有关圆,椭圆,双曲线,抛物线的详细知识点

1、<一>圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2，圆心O（a，b），半径r。（1）圆的一般式方程： x2+y2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系 ：配方化为标准方程：（x+D/2）2.+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4 其圆心坐标：（-D/2,-E/2） 半径为r=（D2+E2-4F）/2 此方程满足为圆的方程的条件是: D2+E2-4F>0 若不满足,则不可表示为圆的方程 （2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆 (xa)2+(yb) 2=r2的位置关系： 当(x1a)2+(y1b) 2>r2时，则点P在圆外。 当(x1a)2+(y1b)

2、 2=r2时，则点P在圆上。 当(x1a)2+(y1b) 2<r2时，则点P在圆内。圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是： 1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x2+y2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下： 如果b2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。 如果b2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。 如果b2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直

3、线相离。 2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x2+y2+Dx+Ey+F=0化为 (xa)2+(yb) 2=r2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么： 当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离； 当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交； 半径r，直径d 在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)2+(y-b)2=r2; x2+y2+Dx+Ey+F=0 => (x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4 => 圆心坐标为(-D/2,-E/2)

4、其实只要保证X方Y方前系数都是1 就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2) 这可以作为一个结论运用的 且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x2/a2+y2/b2=1，(a>b>0)； 当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y2/a2+x2/b2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦

5、距为2*(a2-b2）0.5，焦距与长、短半轴的关系：b2=a2-c2，准线方程是x=a2/c和x=-a2/c ，c为椭圆的半焦距。 又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx2+ny2=1(m>0，n>0，mn）。即 F点在Y轴标准方程的统一形式。 椭圆的面积是ab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acos ， y=bsin 标准形式的椭圆在（x0，y0）点的切线就是 ：xx0/a2+yy0/b2=1。椭圆切线的斜率是：-by0/ax0，这个可以通过很复杂的代数计算得到。 椭圆的一般方程Ax2+By2+Cx+Dy+E=0（A>

6、0，B>0，且AB）。 椭圆的参数方程x=acos ， y=bsin。 椭圆的极坐标方程（一个焦点在极坐标系原点，另一个在=0的正方向上） r=a（1-e2）/（1-ecos） （e为椭圆的离心率）平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a>|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆。 即：PF1+PF2=2a 其中两定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离F1F2=2c<2a叫做椭圆的焦距。 长轴长| A1A2 |=2a； 短轴长 | B1B2 |=2b。第二定义平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e（即椭圆的离心率，e=c/a）的点的集合（定点F不在定直线

7、上，该常数为小于1的正数）其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是x=±a2/c焦点在X轴上；或者y=±a2/c焦点在Y轴上）。椭圆的面积公式S=（圆周率）×a×b（其中a,b分别是椭圆的长半轴，短半轴的长）。 或S=（圆周率）×A×B/4（其中A,B分别是椭圆的长轴，短轴的长）。 椭圆的周长公式椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。 椭圆周长（L）的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如 L = 0，/24a * sqrt（1-(e*cost)&sup2;)dt2（a&sup2;+b&

8、;sup2;)/2） 椭圆近似周长，其中a为椭圆长半轴，e为离心率 椭圆离心率的定义为椭圆上焦距与长轴的比值，（范围：大于0 小于1） 椭圆的准线方程x=±a2/c 椭圆的离心率公式e=c/a(0<e<1），因为2a>2c。离心率越大，椭圆越扁平；离心率越小，椭圆越接近于圆形。 椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线（如焦点（c,0）与准线x=+a2/c) 的距离为b2/c 椭圆焦半径公式焦点在x轴上：|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex(F1,F2分别为左右焦点） 椭圆过右焦点的半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a+ex 焦点在y轴上：|PF1|=a-ey

9、|PF2|=a+ey(F1,F2分别为上下焦点） 椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点A,B之间的距离，数值=2b2/a 椭圆的斜率公式过椭圆上x2/a2+y2/b2=1上一点（x，y）的切线斜率为 -(b2）X/(a2）y 三角形面积公式若有一三角形两个顶点在椭圆的两个焦点上，且第三个顶点在椭圆上 那么若F1PF2=，则S=（b2）tan（/2）。 椭圆的曲率公式K=ab/(b2-a2）（cos）2+a2（3/2） 编辑本段点、直线与椭圆的关系点与椭圆位置关系点M（x0，y0） 椭圆 x2/a2+y2/b2=1 点在圆内：x02/a2+y02/b2<1 点在圆上

10、：x02/a2+y02/b2=1 点在圆外：x02/a2+y02/b2>1 直线与椭圆位置关系y=kx+m x2/a2+y2/b2=1 由可推出x2/a2+（kx+m）2/b2=1 相切=0 相离<0无交点 相交>0 可利用弦长公式：A(x1,y1） B(x2,y2） |AB|=d = （1+k2）(x1+x2）2-4x1*x2 = （1+1/k2）(y1+y2）2-4x1*x2 编辑本段椭圆参数方程的应用求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解 x=a×cos， y=b×sin a为长轴长的一半<三>

11、双曲线双曲线双曲线(Hyperbola)是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面的交截线。 双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。定义定义：我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于一个常数(常数为2a)的轨迹称为双曲线。 定义1： 平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于这两个定点间的距离1）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点 定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为大于1的常数的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲

12、线的准线 定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。 定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程f(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。 1.a、b、c不都是零. 2. b2 - 4ac > 0.双曲线的标准方程1，焦点在X轴上时为： x2/a2 - y2/b2 = 1 2，焦点在Y 轴上时为： y2/a2 - x2/b2 = 1双曲线的简单几何性质1、轨迹上一点的取值范围： xa（焦点在x轴上）或者ya（焦点在y轴上）。 2、对称性：关于坐标轴和原点对称。 3、顶点：A(-a,0)，

13、 A'(a,0）。同时 AA'叫做双曲线的实轴且AA'=2a. B(0,-b）， B'(0,b）。同时 BB'叫做双曲线的虚轴且BB'=2b. F1（-c,0）F2（c,0）.F1为双曲线的左焦点，F2为双曲线的右焦点且F1F2=2c 对实轴、虚轴、焦点有：a2+b2=c2 4、渐近线：焦点在x轴：y=±（b/a)x. 焦点在y轴：y=±（a/b)x. 圆锥曲线=ep/1-ecos当e>1时，表示双曲线。其中p为焦点到准线距离，为弦与x轴夹角。 令1-ecos=0可以求出，这个就是渐近线的倾角。=arccos（1/e)5

14、、离心率：第一定义：e=c/a 且e（1，+）. 第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离PF 与 点P到定直线（相应准线）的距离d 的比等于双曲线的离心率e. d点PF/d线（点P到定直线（相应准线）的距离）=e 6、双曲线焦半径公式（圆锥曲线上任意一点P(x,y）到焦点距离） 左焦半径：r=ex+a 右焦半径：r=ex-a 7、等轴双曲线一双曲线的实轴与虚轴长相等 即：2a=2b 且 e=2 这时渐近线方程为：y=±x（无论焦点在x轴还是y轴） 8、共轭双曲线双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S'与双曲线S为

15、共轭双曲线。 几何表达：S：（x2/a2）-(y2/b2）=1 S'：（y2/b2）-(x2/a2）=1 特点：（1）共渐近线 ；与渐近线平行得线和双曲线有且只有一个交点 （2）焦距相等 （3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1 9、准线：焦点在x轴上：x=±a2/c 焦点在y轴上：y=±a2/c 10、通径长：（圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦） d=2b2/a 11、过焦点的弦长公式： d=2pe/（1-e2cos2） 12、弦长公式：d = （1+k2）|x1-x2| = （1+k2）(x1-x2）2 = （1+1/k2）|y1-y2| = （1+1/k2

16、）(y1-y2）2双曲线的标准公式与反比例函数 X2/a2 - Y2/b2 = 1(a>0,b>0) 而反比例函数的标准型是 xy = c (c 0) 但是反比例函数图象确实是双曲线轨迹经过旋转得到的13.双曲线内、上、外在双曲线的两侧的区域称为双曲线内，则有x2/a2-y2/b2>1； 在双曲线的线上称为双曲线上，则有x2/a2-y2/b2=1； 在双曲线所夹的区域称为双曲线外，则有x2/a2-y2/b2<1。双曲线参数方程双曲线的参数方程：x=a*sec (正割) y=b*tan ( a为实半轴长， b为虚半轴长， 为参数。）<四>抛物线平面内，到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线。抛物线的标准方程y2 =2px（p>0）（开口向右）； y2 =-2px（p>0）（开口向左）； x2 =2py（p>0）（开口向上）； x2 =-2py（p>0）（开口向下）； 在抛物线y2 =4c