人教A版高中数学必修5第二章数列2.2等差数列习题

1、高效演练知能提升A级基础巩固一、选择题1 .在等差数列an中，ai + a9=10,则a5的值为()A. 5B. 6C. 8D. 10解析：由等差数列的性质，得ai + a9=2a5,又因为 ai + a9=10,即 2a5 =10,所以a5 = 5.答案：A2 .数列an满足 3+an = an+i 且 a2 + a4+ a6=9,则 log6(as+a7+a9)的 值是()ACi 1-CjA . - 2B. 2C.2D2解析：因为an+1an = 3,所以an为等差数列，且d=3.a2+a4+ a6 = 9=3a4, 所以 a4 = 3,a5+ a7+ a9 = 3a7= 3(a4+ 3d

2、)= 3(3+ 3x 3)= 36, 所以 Iog6(a5 + a7+ a9)= log636= 2.答案：C3 .由公差d#0的等差数列白，a2,，an组成一个新的数列a1 + a3, a2+a4, a3 + a5,下列说法正确的是()A.新数列不是等差数列B.新数列是公差为d的等差数列C.新数列是公差为2d的等差数列D.新数列是公差为3d的等差数列解析：因为(an+1 +an 3) (an + an+2) = (an+1 an) + (an 3an+2) = 2d,所以数列& + a3, a2+ a4, a3 + a5,是公差为2d的等差数列.答案：C4.在数列an中，a3 = 2

3、a7=1,如果数列1-rv7是等差数列，那么an十1aii等于（A.13B.2c.3D. 1解析:依题意得a3+ 1 + an+ 1所以an+11+1 2+1 3' ,1所以a11 = 2.答案：B5 .莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较、一,1 一，、一 ,一 ，一 ，的三份之和的7是较小的两份之和，则最小的一份的量为（）A.2个b.4个C.5个3D.5个6解析：易得中间的一份为20个面包，设最小的一份的量为 a1,公差1d(d>0),根据题思，有20 + (a1 + 3d) + (a1 + 4

4、d)行=a1+(aid),解得5 a1 = 3.故最小一份的量为5个.3答案：C二、填空题6 .在等差数列an中，a3, a10是方程x2 3x 5=0的根，则%+a8解析：由已知得a3+aio=3.又数列an为等差数列，所以 a5 + a8= a3+aio= 3.答案：37 .正项数列an满足 ai = 1, a2 = 2, 2a2 = an+i + an i(n 6 N*, n>2), 贝 U a7=.解析：由2a2 = an+i + ali(n6 N*, nA2),可得数列a2是等差数列， 公差 d=a2a2=3,首项 a1=1,所以 a2 = 1 + 3(n1)=3n2,又an为

5、 正项数列，所以 an = 43n 2,所以 a7 =，T9.答案：回8 .已知数列an满足ai = 1,若点胃，占 在直线xy+1 = 0上，贝！J an =解析：由题设可得詈+1 = 0,即亘u真=1,所以数列an是以i为公差的等差数列，且首项为1,n+1 nn故通项公式a1 = n,所以an=n2.答案：n2三、解答题9 .已知等差数列an中,aia4+ a7=15, a2a4a6= 45,求此数列的通项公式.解：法一i 因为 a + a7= 2a4, a1+a4+a7= 3a4= 15,所以a4=5.又因为 a2a4a6 = 45,所以 a2a6= 9,即(a42d)(a4+2d) =

6、 9,(52d)(5 + 2d) = 9, 解得d=m右 d = 2, an = a4 + (n 4)d=2n 3;右 d = 2, an = a4 + (n 4)d = 13 2n.法二设等差数列的公差为d,则由 ai + a4+a7=15,得ai + ai+ 3d+ ai +6d=15,即 a1+3d=5,由 a2a4a6 = 45,得(a1 + d)(a1 + 3d)(a1 + 5d) = 45,将代入上式，得(ai + d)X5X(5 + 2d) = 45,即(ai + d)x(5+2d)=9,解，组成的方程组，得 ai=1, d=2或ai=11, d= 2,即 an = 1 + 2(

7、n 1) = 2n 3,或 an=11-2(n-1)=-2n+13.10 .四个数成递增等差数列，中间两数的和为2,首末两项的积为一8, 求这四个数.解：设这四个数为a 3d, a d, a+ d, a+3d(公差为2d),依题意，2a=2,且(a 3d)(a+3d) = 8,即 a=1, a2 9d2= - 8,所以d2=1,所以d=1或d=1.又四个数成递增等差数列，所以 d>0,所以d=1,故所求的四个数为一2, 0, 2, 4.B级能力提升1 一，1.右方程(x2 2x+m)(x22x+n) = 0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m n|=()A. 1B.341 QC.2D

8、.8解析：设方程的四个根ai, a2, a3, a4依次成等差数列，则 ai + a4 = a2 + a3= 2,再设此等差数列的公差为d,则2ai + 3d = 2,一.1 .1因为a1=4，所以d=2，一1 1 3所以 a2 = %2=4，a3=+ 1=5,4413 7a4=4+ 2=4， 1 7 3 51所以 |m 一n|=|a1a4a2a3|= 4X44X4 =2.答案：C2.已知圆的方程为 x2+y2 6x = 0,过点(1, 2)的该圆的三条弦的长 a1,a3构成等差数列，则数列a1, a2, a3的公差的最大值是 解析：如图，由 x2 + y2 - 6x = 0,得(x 3)2

9、+ y2 = 9,所以圆心坐标C(3, 0),半径r=3,由圆的性质可知，过点 P(1, 2)的该圆的弦的最大值为圆的直径，等 于6,最小值为过P且垂直于CP的弦的弦长，因为|CP| = « (3-1) 2+ (0-2) 2 = 2 2,所以 |AB| = 232- (2,2) 2 = 2,即 a1= 2, a3= 6,a3 ai6 2所以公差d的最大值为一2=2=2.答案：23.在数列an中，a1 = 1, 3anan 1 + an an 1=0(nA2, n6 N ).(1)求证：数列 ；是等差数列;an(2)求数列an的通项公式.(1)证明：由 3anan 1 + an an 1 = 0,11得an-r-3(n