圆锥曲线地综合问题详细解析汇报版

1、圆锥曲线的综合问题（一）最新考纲1.掌握解决直线与椭圆、 抛物线的位置关系的思想方法；2. 了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想1. 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线 C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax+ By+ C= 0（ A B不同时为 0）代入圆锥曲线 C的方程F（x, y） = 0,消去y（也可以消去x）得到一个关于变量 x（或变量 y）的一元方程，Ax+ By+ C= 0,2即消去y,得ax + bx+ c= 0.F （x, y）= 0（1）当0时，设一元二次方程 ax2+ bx+ c= 0的判别式为A ,则A 0?直线与圆锥曲线 C 相交；A = 0?直线

2、与圆锥曲线C相切;Av 0?直线与圆锥曲线C相离. 当a= 0,0时，即得到一个一次方程， 则直线I与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线I与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线I与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.2. 圆锥曲线的弦长设斜率为k（k丰0）的直线I与圆锥曲线 C相交于A, B两点，A（xi, yi） , B（X2, y2），贝卩|AB = ,1 + k2| xi X2|=寸1 + k2. V （X1 + X2） 2 4x1X2I y1 y2| =2 4y1y2.-例题精讲（考点分析）考点一直线与圆锥曲线的位置关系2 2x y【例1】 在

3、平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆G：云+台=1(ab0)的左焦点为F( 1,0)，且点P(0 , 1)在C上.(1)求椭圆C的方程； 设直线I同时与椭圆C和抛物线C2: y2= 4x相切，求直线I的方程解 椭圆C的左焦点为F1( 1, 0) , c= 1,又点R0 , 1)在曲线C上，01L222-孑+ = 1，得 b= 1，贝U a = b + c = 2,2所以椭圆C的方程为X+y2= 1.(2)由题意可知，直线I的斜率显然存在且不等于0，设直线I的方程为y = kx + m222消去 y，得(1 + 2k)x+ 4kmx+ 2m 2= 0.y= kx + m因为直线I与椭圆C相切,2

4、2 2 2所以 A1= 16k m 4(1 + 2k )(2 m 2) = 0.整理得2k2 m+1=0.由 y 4x消去 y，得 k2x2+ (2 km- 4)x+ m= 0. y = kx+ m因为直线I与抛物线C2相切，所以 A 2= (2 km- 4)2 4k2m = 0,整理得 km= 1.k=k一犬综合，解得2 或2m= 2m= 2.所以直线I的方程为y=. 2或y= 2.规律方法研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x2项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用.但对于选择、填空题要充分利用几何条件，用数形结

5、合的方法求解【训练1】 在平面直角坐标系 xOy中，点M到点F(1 , 0)的距离比它到y轴的距离多1.记 点M的轨迹为C.(1) 求轨迹C的方程；(2) 设斜率为k的直线I过定点P( 2, 1),若直线I与轨迹C恰好有一个公共点，求实数k的取值范围 解设点Mx, y)，依题意| MF = |x| + 1,(x- 1) 2+ y2=|x| + 1,化简得 y2 = 2(| x| + x),故轨迹C的方程为4x ( x 0)0 ( x V 0)2在点 M的轨迹 C中，记 G： y = 4x( x 0) ； C： y= 0( x v 0).依题意，可设直线l的方程为y 1 = k(x+ 2).由方

6、程组y 1 = k(x+ 2),y2= 4x,2可得 ky 4y+ 4(2 k+ 1) = 0.当k= 0时，此时y = 1.把y= 1代入轨迹C的方程，得x=寸.1 故此时直线I : y = 1与轨迹C恰好有一个公共点-，1 .42当 kz 0时，方程的 A = 16(2 k + k 1) = 16(2 k 1)( k + 1)，设直线I与x轴的交点为(Xo，0)，贝U2k + 1 由 y 1 = k(x + 2)，令 y = 0，得 xo=.kA v 0，1(i )若由解得kV 1,或k；-.XoV 0 ,21所以当kV 1或k2时，直线I与曲线C没有公共点，与曲线C2有一个公共点，故此时

7、直 线I与轨迹C恰好有一个公共点.22k + k 1 = 0,A = 0, (ii )若即2k+ 1解集为？.Xo0 ,-V 0 ,k1综上可知，当kV 1或k或k = 0时，直线I与轨迹C恰好有一个公共点.考点二弦长问题2 2x y【例2 (2016 四川卷)已知椭圆E：二+ 2= 1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直a b角三角形的三个顶点，直线I : y = x + 3与椭圆E有且只有一个公共点 T.(1) 求椭圆E的方程及点T的坐标；(2) 设O是坐标原点，直线I 平行于OT与椭圆E交于不同的两点 A B,且与直线I交于点P证明：存在常数 入，使得I PT 2=入I PA I P

8、B，并求入的值.2 2_XV(1)解 由已知，a=q2b,则椭圆E的方程为甘=1.2 2x V _ 1由方程组 药 b 得3x2- 12x + (18 2b2) = 0.V = x + 3,方程的判别式为 A = 24( b2 3)，由0，得b2= 3,2 2此时方程的解为 x= 2，所以椭圆E的方程为x + y = 1点T的坐标为(2 , 1).6312mx = 2亍，2mV = 1 + 亍 证明由已知可设直线l 的方程为y =产+ m(m 0),1V=ox+ m由方程组2可得V = x + 3,所以P点坐标为2 -3-,2m 2 8 21 + 訂 PT = 9m设点A B的坐标分别为A(X

9、1, y),B(X2,y2).2 2x V+ = 16 十 3，2 2由方程组可得3x + 4mx+ (4 m 12) = 0.1V= 2x 十 m方程的判别式为 A = 16(9 2m), 由 A 0,解得一322m b 0)经过点1(0 , ,：3)，离心率为,左、右焦点分别为交于C, D两点，且满足需=X4 ,求直线1的方程.Fi ( c, 0) , F2(c, 0).(1)求椭圆的方程；1 若直线l : y=- ,x + m与椭圆交于 A, B两点，与以FiF,为直径的圆解(1)由题设知椭圆的方程为b= 3 ,c= 1a= 2 ,.2 2 2b = a c ,23 = 1.解得 a=

10、2, b= ：3, c = 1,(2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为 x2+ y2= 1,圆心到直线I(*) i cd=2 ；1d2= 21：m=24 m.设A(X1,y,B(X2,y,),1y= ,x+ m由 22得x2 m灶吊一3 = 0 ,x y 丿+-= 1,43由根与系数关系可得X1 + X2= m X1X2 = m- 3. i ab =/1 + 12【m 4(m3)由鬻=罟，得54m=j解得m=3 ,满足(的距离d =，由dv 1，得|m v誓.52).直线I的方程为y= x+或y= 2* _ -3-考点三中点弦问题【例3】(1)已知椭圆E：2y亍+ f= 1( a b

11、0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于AB两点.若AB的中点坐标为(1 , 1)，贝U E的方程为(2 236 271x yA. 45+ 36= 12 2x yD. += 11892 2x yC.27+ 斎1已知双曲线2x2 % = 1上存在两点 M N关于直线y= x+ m对称，且 MN的中点在抛物线y2= 18x上，则实数 m的值为2 2ya 22g+孑=1消去y,得4 + b x 3 29 22ax+4a解析 因为直线AB过点F(3 , 0)和点(1 , 1), 所以直线AB的方程为y = 1(x 3),代入椭圆方程2 2a b = 0,3 2a2所以AB的中点的横坐标为2 =1

12、，即a2= 2b2,a 22+ b4又 a = b + c ,所以 b= c= 3, a= 3 2，选 D.(2)设 MX1, y1),N(X2 , y2), MN的中点 P(X0 , yo),22 0 彳 x1 3 =1 ,22 y2彳则X2 3 = 1 ,X1 + X2= 2X0 ,y1 + y2= 2y,由一得(X2 xj( X2 + X” = 3(y2 y”( y2+ y,3显然 x1 半 x2. 忌 x+1= 3, 即 kMN. x0= 3,M, N关于直线 y = x+ m对称，二 kMN= 1,m 3m yo= 3xo.又T yo= xo+ m 二 P 4, ,9 2m代入抛物线

13、方程得m= 18 - 4,解得m= 0或8,经检验都符合.答案(1)D(2)0 或8规律方法处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有Xi +y i V2X2, yi + y2, 三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求Xi X2得斜率 根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解【训练3】 设抛物线过定点 A 1, 0)，且以直线x= 1为准线(1) 求抛物线顶点的轨迹 C的方程；1(2) 若直线I与轨迹C交于不同的两点 M N,且线段MN恰被直线x=平分

14、，设弦MN勺垂 直平分线的方程为 y= kx + m试求m的取值范围解(1)设抛物线顶点为 P(x, y)，则焦点F(2x 1, y).再根据抛物线的定义得|AF| = 2，即(2x)2+ y2= 4,2所以轨迹C的方程为X2 + y = 1.41设弦MN勺中点为P 2，yo,Mxm,yM),N(xn,yN)，则由点M N为椭圆C上的点，2 24xm+ yM= 4, 可知 224xn+ yN= 4.两式相减，得4( Xm xn)( xm+ xn) + (yM yN)( y“+ yN) = 0,1彳将 Xm+ xn= 2 X 2 = 1, yM yN= 2yo,yM yN1yoxm; = k代入

15、上式得k= 9又点P 1, y。在弦MN的垂直平分线上,所以1yo = k+ m所以13n= yo+ k = 4。.1 1由点P 2，y在线段BB上（B, B为直线x=-空与椭圆的交点，如图所示），所以 屮v yo yB,也即一3 yov :3.所以一343 m0,A.1B.2解析因为直线y= bx+ 3与双曲线的渐近线a答案 A2x 23. 经过椭圆g + y = 1的一个焦点作倾斜角为D.有且只有四条 | AE| = 3 2p,故这样的直线有且只有两条.b 0）的交点个数是（）C.1 或 2D.0y = bx平行，所以它与双曲线只有1个交点.a45的直线l，交椭圆于A, B两点，设O为坐标

16、原点，贝y OA- 6B導于（)A. 31B. - 31、C. 3或一 31D. 1解析依题意，当直线I经过椭圆的右焦点（1 , 0）时，其方程为y 0= tan 45（x 1）,x 224即y= x 1,代入椭圆方程 + y = 1并整理得3x 4x= 0,解得x= 0或x= 3,所以两个交点坐标分别为（0， 1） ,3, 3 ,. OA- OB= 同理，直线I经过椭圆的左焦点时，也 可得 OA- ob= 3答案 B4. 抛物线y= x到直线x y 2 = 0的最短距离为（）A. 2D.零解析设抛物线上一点的坐标为(x,y)，则 d =|x y - 2|2| - x + x - 2|1 27

17、-x - q - 42 X = 1 时,dmin = 7/8C.2 2答案 B5. (2017 石家庄调研)椭圆ax2+ by2= 1与直线y = 1 x交于A, B两点，过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为3,则：的值为()2 bA冷B.C寧 d.零23227解析 设 A(X1, y” , B(X2, y2)，线段 AB中点 Mxo, yo),由题设koM= X0ab.由 ax1+ by1= 1,得(y2+ yj( y2 yj 由 ax2+ by2= 1,得(X2+ xj( X2xj又 y2 y1=_ 1 y2+ y1=辿=並X2 X1，X2+ X1 2X0 2所以a#答案 A2 26.

18、已知椭圆C：笋語1(a b0), F( 2, 0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为 2.则椭圆C的方程为.C = .2, b2a=2，x2 y2解析 由题意得 b = 1, 解得椭圆C的方程为-+与=1.ab = #2,4 22 2,2a = b + c ,2 2答案x+专=17. 已知抛物线y = ax2(a0)的焦点到准线的距离为 2,则直线y = x+ 1截抛物线所得的弦长等于.1 1解析 由题设知p= 2a= 2,： a= 4.1 2抛物线方程为y = 1X，焦点为F(0 , 1)，准线为y = - 1.联立1 2消去X,y=x+1,整理得y2 6y+ 1 =

19、0，: y1 + y2= 6,t直线过焦点F,:所得弦 | AB| = | AF| + | BF| = y1+ 1 + y2+ 1 = 8.答案 82 28. 过椭圆器+ 4 = 1内一点R3 , 1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是解析 设直线与椭圆交于 A(x1, y1), B(X2, y2)两点,由于A B两点均在椭圆上,2 2 2 2+A.X1 , y1, X2y2,故他 + 4 =1,低 + 4 =1,两式相减得(X1 + X2)( X1 X2)(y1+ y2)(屮一y2)=0.16又T P是 A B的中点，： X1 + X2= 6, y1 + y2= 2,X1 X2:直线AB的方

20、程为y 1 = 3(X 3).即 3x + 4y 13= 0.答案 3X + 4y 13 = 0三、解答题2 29. 设F1, F2分别是椭圆E： X2 +占=1(ab0)的左、右焦点，过 R且斜率为a bE相交于 A B两点，且| AF2| , |AB , | BF|成等差数列.(1)求E的离心率；设点R0, 1)满足| PA = | PB，求E的方程.解(1)由椭圆定义知| AF2| + | BF| + | AB = 4a,f4又 2| AB = | AF2| + | BF2|，得 | AB = 3a ,3l的方程为y = x+ c,其中c=*a2 b2.1的直线l与设A(xi, yi)

21、, 0X2, y2)，贝U A, B两点的坐标满足方程组y= x + c,x2 y2消去y,化简得(a2 +a2+ b2=1,一 2a2cb2) x2 + 2a2cx + a2( c2 b2) = 0,贝U X1 + X2 = 2-rz, a + b2aX1X2=2匚2a + b(C2 b2)44ab2因为直线 AB的斜率为 1，所以 | AB = 2| X2 X1| = :2 (X1 + X2)2 4x1X2，即 3 a2 十匕,故 a2 = 2b2,所以E的离心率e= |=/(2)设AB的中点为2X1 + X2 a cX0= 0+7Nxo, yo)，由(1)知2cCyo = Xo + c=

22、 3.3由| PA = I PB，得 kPN= 1,即匹巴=1,X0得 c= 3,从而 a= 3 -2 , b= 3.22故椭圆E的方程为x y + = 118+ 9yi22X10. 已知椭圆C-2 + 2= 1(ab0)的一个顶点为A(2 ,0)，离心率为a b直线y= k(x 1)与椭圆C交于不同的两点 M N(1)求椭圆C的方程;当厶AMN勺面积为亠厂时，求k的值.3a= 2,解由题意得c=,a 22. 22a = b + c .2 2解得b= 2，所以椭圆C的方程为f +与=1.y= k (x 1),(2)由 x2y2得(1 + 2k2)x2 4k2x+ 2k2 4= 0.+ = 14

23、十2,设点M N的坐标分别为(X1 , yd, (X2 , y2),则 y1 = k(X1 1), y2= k(X2 1),4 k22k2 4X1 + X2= 1 + 2k2, X1X2= 1 + 2k2,所以 | MN =(X2 X1) 2+( y2 y1) 2=:(1 + kB.3) (xi + X2) 2 4x1x22(1 + k2)( 4 + 6k2) 21 + 2k又因为点A(2 , 0)到直线y k(x 1)的距离d 2,1 + k 所以 AMN勺面积为S flMN d I叮，由1叮丄蔦冰冷，解得k 1.21 + 2k1 + 2k3夕能力提高2 2x y11. 已知椭圆4 + b2

24、 1(0 v bv 2)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线I交椭圆于A,B则b的值是()A.1B. 2D. ,-3解析 由椭圆的方程，可知长半轴长为a 2,由椭圆的定义,可知 |AF2| + | BF2| + | AB 4a两点，若| BF2| + | AF2|的最大值为5,所以 | AB 8 (| AF2| + | BF2|) 3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中,通径最短，即3,可求得b 3,即b : 3.12.(2016 四川卷)设O为坐标原点,答案 D2P是以F为焦点的抛物线 y 2px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且| PM 2| MF ,则直线OM勺斜率的最大值是()D.1解析即Xo如图所示，设 F(X0, y0)( y00)，则 y 2px。,2y2p.设 Mx, y)，由 PM 2MFx X0 2 p x,得2y y。 2( 0 y),解之得x pJx，且y 3.直线0M勺斜率k= = 楚xy。2pp+ yo2p yo2又yo+ yp 2 2p,当且仅当yo=2p时取等号2p2 , 2p2，则k的最大值为2.答案 C 13.设抛物线y2= 8x的焦点为F,准线为I , P为抛物线上一点，PU l , A为垂足.如果直线AF的斜率为一寸3,那么| PF =解析直线AF的方程为y=