2018-2019学年高二上学期期末质量检测数学(理)试题

1、第I卷（选择题）、选择题.1.命题“罪x > 0£ > 0 "的否定是（）A.，二： ,： ：；B.土：>,二：C.:.: 口D.玉二二工工,二；【答案】B【解析】【分析】本题中所给的命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，按规则写出其否定即可.【详解】因为命题" Vx>2>是一个全称命题，所以命题“匕>口/>0”的否定是“巧使得域工0”，故选B.【点睛】该题考查的是有关全称命题的否定问题，注意全称命题的否定是特称命题，属于简 单题目.2.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形

2、成原因，用分层抽样的方法抽取4%勺学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）用A. 400 , 40B. 200 ,10C. 400 , 80D. 200 , 20【答案】A【解析】【分析】 由扇形图能得到总数，利用抽样比较能求出样本容量；由分层抽样和条形图能求出抽取的高 中生近视人数.【详解】用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，样本容量为：（3500 十 4S00 + 2000） X 4% = 400 ,抽取的高中生近视人数为：2000 X 4% x S0% = 40,故选A.【点睛】该题考查的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有扇形图与条形图的应用，以 及分层抽样的性质，注

3、意对基础知识的灵活应用，属于简单题目3 .甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠8小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率（）A.1 B.9D.设出甲、乙到达的时刻，列出所有基本事件的约束条件同时列出这两艘船中至少有一艘在停 靠泊位的必须等待约束条件，利用线性规划作出平面区域，利用几何概型概率公式求出概率【详解】设甲到达的时刻为上，乙到达的时刻为y,则所有的基本事件构成的区域4 4 2 2 <-<X y <-<0 0这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域24A =|0 <y< 24I l-

4、y|< 8这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为明P(A) = =1-16X 16_ 5-T: -二18x18 9故选C.【点睛】该题考查的是有关几何概型的问题，涉及到的知识点是面积型几何概型，注意该类问题的解题关键是弄明白对应的基本事件和满足条件的基本事件，属于简单题目4 .下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为 y= 土 -x的是（D.B.C. 11【答案】D【解析】【分析】首先对选项逐个分析，逐个排除，得到正确的结果【详解】A,C两项是焦点在注轴上的双曲线，要排除，2对于B项，双曲线 匕1的渐近线方程为y二士女，所以排除，只有D项，满足焦点在y轴上，且渐近线方程为 y

5、=故选D.【点睛】该题考查的是有关双曲线的方程的求解问题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线方程，双曲线的焦点所在轴，属于简单题目 .5.某工厂利用随机数表对生产的 700个零件进行抽样测试，先将 700个零件进行编号，001 , 002,，699, 700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第 5行到第6行，若从表 中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第 6个样本编号是（）84421 25331 34578 60736 25300 73286 23457 88907 23689 6080432567 80843 67895 35577 34899 48375 22535 57832 45

6、778 92345A. 328B. 623C. 457D. 072【答案】B【解析】【分析】从表中第5行第6列开始向右读取数据，求出得到的前6个编号，由此能得到结果.【详解】从表中第 5行第6列开始向右读取数据，得至U前6个编号分别是：253,313,457,007,328,623,则得到的第6个样本编号是623, 故选B.【点睛】该题考查的是有关利用随机数表法进行抽样的问题，要会应用随机数表法进行抽样, 属于简单题目.6.根据下边框图，当输入月为2019时，输出的y为（）D. 10y的值，模拟程序的运A. 1B. 2C. 5【答案】D【解析】【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用

7、循环结构计算并输出 行过程，可得答案.【详解】当输入的#为2019时，第一次执行循环体后，* : 2016,满足#之0；第2次执行循环体后， = 2013,满足义之0；第三次执行循环体后，工二%10,满足1之0；第673次执行循环体后, 第674次执行循环体后, 故”（一犷 + 1 = W, 故选D.【点睛】该题考查的是有关程序框图的输出结果的求解问题，涉及到的知识点有根据题中所给的程序框图，能够分析出其作用，注意循环体循环的次数7 .王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其从军行传诵至今，“青海长 云暗雪山，孤城遥望玉门关。黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一 句

8、“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】返回家乡的前提条件是攻破楼兰，即可判断出结论.【详解】“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件,故选A.【点睛】该题考查的是有关必要非充分条件的问题，涉及到的知识点有必要非充分条件的定义，会判断条件的充分必要性，属于简单题目8 .已知椭圆 + = l（a>b> 口）的面积公式为5 =侬由，某同学需通过下面的随机模拟实验估 a o22计开的值。过椭圆E:J +卷=1的左右焦点FF工分别作与x轴垂直的直线与椭圆E交于A,B,C,D-1 -1四点，随机在椭圆E内撒m粒豆子，

9、设落入矩形ABCg的豆子数为n,则圆周率制的值约为（）4 V5 m A.l)n9J5nB.20 mC.9n【解析】【分析】利用题中所给的条件，求出 AB,BC边长，随机在椭圆内撒 m粒豆子，设落入四边形 ABC咕的豆子数为n,则根据面积型几何概型概率公式，求得圆周率n的值.【详解】根据题意画出图形，“2x510则有?|均=-=3，|Bq = 4, 口J随机在椭圆E内撒n粒豆子，设落入四边形 ABCm的豆子数为 m10I r4 X f则H3 B6 m 花 X 3 X 祇 9?r所以圆周率秆的值约为江二萼迎，故选C.【点睛】该题考查的是有关面积型几何概型的应用问题，注意对应的面积比即为概率，转化为

10、圆周率五所满足的关系式，从而求得结果 .9.已知动圆圆心 M到直线x=-3的距离比到 A（2,0）的距离大1,则M的轨迹方程为（）.A. | 1B. '；-.43/C. J - =D. . I【答案】C【解析】【分析】由题意得，点 M到直线上工-工的距离和它到点穴Z。）的距离相等，故点 P的轨迹是以点 A为焦点，以直线x=-9为准线的抛物线，可得轨迹方程.【详解】因为点 M到直线 = -3的距离比到点4（乙0）的距离大1 ,所以点M到直线工=-2的距离和它到点 用工。）的距离相等，故点M的轨迹是以 小乙0）为焦点，以直线x =为准线的抛物线，方程为 y2 = Ox,故选C.【点睛】该题

11、考查的是有关动点的轨迹方程的求解问题，涉及到的知识点有动点轨迹方程的求法，抛物线的定义，属于简单题目.10 .如图，长方体 ABCD-A1BCD 中，AA = AB= 2, AD= 1, E、F、G分别是 DC AB> CC的中点，则异面直线 AE与GF所成角的余弦值是（）A. 0B. .3【答案】A【解析】C口.5J15D.5【分析】利用向量加法运算将向量 且酒和G.用长方体的棱对应的向量来表示，之后应用向量数量积的定义式和运算法则求得其数量积等于0,从而得到两向量是垂直的，故得其夹角余弦值为0,得到答案.【详解】根据题意可得，AE-GF = （AA+府）+施面十方十殍） =（_矶 +

12、/!£） + |的疝_；阳 111二 T1Z，一亦-阮* + 0= X41- X4=o,2 1424'从而得到右E和金垂直，故其所成角的余弦值为 0,故选A.【点睛】该题考查的是有关异面直线所成角的余弦值问题，涉及到的知识点是两向量的数量积为0,则其所成角为直角，从而得到其为垂直关系，还可以应用空间向量来解决11 .如图所示，过抛物线 / = 2历町?>口）的焦点F的直线l ,交抛物线于点 A,B.交其准线l于点C,若BC =隹BF|,且4F| =隹十1,则此抛物线的方程为（）A. ：=.、，.：B. ,； ->C. _=D. "【答案】A【解析】【分析

13、】分别过A,B作准线的垂线，利用抛物线的定义将A,B到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知的比例关系，在直角三角形声Dt中求线段pf长度即可得p值，进而可得方程.【详解】如图，过 A作m垂直于抛物线的准线，垂足为 D,过B作BE垂直于抛物线的准线，垂足为 E, P为准线与x轴的交点，3由抛物线的定义，BF =旧©,|&F| =依0| =隹十1,因为|匹=位即，所以|Bq =超明,所以DCA = 45",AC = 0|=2 + <2, CF = 2 + 蚀也1 = 1,一 |CF| J2 r盘所以PF尸卞二亏，即尸=必户?，所以抛物线的方程为：/ = &quo

14、t;区 故选A.【点睛】该题考查的是有关抛物线方程的求解问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，应用定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为其到准线的距离来解决，属于常规问题7T12 .已知椭圆和双曲线有共同的焦点 产，p是它们的一个交点，且 乙尸/7% =与，记椭圆和双J曲线的离心率分别为eVS2 ,则日冉2的最小值为（）3耳小A. 3B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先设椭圆的长半轴为 4,双曲线的实半轴长为 ，焦距为2c,因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找口七，匚之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用口 1，%表示出13FF1|P&|,在APFiB中根据余弦定理可得 +

15、 =4,利用基本不等式可得结论.el e2【详解】如图，设椭圆的长半轴为 al,双曲线的实半轴长为 电，则根据椭圆及双曲线的定义:|P%| 十 |P0| = 2ad%一叫=2% ,所以|PF=%+ qPF-二4一吗，n设FF= 2匚，因为±Fg = q,则在APF丹中由余弦定理得：= 9 +勺产+网一物产-2网+ %）网一%）8若，1J13化简得：*/ + 3a/ = 4d,即万十F3,el e2. i , m _3 -2J3 事从而有4 = J+矛24%£.力£，整理得的./2丁 =彳，故选D.【点睛】该题考查的是有关椭圆和双曲线的离心率的运算式的取值范围的问题

16、，涉及到的知识点有椭圆的定义，双曲线的定义，余弦定理，基本不等式，属于较难题目第n卷（非选择题）二、填空题。13 .已知命题p:也E + mx + 1 > 0 ,若命题p的逆否命题为真命题，则实数m的取值范围为.【答案】【解析】【分析】根据原命题和逆否命题是等价的，得到命题p是真命题，不等式恒成立得到判别式小于零，求得结果.【详解】因为命题 p的逆否命题是真命题，所以命题p是真命题，得A =4<Q,即所以实数 m的取值范围是（一2.2）,故答案是：【点睛】该题考查的是根据命题为真命题求参数的取值范围，涉及到的知识点有原命题和逆否命题等价，二次函数图象的特征与判别式的关系，属于简单题

17、目14 .下图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值.若要使输入的x值与输出的y值满足关系式y=-2x+4 ,则这样的x值 个.【答案】2【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算I x2tx < 22x4 2 < x < 5分段函数y = 1f - 的函数值，并输出.1产6【详解】该题考查的是有关程序框图的问题，在解题的过程中，注意对框图进行分析，明确框图的作用，根据题意，建立相应的等量关系式，求得结果j x2tx < 212x4 2 x v 5根据题意，可知该程序的作用是计算分段函数y = 一的函

18、数值，产6依题意得上片；+ 4或2/?合?十4或二2K + 4，龙解得其= -'±0 所以满足条件的x的值有两个，故答案是：2.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，在解题的过程中，注意分析框图的作用，之后建立相应的等量关系式，求得结果，从而得到满足条件的x的个数.15 .已知Fi,3是双曲线。不一2二1的0/：>0）的左、右焦点，若直线y = 2应才与双曲线C交 a b于P,Q两点，且四边形PFQG是矩形，则双曲线的离心率为 【答案】【分析】根据题意由矩形的对角线相等建立方程求出知:的关系即可求出双曲线的离心率【详解】由题意，矩形的对角线相等,整理得：9口2（/-八

19、）二/一9浸），即+ 9。* =。, 所以有 e4-18e' + 9 = 0,2 18-12 根广, 台解得旧=一尸匚=9-6/（舍去），或/ = 9 +6，2,解得白=甲+ &注=M + V3,故答案是：.【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有矩形的对角线相等，直线与双曲线的交点的求解，双曲线中口也。之间的关系，双曲线的离心 率，属于较难题目.16 .设p是椭圆*十专二1上一点，M, N分别是两圆：小-2产+ /=1和!工+2+ / =上的 点，则|P图+ |PM的取值范围为 【解析】【分析】首先将p点固定于一处，设两圆心分别为则Q

20、 = i,Q = q,且为椭圆的焦点，从而有尸q 1 M |W|<|PC1|+ L|PG|-g M |PN| < |PC2| + A ,结合椭圆的定义，从而求得 PM + |PN| 的 范围.【详解】首先将 P点固定于一处，设两圆心分别为则j = 且为椭圆的焦点, 根据圆外一点到与圆上的点的距离的范围可得11-1 钟如 M |"| + WGIf E|PN|E |FC2| + -,33从而得到 FGI + |PC$一3<|PM| + |PNf </GI + FGI + -,根据椭圆的定义可知|PC1| + |P0| = 12,21 27所以PM + PN的取值范

21、围为亍下，,-21 Zl、故答案是：6i 上【点睛】该题考查的是有关原外一点到圆上的点的距离的取值范围以及椭圆的定义，在解题的过程中，注意对椭圆上的点到两焦点的距离之和为定值的应用三、解答题(解答时应写出解答过程或证明步骤)2217 .已知命题P：方程十二;1表示焦点在尸轴上的双曲线，命题q :关于x的方程 m + 1 3-mx1十2mx十治二。无实根，(1)若命题P为真命题，求实数 用的取值范围；(2)若为假命题，“ PVq”为真命题，求实数 m的取值范围.【答案】(1) m<T (2)U|-lf3)【解析】【分析】(1)若命题p为真命题，则1 <0 ，解得实数m的取值范围；(2

22、)若“口八印”为假命题，“ P5”为真命题，则命题 p,q 一真一假，进而可得实数 m的取值范围.x2 y2m + I 3-m【详解】(1)因为方程 - + -= 1表示焦点在¥轴上的双曲线，所以(2)若q为真命题，则也二4m2 - 4(m + 6) < 0 ,解得一 2 < m < 3因为“pAq”为假命题，“ pvg”为真命题，等价于恰有一真一假当P真Q假时，13,则 当 p 假 q 真时，l-zWmLm，则 一 综上所述，实数 描的取值范围是(-2U| -1,3).【点睛】该题考查的是有关逻辑的问题，涉及到的知识点有根据命题的真假求参数的取值范 围，复合命题真

23、值表，属于简单题目18 .某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照50, 60), 60, 70),，设0100分成5组，制成如图所示频率分直方图.喝裒喂评分(Wish0,0350.0300.0100.005(1)求图中x的值；(2)求这组数据的平均数和中位数；(3)已知满意度评分值在50,60)内的男生数与女生数的比为 3:2,若在满意度评分值为50,60) 的人中随机抽取2人进行座谈，求 2人均为男生的概率.一5403【答案】(1) 0.02 (2)平均数77,中位数(3)p

24、0)二元【解析】【分析】(1)由频率分布直方图的性质得出x的值；(2)根据平均数和中位数的定义得出；(3)由题意，满意度评分值为 EQ60)的人的频率为0.005,故人数为5,根据男女比例得出男女人数，根据列举的值随机抽取2人共10个基本事件，根据古典概型得出.【详解】(1)由 0.。05 +。川1 + o.om。+x) X 1。= 1,解得 x = 0.02.(2)这组数据的平均数为 55x 0,05+ 65 X°,Z+ 76/ 0.35+ 85x0.3 斗与5X0.1 = 77.中位数设为 m ,则 0.05 + 0.2 + (rn -70) X 0.035 = 05 ,解得 m

25、=(3)满意度评分值在50,16s内有100x0,005 X 10= 5人，其中男生3人，女生2人.记为八/4/1田工记“满意度评分值为50,60)的人中随机抽取 2人进行座谈，恰有1名女生”为事件 A通过列举知总基本事件个数为10个，A包含的基本事件个数为 3个，利用古典概型概率公式可知.10【点睛】该题考查的是有关频率分布直方图的问题，涉及到的知识点有直方图的性质，应用直方图求中位数和平均数，古典概型概率公式，属于简单题目19.如图，三棱柱小时一生6£的所有棱长都是2,4平面ABC D, E分别是AC,叫 的中 点.(1)求证：面面4F。；(2)求二面角D-BE-4的余弦值.【答

26、案】(1)见证明；(2)1【解析】【分析】(1)利用线面垂直的判定和性质，得到 4E 1平面“叫 进而证得面内EE 1面达1BD ;(2)建立空间直角坐标系，求面 DB讶口面口？儿的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二 面角D-BE-A的余弦值.【详解】(1) .=D是AC的中点，刖工4C. AAi 1 平面 ABC 平面 AAiCiC 1 平面 ABC平面. ./?口 _LX!E又.在正方形百公。，中，D, E分别是AC,"的中点，易证得.A八禺AACE ./A1DA4 AEC, /AEC廿 CAE=90 , ，/A 1DA+Z CAE=90 ,即 百i方 E.又勺DnJ?。二。

27、，胃E_l平面&刖.又HEu 面Z1ER,则面REE_L 面占80（2）取41cl中点F,以DF, DA DB为x, y, z轴建立空间直角坐标系叽 E（L-LS,期皿语,A®，。）,防=（。口啊, 曲二（1, L 俩，且田二（一 设平面DBE的一个法向量为 m =声），人jg陋=0 卜-y = 0，令-r - 1,则 m = （1,1.0）,设平面AE的一个法向量为"=（口也匚），令b = l,则 = （一2,1,-书）,设二面角D-8E-a的平面角为日，观察可知。为锐角，m n1COS0 = 一 一 = 一:|利4故二面角D-RE-勺的余弦值为1.【点睛】该题考

28、查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定和应用空间向量求二面角的余弦值，在解题的过程中，注意对角的判定，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.20.在中，D, E分别为AB, AC的中点，AB = 2BC= 2CD ,以DE为折痕将折起,（1）证明：DE"平面PBC ;（2）若平面DERL平面BCED求直线DC与平面BCP所成角的正弦值。【答案】（1）见证明（2）手4【解析】【分析】（1）利用三角形的中位线得到 DE/BC ,根据线面平行的判定定理证得 DE”平面孙;22）利用面面垂直的性质，得到线线垂直，从而得到建立空间直角坐标系的条件，利用向量法求得线面所成角的正弦值

29、 .【详解】（1） （1）证明：D, E分别为AB, AC的中点，则DE/RC ,又HC匚面PRC, D E史面PEC,则"E "平面PRC。（2）因为平面DEP_L平面月平面口EP n平面印二DE, EP仁平面口口P, EP LDE .所以EP _L平面ME。.又因为CE（=平面,所以EPJ.CE.以E为坐标原点，分别以 曲,比，力的方向为不轴、丁轴、2轴的正方向建立如图所示的空间直 角坐标系在题图1中，设月6=2口，则月月二4m，4C = 2理,AE=CE = /a , DE = a .则P（0,0R殉，口必0,0）, “0娘砌，呢珥麻.所以DC = （-, BC =

30、（- 2%。,0）,寿=© -依忐可.设n =（筋乂与为平面的法向量,伊比二仇Bn f s三0.n CP = 0f ,固( - i/3ay += 0.令y=i,则w = i.所以门=（oi）.设DC与平面BCP所成的角为日,L -、43(7=I cosntDC) I =-出2a所以直线DC与平面BCP所成角的正弦值为【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，面面垂直的性质，利用空间向量解决线面角的问题，属于简单题目21.已知抛物线C ：y2 = 刎过点4L2).(1)求抛物线C的方程；(2)求过点P©, 2)的直线与抛物线 C交于M N两个不同的点(均与点 A不重合).设直线AM AN的斜率分别为 占占，求证：占与为定值.【答案】(1) y2 = 4x (2)见证明【解析】【分析】(1)利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；(2)设直线MN的方程为x = (> + 2) + 3,代入/ = 4K,利用韦达定理，结合斜率公式，化简,即可求得偿与为定值.【详解】(1)由题意得 印=4 ,所以抛物线方程为y2 = 4x.(2)设,直线