2016年9月教师课件特征值

1、Beijing Forestry University,3113A.01,11,11 ,211222 A,411444 A.13 kA 设设Beijing Forestry University12310201.23111A, 112232013.131A, A, A 设设Beijing Forestry University 0Beijing Forestry University把定义把定义改写成改写成( I A) = 0 求求 只须求齐次线性方程组的非零解只须求齐次线性方程组的非零解.( I A)X = 0 (5.2) 注注det( I A) = 0非零解非零解 (5.3) 求求A的特征

2、值只需求出方程的特征值只需求出方程 所有根所有根0IA 求对应于求对应于 的特征向量只需求出的特征向量只需求出 非零解非零解 ( I A)X = 0Beijing Forestry University 111212122212det()nnnnnnaaaaaaIAfaaa 因此引入以下定义：因此引入以下定义：Beijing Forestry University 1210,kIA 求求的的所所有有根根： ,0221iriiiiXAI 的基础解系：的基础解系：求求 .,212121不全为零不全为零的特征向量为：的特征向量为：对应于对应于则则iiirrriiikkkkkkA Beijing Fo

3、restry University.,242422221的特征值与特征向量的特征值与特征向量求求AA 220422221242422221AI 62412200462241 722 . 7(221 二重），二重），例题例题Beijing Forestry University,21的特征向量的特征向量求求 即即01 XAI .000442442221321 xxx 00000022144244222132122xxx .10201221 ，基础解系为：基础解系为： .,212211不全为零不全为零特征向量为：特征向量为：kkkk Beijing Forestry University.的特征向

4、量的特征向量求求7200011021015424522282AI,213231xxxx ,T3221 .0333 kk 特征向量为特征向量为Beijing Forestry UniversityBeijing Forestry University 定理定理5.2 若若n 阶矩阵阶矩阵A=(aij) 的的n个特征值为个特征值为 1, 2, n，则，则nii12A)(niiia1称称A的主对角元的和的主对角元的和为为A的迹，记作的迹，记作 tr(A)。niniiiia111)(注注推论推论1 A是满秩（非奇异、可逆）是满秩（非奇异、可逆）A的特征值都不为零的特征值都不为零Beijing Fore

5、stry University1 0.80.8 1A 2210.810.81.80.20.81I A 例例 设设 解解 (1)(1)A特征值为特征值为: 1=1.8 2= 0.2(1) 求求A的的特征值和特征向量特征值和特征向量(2)求可逆矩阵求可逆矩阵U,使使U 1AU为对角阵为对角阵 对于对于 1=1.8，求解，求解( 1I A)x=0，即即120.80.800.80.80 xx Beijing Forestry University得基础解系：得基础解系： x1=(1,1)T120.80.800.80.80 xx 单位化得：单位化得：对于对于 1=1.8 求解求解( 1I A)x=012

6、2(,)22Tx 对于对于 2= 0.2，求解，求解( 2I A) x =0 得基础解系：得基础解系： x1=(-1,1)T120.80.800.80.80 xx 122(,)22Tx 单位化得：单位化得：Beijing Forestry University则则 AU=U , 且且 |U| 0, 所以所以 U 1AU = 为对角矩阵。为对角矩阵。解解 ：(2) (2) 将将 A xi = i xi (i=1, 2) 排成矩阵排成矩阵1121122122(,)(,)A x xxxx x1.8000.2 122222,2222Uxx取Beijing Forestry UniversityBeij

7、ing Forestry UniversityBeijing Forestry University2022-2-2617 目录 上页 下页 返回 结束 设有设有 个样品，每个样品有两个观测变量个样品，每个样品有两个观测变量 ，这样，这样，在由变量在由变量 组成的坐标空间中，组成的坐标空间中， 个样品点散布的情况如个样品点散布的情况如带状，见图带状，见图5-15-1。N21, XX21, XXNcossinsincos212211XXYXXY1122cossinsincosYXYXU X,UU1ocossin=45=sincos22222222当则11221222222222YXXYXX Beijing For