202X年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线的标准方程课件9苏教版选修2_1

1、抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程生活中的抛物线 投篮运投篮运动动数学中的抛物线 二次函数的图象是开口向上或向下的抛物线二次函数的图象是开口向上或向下的抛物线yxo平面内与一个定点平面内与一个定点F F和一条定直线和一条定直线l lF F不在不在l l上的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。上的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。注意：定义中的定直线注意：定义中的定直线l l为什么要求不过定点为什么要求不过定点F F？如果如果F F在直线在直线l l上，那么轨迹是过点上，那么轨迹是过点F F垂直于直线垂直于直线l l 的一条直线的一条直线. .Fl定点定点F叫做抛物线的叫做抛物线的。定直线定直线l叫做抛

2、物线的叫做抛物线的。过过F作作l的垂线，垂足为的垂线，垂足为K，KF的长度表示的长度表示焦焦点到准线的距离点到准线的距离，用小写字母，用小写字母p表示表示。抛物线和过抛物线和过F垂直于垂直于l的直线的交点的直线的交点O叫作抛物叫作抛物线的线的顶点顶点。焦点焦点准线准线KO【备课】抛物线轨迹形成过程.gsp回忆标准方程的推导过程？回忆标准方程的推导过程？FMlN步骤：步骤： 建系建系设点设点列式列式化简化简得到方程得到方程如何建立直角坐标系？如何建立直角坐标系？FMlN三种建系方式推导三种建系方式推导( , )x ydxyOK( , )x yxyK( , )x y第第1 1种种第第2 2种种第第

3、3 3种种OxyKO设设KF的长度为的长度为p设点设点M的坐标为的坐标为x,y, 由定义可知，由定义可知，2()22ppxyx2化简得化简得 y2 = 2pxp0那么那么F(p/2,0), l: x=-p/2xyoFMlNK第二种建系方式推导过程第二种建系方式推导过程思考：那个方程适合做抛物线的标准方程？思考：那个方程适合做抛物线的标准方程？第二种第二种 ：y2 = 2pxp0由于其顶点做坐标原点，焦点位于坐标由于其顶点做坐标原点，焦点位于坐标轴上，所以不含有常数项轴上，所以不含有常数项方程方程y2 = 2pxy2 = 2pxp p0 0叫做抛物线的标准方叫做抛物线的标准方程程焦点位于焦点位于

4、x轴的正半轴上，准线交于轴的正半轴上，准线交于x轴的负半轴轴的负半轴右焦点右焦点 ，左准线左准线l： )0 ,2(pF2pxp为正常数，它的几何意义是为正常数，它的几何意义是: :焦点到准线的距离焦点到准线的距离但对于一条抛物线，它在坐标平面内的位置可以不同，所但对于一条抛物线，它在坐标平面内的位置可以不同，所以建立的坐标系也不同，所得抛物线的方程也不同，所以以建立的坐标系也不同，所得抛物线的方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。抛物线的标准方程还有其它形式。图图 形形焦焦 点点 准准 线线方方 程程)0 ,2(pF)0 ,2(pF lFyxOlFyxOlFyxOlFyxO)2, 0(

5、pF)2, 0(pF2px2px 2py 2pyy2 = 2pxp0y2 = -2pxp0 x2 = 2pyp0 x2 = -2pyp02()22ppxyx2化简化简y2 = -2pxp0焦点位于焦点位于x轴的正半轴轴的正半轴焦点位于焦点位于y轴的正半轴轴的正半轴设设KF的长度为的长度为p设点设点M的坐标为的坐标为x,y, 由定义可知，由定义可知，2()22ppyxy2化简化简x2 = 2pyp0那么那么F(0,p/2), l: y=-p/2设设KF的长度为的长度为p设点设点M的坐标为的坐标为x,y, 由定义可知，由定义可知，那么那么F(-p/2,0), l: x=p/22()22ppxyx2

6、焦点位于焦点位于y轴的负半轴轴的负半轴设设KF的长度为的长度为p设点设点M的坐标为的坐标为x,y, 由定义可知，由定义可知，2()22ppyxy2那么那么F(0,-p/2), l: y=p/2化简化简x2 = -2pyp0二次项在左，一次项在右，二次项系数为二次项在左，一次项在右，二次项系数为1 1一次项定轴一次项是一次项定轴一次项是x x，焦点在，焦点在x x轴轴一次项系数正负定向标准方程一次项系数正负决一次项系数正负定向标准方程一次项系数正负决定其焦点位于正负半轴，系数正的对应正半轴，开定其焦点位于正负半轴，系数正的对应正半轴，开口向右口向右p p是焦点到准线的距离，是焦点到准线的距离，p

7、/2p/2是顶点到焦点的距离或是顶点到焦点的距离或顶点到准线的距离，标准方程一次项系数是正负顶点到准线的距离，标准方程一次项系数是正负2p2p，注意这三者的倍数关系。注意这三者的倍数关系。注意：只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物注意：只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线的方程才有标准形式。线的方程才有标准形式。例例1 1：抛物线的标准方程是：抛物线的标准方程是 ，求它的焦，求它的焦点坐标和准线方程。点坐标和准线方程。变式：求以下抛物线变式：求以下抛物线 的焦点坐标和的焦点坐标和准线方程。准线方程。2650 xy24yx非标转方程先非标转方程先化成标准方程化成标准方程(1,0), :1Fl x 33(,0), :1010Fl x例例2 2：抛物线的焦点在：抛物线的焦点在x x轴的正半轴上轴的正半轴上, ,并且焦点到并且焦点到准线的的距离为准线的的距离为4 4，写出抛物线的标准方程。，写出抛物线的标准方程。变式：抛物线的焦点是变式：抛物线的焦点是 ，求抛物线的标准，求抛物线的标准方程。方程。(1)定位定位(焦点位置焦点位置)；(2)定量求定量求p直接法直接法1( ,0)4F28yx2yx例例3 3：求经过点：求经过点 的抛物线的标准方程。的抛物线的标准方程。解：点解：点 在第三象限，所以抛物线开口向下在第三象限，所以抛物线开口向下或向左，所以设标准方程为或向左