历年自考04184线性代数试题真题及答案分析解答

1、全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1已知2阶行列式，则（ B ）ABCD2设A , B , C均为n阶方阵，则（ D ）ABCD3设A为3阶方阵，B为4阶方阵，且，则行列式之值为（ A ）ABC2D84，则（ B ）ABCD5已知A是一个矩阵，下列命题中正确的是（ C ）A若矩阵A中所有3阶子式都为0，则秩(A)=2B若A中存在2阶子式不为0，则秩(A)=2C若秩(A)=2，则A中所有3阶子式都为0D若秩(A)=2，则A中所有2阶子式都不为06下列命题中错误的是（ C ）A只含有1个零向量的向量组线性相关B由3

2、个2维向量组成的向量组线性相关C由1个非零向量组成的向量组线性相关D2个成比例的向量组成的向量组线性相关7已知向量组线性无关，线性相关，则（ D ）A必能由线性表出B必能由线性表出C必能由线性表出D必能由线性表出注：是的一个极大无关组8设A为矩阵，则方程组0只有零解的充分必要条件是A的秩（ D ）A小于mB等于mC小于nD等于n注：方程组0有n个未知量9设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（ A ）ABCD，所以A与有相同的特征值10二次型的正惯性指数为（ C ）A0B1C2D3，正惯性指数为2二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11行列式的值为12设矩阵，则13设，若

3、向量满足，则14设A为n阶可逆矩阵，且，则15设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组0的解，则个方程、个未知量的0有非零解，则016齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为，基础解系所含解向量的个数为17设n阶可逆矩阵A的一个特征值是，则矩阵必有一个特征值为A有特征值，则有特征值，有特征值18设矩阵的特征值为，则数由，得219已知是正交矩阵，则由第1、2列正交，即它们的内积，得020二次型的矩阵是三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算行列式的值解：22已知矩阵，求（1）；（2）解：（1）；（2）注意到，所以23设向量组，求向量组的秩及一个极

4、大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量解：，向量组的秩为3，是一个极大无关组，24已知矩阵，（1）求；（2）解矩阵方程解：（1）（2）25问a为何值时，线性方程组有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）解：时，有惟一解，此时时，有无穷多解，此时，通解为，其中为任意常数26设矩阵的三个特征值分别为，求正的常数a的值及可逆矩阵P，使解：由，得，对于，解：，取；对于，解：，取；对于，解：，取令，则P是可逆矩阵，使四、证明题（本题6分）27设A，B，均为n阶正交矩阵，证明证：A，B，均为n阶正交阵，则，所以全国2010年7

5、月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1设3阶方阵，其中（）为A的列向量，若，则（ C ）ABC6D122计算行列式（ A ）ABC120D1803若A为3阶方阵且，则（ C ）AB2C4D8，4设都是3维向量，则必有（ B ）A线性无关B线性相关C可由线性表示D不可由线性表示5若A为6阶方阵，齐次方程组0基础解系中解向量的个数为2，则（ C ）A2B3C4D5由，得46设A、B为同阶方阵，且，则（ C ）AA与B相似BCA与B等价DA与B合同注：A与B有相同的等价标准形7设A为3阶方阵，其特征值分别为，则（ D ）A0B2C3D2

6、4的特征值分别为，所以8若A、B相似，则下列说法错误的是（ B ）AA与B等价BA与B合同CDA与B有相同特征值注：只有正交相似才是合同的9若向量与正交，则（ D ）AB0C2D4由内积，得410设3阶实对称矩阵A的特征值分别为，则（ B ）AA正定BA半正定CA负定DA半负定对应的规范型，是半正定的二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11设，则12设A为3阶方阵，且，则13三元方程的通解是，通解是14设，则与反方向的单位向量是15设A为5阶方阵，且，则线性空间的维数是的维数等于基础解系所含向量的个数：1617若A、B为5阶方阵，且只有零解，且，则只有零解，所以可逆，从而18实

7、对称矩阵所对应的二次型19设3元非齐次线性方程组有解，且，则的通解是是的基础解系，的通解是20设，则的非零特征值是由，可得，设的非零特征值是，则，三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算5阶行列式解：连续3次按第2行展开，22设矩阵X满足方程，求X解：记，则，23求非齐次线性方程组的通解解：，通解为，都是任意常数24求向量组，的秩和一个极大无关组解：，向量组的秩为2，是一个极大无关组25已知的一个特征向量，求及所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量解：设是所对应的特征值，则，即，从而，可得，；对于，解齐次方程组：，基础解系为，属于的全部特征向量为，为任意非零实数

8、26设，试确定使解：，时四、证明题（本大题共1小题，6分）27若是（）的线性无关解，证明是对应齐次线性方程组的线性无关解证：因为是的解，所以，是的解；设，即，由线性无关，得，只有零解，所以线性无关全国2011年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：本卷中，1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，（）表示向量与的内积，E表示单位矩阵，表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设行列式=4，则行列式=（ ）A.12B.24C.36D.482.设矩阵A，B，C，X为同阶方阵，且A，B可逆，则矩阵（ ）111111C113.已知

9、A20，则矩阵1=（ ）4.设是四维向量，则（ ）A.一定线性无关B.一定线性相关C.一定可以由线性表示D.一定可以由线性表出5.设A是n阶方阵，若对任意的n维向量x均满足0,则（ ）0(A)D.0<r(A)<(n)6.设A为n阶方阵，r(A)<n，下列关于齐次线性方程组0的叙述正确的是（ ）0只有零解0的基础解系含r(A)个解向量0的基础解系含(A)个解向量0没有解7.设是非齐次线性方程组的两个不同的解，则（ ）A.是的解B.是的解C.是的解D.是的解8.设，为矩阵的三个特征值，则=（ ）A.20B.24C.28D.309.设P为正交矩阵，向量的内积为（）=2，则（）=（

10、）A.B.1C.D.210.二次型f(x123)=的秩为（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.行列式=0，则.12.设，k为正整数，则.13.设2阶可逆矩阵A的逆矩阵1=，则矩阵.14.设向量=（6，-2，0，4），=（-3，1，5，7），向量满足，则.15.设A是m×n矩阵，0,只有零解，则r(A).16.设是齐次线性方程组0的两个解，则A（3）.17.实数向量空间（x123）123=0的维数是.18.设方阵A有一个特征值为0，则3.19.设向量（-1，1，-3），（2，-1，）正

11、交，则.20.设f(x123)=是正定二次型，则t满足.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算行列式 22.设矩阵，对参数讨论矩阵A的秩.23.求解矩阵方程24.求向量组：，的一个极大线性无关组，并将其余向量通过该极大线性无关组表示出来.25.求齐次线性方程组的一个基础解系及其通解.26.求矩阵的特征值和特征向量.四、证明题（本大题共1小题，6分）27.设向量，.,线性无关，1<jk. 证明：+，,线性无关.全国2011年1月高等教育自学考试线性代数（经管）试题参考答案课程代码：04184 三、计算题解：原行列式全国2011年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试

12、题课程代码：04184说明：表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1下列等式中，正确的是（ ）AB3=C5D2下列矩阵中，是初等矩阵的为（ ）ABCD3设A、B均为n阶可逆矩阵，且，则1是（ ）ABCD4设A为3阶矩阵，A的秩r (A)=3，则矩阵A*的秩r (A*)=（ ）A0B1C2D35设向量，若有常数使，则（ ）A1, 2B1, 2C1, 2D1, 26向量组的极大线性无关组为（ ）

13、ABCD7设矩阵，那么矩阵A的列向量组的秩为（ ）A3B2C1D08设是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于（ ）ABCD9设矩阵，则A的对应于特征值的特征向量为（ ）A（0，0，0）TB（0，2，-1）TC（1，0，-1）TD（0，1，1）T10二次型的矩阵为（ ）ABCD二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11行列式.12行列式中第4行各元素的代数余子式之和为.13设矩阵，（1，2，3），则.14设3阶方阵A的行列式，则3.15设A，B为n阶方阵，且，11，则A22.16已知3维向量=（1，-3，3），（1，0，-1）则+3.17设向量=（1，2，3，4），则的单

14、位化向量为.18设n阶矩阵A的各行元素之和均为0，且A的秩为1，则齐次线性方程组0的通解为.19设3阶矩阵A与B相似，若A的特征值为，则行列式1.20设是正定矩阵，则a的取值范围为.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21已知矩阵，求：（1）；（2）.22设，且满足，求矩阵X.23求向量组=（1, 2, 1, 0）T，=（1, 1, 1, 2）T，=（3, 4, 3, 4）T，=（4, 5, 6, 4）T的秩与一个极大线性无关组.24判断线性方程组是否有解，有解时求出它的解.25已知2阶矩阵A的特征值为=1，=9，对应的特征向量依次为=（-1，1）T，=（7，1）T，求矩阵A.2

15、6已知矩阵A相似于对角矩阵=，求行列式的值.四、证明题（本大题共6分）27设A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵.证明：（1）为对称矩阵；（2）为反对称矩阵.全国2011年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：本卷中，表示方阵A的转置钜阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1设，则=（）A-49B-7C7D492设A为3阶方阵，且，则（）A-32B-8C8D323设A，B为n阶方阵，且，则下列命题正确的是（）A（）B（）CA2是对称矩阵DB2是对称阵4设A，B，X，Y都是n阶方阵，

16、则下面等式正确的是（）A若A2=0，则0B（）22B2C若，则D若，则5设矩阵，则秩（A）=（）A1B2C3D46若方程组仅有零解，则（）A-2B-1C0D27实数向量空间（x1，x2，x3）13=0的维数是（）A0B1C2D38若方程组有无穷多解，则=（）A1B2C3D49设，则下列矩阵中与A相似的是（）ABCD10设实二次型，则f（）A正定B不定C负定D半正定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11设(-1,1,2)T，(0,2,3)T,则.12设三阶矩阵，其中为A的列向量，且2，则13设，且秩(A)=3，则应满足.14矩阵

17、的逆矩阵是.15三元方程x13=1的通解是.16已知A相似于，则.17矩阵的特征值是.18与矩阵相似的对角矩阵是.19设A相似于，则A4.20二次型f(x123)1x21x32x3的矩阵是.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算4阶行列式.22设，而X满足2，求X.23求向量组：的秩，并给出该向量组的一个极大无关组，同时将其余的向量表示成该极大无关组的线性组合.24当为何值时，齐次方程组有非零解？并求其全部非零解.25已知1,11是三阶实对称矩阵A的三个特征值，向量、是A的对应于的特征向量，求A的属于的特征向量.26求正交变换，化二次型f(x123)=2x1x2+2x1x3

18、-2x2x3为标准形.四、证明题（本大题6分）27设线性无关，证明也线性无关.全国2011年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题 答案课程代码：04184全国2011年10月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184说明：在本卷中，表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵。 表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设3阶方阵A的行列式为2，则( )1B.C.D.12.设则方程的根的个数为（ ）A.0B.1C.2D.33.设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若则必有（ ）A

19、.B. C. D. 4.设是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是（ ）A.B.C.D.5.设其中则矩阵A的秩为（ ）A.0B.1C.2D.36.设6阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A*的秩为（ ）A.0B.2C.3D.47.设向量=（1，-2，3）与=（2，k，6）正交，则数k为（ ）104C.3D.108.已知线性方程组无解，则数( )A.B.0C.D.19.设3阶方阵A的特征多项式为则( )186C.6D.1810.若3阶实对称矩阵是正定矩阵，则A的3个特征值可能为（ ）1，-2，-31，-2，31，2，3D.1，2，3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11.设行列式其第3

20、行各元素的代数余子式之和为.12.设则.13.设A是4×3矩阵且则.14.向量组（1，2）,（2，3）（3，4）的秩为.15.设线性无关的向量组1，2，r可由向量组1，2，,s线性表示，则r与s的关系为.16.设方程组有非零解，且数则.17.设4元线性方程组的三个解1，2，3，已知则方程组的通解是.18.设3阶方阵A的秩为2，且则A的全部特征值为.19.设矩阵有一个特征值对应的特征向量为则数.20.设实二次型已知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.设矩阵其中均为3维列向量，且求22.解矩阵方程23.设向量组1=（1，

21、1，1，3）T，2=（-1，-3，5，1）T，3=（3，2，-1，2）T，4=（3，2，-1，2）T问p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组.24.设3元线性方程组,（1）确定当取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.25.已知2阶方阵A的特征值为及方阵（1）求B的特征值；（2）求B的行列式.26.用配方法化二次型为标准形，并写出所作的可逆线性变换.四、证明题(本题6分)27.设A是3阶反对称矩阵，证明全国2012年1月自考线性代数(经管类)试题课程代码：04184说明：本卷

22、中，1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，表示向量的长度，T表示向量的转置，E表示单位矩阵，表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1设行列式=2，则=（）A-6B-3C3D62设矩阵A，X为同阶方阵，且A可逆，若A（），则矩阵（）A1BCD13设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是（）A可逆，且其逆为B不可逆C可逆，且其逆为D可逆，且其逆为4设1，2，k是n维列向量，则1，2，k线性无关的充分必要条件是A向量组1，2，k中任意两个向量线性无关B存在一组不全为0的数l1，l2，使得l1122+0C向量组1，2，k中存在一个向量不能由其余向量线性

23、表示D向量组1，2，k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5已知向量则=（）A（0，-2，-1，1）TB（-2，0，-1，1）TC（1，-1，-2，0）TD（2，-6，-5，-1）T6实数向量空间(x, y, z)|3250的维数是（）A1B2C3D47设是非齐次线性方程组的解，是其导出组0的解，则以下结论正确的是A+是0的解B+是的解C-是的解D-是0的解8设三阶方阵A的特征值分别为，则1的特征值为（）ABCD2,4,39设矩阵，则与矩阵A相似的矩阵是（）ABCD10以下关于正定矩阵叙述正确的是（）A正定矩阵的乘积一定是正定矩阵B正定矩阵的行列式一定小于零C正定矩阵的行列式一定大于零D正定

24、矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。11设 (A)1， (B)=2，且A，B为同阶方阵，则 ()3)12设3阶矩阵，B为3阶非零矩阵，且0，则13设方阵A满足，这里k为正整数，则矩阵A的逆114实向量空间的维数是15设A是m×n矩阵，r (A),则0的基础解系中含解向量的个数为16非齐次线性方程组有解的充分必要条件是17设是齐次线性方程组0的解，而是非齐次线性方程组的解，则18设方阵A有一个特征值为8，则（-8）19设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则20二次型的正惯性指数是三、计算题（本

25、大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算行列式22设矩阵，且矩阵B满足14A11，求矩阵B23设向量组求其一个极大线性无关组，并将其余向量通过极大线性无关组表示出来24设三阶矩阵，求矩阵A的特征值和特征向量25求下列齐次线性方程组的通解26求矩阵的秩四、证明题（本大题共1小题，6分）27设三阶矩阵的行列式不等于0，证明：线性无关全国2012年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184说明：在本卷中表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.一、 单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设行列式

26、=2,则=(D)126C.6D.122.设矩阵,则A*中位于第1行第2列的元素是(A)63C.3D.63.设A为3阶矩阵，且3，则=( B )A.3B.C.D.34.已知43矩阵A的列向量组线性无关，则的秩等于( C )A.1B.2C.3D.45.设A为3阶矩阵 =,则用P左乘A，相当于将A ( A )A.第1行的2倍加到第2行B.第1列的2倍加到第2列C.第2行的2倍加到第1行D.第2列的2倍加到第1列6.齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为( B )A.1B.2C.3D.47.设4阶矩阵A的秩为3，为非齐次线性方程组的两个不同的解，c为任意常数，则该方程组的通解为( A )A.B.C

27、.D.8.设A是n阶方阵，且|530，则A必有一个特征值为( B )A.B.C.D.9.若矩阵A与对角矩阵相似，则A3=( C )10.二次型f =是( D )A.正定的B.负定的C.半正定的D.不定的二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11.行列式16.12.设3阶矩阵A的秩为2，矩阵P =，Q =，若矩阵 ,则r(B)2.13.设矩阵，则.14.向量组=(1,1,1,1)(1,2,3,4)(0,1,2,3)的秩为2.15.设,是5元齐次线性方程组=0的基础解系，则r(A)3.16.非齐次线性方程组 的增广矩阵经初等行变换化为，则方程组的通解是.17.设A为3阶矩阵，若A的三

28、个特征值分别为1，2，3，则6.18.设A为3阶矩阵，且6，若A的一个特征值为2，则A*必有一个特征值为3.19.二次型的正惯性指数为2.20.二次型经正交变换可化为标准形.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算行列式D =22.设，矩阵X满足关系式,求X.23.设均为4维列向量，（）和（）为4阶方阵.若行列式4，1，求行列式的值.24.已知向量组=(1,2,1,1)(2,0,0)(0,4,5,2)(3,241)T（其中t为参数），求向量组的秩和一个极大无关组.25.求线性方程组.（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）26.已知向量(1,1,1)T，求向量,使两两正

29、交.四、证明题（本题6分）27.设A为实矩阵，为正定矩阵.证明：线性方程组0只有零解.全国2012年7月自考线性代数(经管类)试题课程代码:04184国2012年10月自考线性代数(经管类)试题课程代码：04184说明：本卷中，1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，表示向量的长度，T表示向量的转置，E表示单位矩阵，表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设行列式=2，则=（ ）A-6B-3C3D62设矩阵A，X为同阶方阵，且A可逆，若A（），则矩阵（ ）