BM的长为或生.

19、2 2点评：本题是中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解方程、相似三角形、等腰三角形、平行四边形、勾股定理等知识点.难点在于第(3)问，满足条件的点 M可能有两种情形，需要分类讨论，分别计算，避免漏解.【例六】 如图，抛物线经过 A( 1,0),B(5,0),C(0, $三点.(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上有一点 P,使PA+PC勺值最小，求点P的坐标;(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N的坐标；若不存在，请说明理由解析：解：(1)设抛物线的解析(第26题图)解得b12,2,52a

20、 b c25a 5b(第26题图)0, c抛物线的解析式为:2x（3分）(2)由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC交抛物线的对称轴于点P,则p点即为所求.设直线BC的解析式为ykx由题意,5k得bb 0,5.2解得1,252BC的解析式为（6分）抛物线y 1x222x5的对称轴是x 2,二当x 2时，y.，点P的坐标是（2, |）.（7分）（8分）(3)存在(i)当存在的点N在x轴的下方时，如图所示，二,四边形ACN谑平行四边形，.,.CN/ x轴，点C与5点N关于对称轴x=2对称，= C点的坐标为(0,万)，.点N的坐标为（11 分）(II)当存在的点 N在x轴上方时，如图

21、所示，作 NH x轴于点H, 四边形 ACM'N'是平行四边形，AC MN, N M H CAO , Rt CAO RtA N M H , N H OC .5，55点C的坐标为（0, -）, NH ,，即N点的纵坐标为 -,1 2 -55-2x 2x ,即 x 4x 10 02 2 2解得 X 2 .14, x2 2 .14.55、，点N的坐标为（2 /4,_）和（2 出4,）.22综上所述，满足题目条件的点N共有三个，分别为（4, 2）. , （2 而,|）, （2 内,|） （13分）26. （2013山西，26, 14分）（本题14分）综合与探究：如图，抛物线y = lx

22、2-x- 4与x轴交于A,B两点（点B在点A的右侧）与y轴交于点C,连接BC,以BC为一边，点。为对称中心作菱形BDEG点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m, 0）,过点P作x轴的垂线l交抛物线于点、条?耀麟哪区去口（1）求点A,B,C的坐标。（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD, BC于点M,N0试探究m为何 值时，四边形CQMD平行四边形，此时，请判断四边形CQBM勺形状，并说明理由。（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q,使BDQ直角三角形，若存在， 请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。解析：（1）当 y=0 时，1x2-3x-4 = 0,解得，x1=-2，x2=8点B在点A的右侧, 点A,B的