2019中考数学试题分类汇编——最值类题

1、、选择题2019 考试题分类汇编一一最值类题12. （2019四川自贡）如图，已知 A、B两点的坐标分别为（8,0（0, 8）,点C、F分别是直线X =亮和X轴上的动点, 当ABE面积取得最小值时，CF =10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E;tan / BAD的值是A.C.81749B.717D.-9考点：直角三角形、等腰三角形、 分析：相似三角形以及圆的有关性质，勾股定理、三角函数等见后面的示意图.根据题中“点C、F分别是直线x = -5和x轴上的动点，CF=10”可以得到线段CF的中点D的运动 “轨迹”是以点 M为圆心5半径的圆，当 D运动到x轴上方的圆上 D处恰好使 AD圆

2、相切于D时，此时的图中的 此时 ABE面积最小.21最大，则/BAD最小,在RtMDA中，由坐标等可求 AM =13,MD =5意和圆的切线的性质容易证明 AOEsADM ,ADOE= J：132AOMD AD-52 =12 .根据题OE 8 即=一解得：5121010OE = , BE =8-w/AOB=90 . AB =府14382. A、B两点的坐标分别为（8,0 ）, （0,8）且一一14腰直角二角形NE = NB =十3=8夜；过点EN _L AB于N ,近近,3容易证明 ENB是等7 17 AN = AB -NB =8、2 -22在 RtANE 中，tan/BAD =3NEAE=7

3、$ - 17 巧=717.故选B.C点评：本题首先挖出点 D的运动“轨迹”是一个圆，然后在此基础上切入探究三角形面积最小时点D的特殊位置，并利用关联知识来使问题得以解决.本题综合知识点较多，技巧性墙，并渗透“轨迹”思想，是道高质量的考题F10. （2019四川乐山）（3分）如图，抛物线（0, 3）为圆心,2为半径的圆上的动点,的最大值是（:Ey-4与x轴交于A、B两点，P是以点CQ是线段PA的中点，连结 OQ.则线段OQ50【分析】连接BP,如图，先解方程 x2-4=0得A (-4, 4为乙ABP的中位线得到 OQBP,利用点与圆的位置关系,D. 40), B (4, 0),再判断 OQBP过

4、圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P位置时，BP最大，然后计算出BP即可得到线段 OQ的最大值.【解答】解：连接BP,如图,当y=0时,解得xi = 4,X2= 4,则 A ( 4,0),B (4, 0),.Q是线段PA的中点, .OQ为ABP的中位线,OQ省阻当BP最大时，OQ最大, 而BP过圆心C时，PB最大，如图，点 P运动到P位置时，BP最大,BP = 5+2= 7, 线段OQ的最大值是y.故选：C.【点评】 本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关 系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.也考查了三 角形中位线.12. （201

5、9山东泰安）（4分）如图，矩形为EC上一动点，P为DF中点，连接ABCD 中，AB = 4, AD = 2, E 为 AB 的中点，FPB,则PB的最小值是（）A . 2B. 4C. V2D. |2 ABCPi为等腰直角三角形，CPi=2 ./ADE = / CDE = / CPiB = 45。，/ DEC = 90。DP 2P1=90 .Z DP1P2=45P2P1B = 90 ,即 BP1XP1P2,BP的最小值为 BP1的长在等腰直角 BCP1中，CP1 = BC=2，BP1 = 2&PB的最小值是2啊故选：D.12. (2019 山东聊城)(3 分)如图，在 RtAABO 中，/ OB

6、A= 90 , A (4, 4),点 C 在边 AB上且旨 =lb 点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点 P在OA上移动 时，使四边形 PDBC周长最小的点P的坐标为()T ODBxA. (2, 2)B. (-|,二)C. (y, y)D. (3, 3)【分析】 根据已知条件得到 AB=OB = 4, ZAOB = 45 ,求得 BC = 3, OD = BD = 2,得 到D (0, 2) , C (4, 3),作D关于直线OA的对称点E,连接EC交OA于P,则此时， 四边形PDBC周长最小，E (0, 2),求得直线EC的解析式为y= x+2,解方程组即可 得到结论.【解答】 解：

7、二.在 RtABO 中，/ OBA=90 , A (4, 4),AB=OB = 4, / AOB = 45.黑=三点D为OB的中点，BC=3, OD = BD = 2,.D (0, 2), C (4, 3),作D关于直线 OA的对称点 巳连接EC交OA于P,则此时，四边形 PDBC周长最小，E (0, 2),直线OA的解析式为y=x,设直线EC的解析式为y=kx+b,直线EC的解析式为故选：C.【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的性质，正确的找到P点的位置是解题的关键.12. (2019内蒙古包头)(3分)如图，在平面直角坐标系中，已知 A (- 3, - 2), B (0

8、, -2), C (- 3, 0) , M是线段AB上的一个动点，连接 CM ,过点M作MN，MC交y轴 于点N,若点M、N在直线y=kx+b上，则b的最大值是()7 3A.-B.-三C. - 1 D. 08 4【分析】当点M在AB上运动时，MNMC交y轴于点N,此时点N在y轴的负半轴移 动，定有 AMCs NBM ;只要求出ON的最小值，也就是BN最大值时，就能确定点N 的坐标，而直线y=kx+b与y轴交于点N (0, b),此时b的值最大，因此根据相似三角 形的对应边成比例，设未知数构造二次函数，通过求二次函数的最值得以解决.【解答】 解：连接AC,则四边形 ABOC是矩形，/ A=/AB

9、O=90 ,又 MNXMC , ./ AMC = Z MNB,.AMCANBM,，MB BN设 BN = y, AM = x.贝U MB = 3-x, ON=2- y,时,直线y=kx+b与y轴交于N (0, b)当BN最大，此时 ON最小，点N (0, b)越往上，b的值最大,ON = OB _ BN = 2 - 2 =工, 8 8此时，N(0，7b的最大值为一二.故选：A.【点评】 综合考查相似三角形的性质、二次函数的性质、二次函数的最值以及一次函数的性质等知识；构造相似三角形、利用二次函数的最值是解题的关键所在.10. （2019湖北黄石）（3分）如图，矩形 ABCD中，AC与BD相交于

10、点E, AD : AB =71：1,将 ABD沿BD折叠，点A的对应点为 F ,连接AF交BC于点G ,且BG = 2,在AD 边上有一点 H,使得BH + EH的值最小，此时典=（）【分析】设BD与AF交于点M .设AB=a, AD=a,根据矩形的性质可得 ABE、 CDE都是等边三角形，利用折叠的性质得到 BM垂直平分AF, BF = AB=a, DF = DA = ga.解直角 BGM,求出BM,再表示 DM,由 ADM GBM ,求出a=2/3,再证 明CF = CD=2jW作B点关于AD的对称点B,连接B E,设B E与AD交于点H, 则此时BH + EH=B E,值最小.建立平面直

11、角坐标系，得出 B （3, 2/3）, B （3,- 2-几），E （0,心），利用待定系数法求出直线 B E的解析式，得到H （1, 0）,然后利 用两点间的距离公式求出 BH = 4,进而求出 盟=_=2返.W跖 3【解答】解：如图，设 BD与AF交于点M.设AB=a, AD=Ja,四边形ABCD是矩形， ./ DAB = 90 , tan Z ABD =BD = AC = Jae2 +&口 2 = 2a, / ABD = 60 ,.ABE、CDE都是等边三角形,BE= DE = AE=CE = AB = CD = a.将 ABD沿BD折叠，点A的对应点为FBM 垂直平分 AF, BF =

12、AB = a, DF = DA = -/a.在4BGM 中，. / BMG = 90 , / GBM = 30 , BG=2,.-.GM=-i-BG=1, BM=/3GM=/3，DM = BD- BM = 2a-V5.矩形 ABCD 中，BC/AD,ADMAGBM,，处=磔，即”空国BG BM 2 V3a=2 百， .BE=DE = AE =CE = AB = CD = 2-/3, AD =BC=6, BD=AC = 4-73 .易证/ BAF = Z FAC = Z CAD = Z ADB = / BDF = / CDF = 30 ,. ADF是等边三角形，. AC 平分/ DAF ,AC垂

13、直平分 DF,.CF= CD = 23，作B点关于AD的对称点B,连接B E,设B E与AD交于点H,则此时BH + EH =B E,值最小.如图，建立平面直角坐标系， 则A (3, 0), B (3, 加),B (3, -2e)，E (0,、后)， 易求直线B E的解析式为y=-jjx+Jj,H (1, 0),BH = J(3T )? + (m-0)2 = 4.BH_ 4 _2V3手一刃Tk故选：B.【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形 的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了矩形的性质，解直角三 角形，等边三角形、垂直平分线、相似三角

14、形的判定与性质，待定系数法求直线的解析 式，轴对称-最短路线问题，两点间的距离公式等知识.综合性较强，有一定难度.分 别求出BH、CF的长是解题的关键.12tanA= 2, BE，AC 于点 E,.（2019湖南长沙）（3分）如图， ABC中，AB=AC= 10V5D是线段BE上的一个动点，则 CD+BD的最小值是（5A. 2遮B, 4/5C. 5ylD. 10BE【分析】如图，作DH，AB于H,CM，AB于M.由tanA= = 2,设AE=a,BE=2a,利用勾股定理构建方程求出a,再证明DH=UEbD,推出CD+EbD=CD + DH ,由垂55线段最短即可解决问题.【解答】 解：如图，作

15、 DHXAB于H, CM LAB于M. BEX AC, ./ ABE = 90 , tanA = =2,设 AE = a, BE=2a, AE则有：100=a2+4a2,.a2=20, a=2强或-2Mj （舍弃），BE= 2a = 45, AB= AC, BEXAC, CMXAC, .CM = BE = 4、H （等腰三角形两腰上的高相等） . Z DBH = Z ABE, /BHD = /BEA,. /nDU1 DH AE V5sin DBHBD AB 5DH =XJ1BD,.CD+BD=CD + DH ,5.CD + DHCM,.CD+匹BD 4后5.cd+H$bd的最小值为 您.5故选

16、：B.O是的最11. （2019 广西玉林）（3 分）如图，在 RtABC 中，/C=90 , AC = 4, BC=3,点AB的三等分点，半圆 O与AC相切，M, N分别是BC与半圆弧上的动点，则 MN 小值和最大值之和是（）C. 7D. 8【分析】设。与AC相切于点D,连接OD ,作OP，BC垂足为P交。于F,此时垂线段OP最短，MN最小值为OP - OF =，当N在AB边上时，M与B重合时，MN最大值=3133,由此不难解决问题.【解答】解：如图，设。与AC相切于点D,连接OD,作OPLBC垂足为P交。于F,此时垂线段 OP最短，PF最小彳1为OP-OF,. AC=4, BC=3, .

17、AB=5 . / OPB=90 ,OP / AC 点。是AB的三等分点，2-3 8- 3= =B Po O10 OP OB 25=3 比 AB 3 。与AC相切于点D, ODXAC, .OD / BC,OD 0Q 1 BC AB 3.OD = 1,QG.MN 最小值为 OP-OF=?-1=二，如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长,曰310 .13MN 取大值=-+1 =,JJMN长的最大值与最小值的和是 6.【点评】本题考查切线的性质、 三角形中位线定理等知识， 解题的关键是正确找到点 MN 取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型.、填空题16（2019江

18、苏连云港）（3分）如图，在矩形 ABCD中，AB=4, AD = 3,以点C为圆心作 OC与直线BD相切，点P是。C上一个动点，连接AP交BD于点T,贝嗡的最大值是 3 .【分析】先判断出处最大时，BE最大，再用相似三角形的性质求出BG, HG, CH,进AT而判断出HM最大时，BE最大，而点 M在。C上时，HM最大，即可HP,即可得出结论.【解答】解：如图，过点P作PE / BD交AB的延长线于 E,AEP=/ABD , APEsatb,AP AEIT而 AB=4, . AE= AB+BE=4+BE, - BE最大时，空最大，AT 四边形ABCD是矩形，BC=AD=3, CD = AB=4,

19、过点C作CH，BD于H ,交PE于M ,并延长交 AB于G ,BD是。C的切线， ./ GME = 90 ,在 RtABCD 中，BD = . Z BHC = Z BCD =90 , /CBH = /DBC, . BHCA BCD,BC DC BDBH _CH _334 5 . / BHG = Z BAD = 90 , / GBH = Z DBA, . BHGA BAD,.明毁图AD BL AB2,HG BG 135 4|279HG =, BG =，204在 RtAGME 中，GM = EG?sinZ AEP = EG X = EG ,.GM = HG+HM =+ HM而 BE = GE BG

20、 = GE - GE最大时，BE最大, GM最大时，BE最大,即：HM最大时，BE最大，2Q 延长MC交。C于P,此时，HM最大=HP=2CH=,.GP=HP+HG=1A,4过点P作PF / BD交AB的延长线于 F ,BE最大时，点E落在点F处，12gGP =*=三里 girb/P sinZ ABD 34即：BE最大=BF,在 RtAGPF 中，FG =BF= FG - BG = 8,.粤最大值为1仔=3, AL4故答案为：3.【点评】此题主要考查了矩形的性质，圆的切线的性质，相似三角形的性质，构造出相 似三角形是解本题的关键.（2019无锡）如图，在 AABC中,ABC , AB = AC

21、 =5,BC = 4v5 ,D 为边 AB 上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE ,则&BDE面积的最大值为【解答】法，设 DG =HE =x,BG =2x, CG = HD =4指2x；由 HED sGMD ,MG = xHE 4、5 -2x2xMG =尸,延长ED交BC于M,4“5 -2x1所以 SaDE =-BM MHD =by徐校K（4j5_2x ）= _x2+4,5x 82法二：如图，过点 E 作 EN _LBD ,过点 C 作 CN _L BD JEDN = ADCN，设 AD = x ,BD =5-x, c1 ccSbde =2 3 x 5-x 824.

22、（2019年成都）如图，在边长为 1的菱形 ABCD中，/ ABC=60 ,将4ABD沿射线BD 的方向平移得到 ABD,分别连接AC, AD,BC ,则AC + BC的最小值为 .【解析】本题考查 将军饮马”的问题如图，过C点作BD的平行线l ,以l为对称轴作B点的对称点B1 ,连接AB1交直线l于点Ci根据平移和对称可知 AC + B C = ACi + BCi ,当A, Bi,Ci三点共线时ACi+BCi取最小值，即ABi ,又AB =BBi=1,根据勾股定理得，ABi=43 ,故答案为J31.（2019陕西）如图，在正方形 ABCD中，AB=8 , AC与BD交于点O, N是AO的中点

23、，点M在BC边上，且 BM=6. P为对角线BD上一点，则 PMPN的最大值为耳 14【解析】如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N,连接PN,根据对称性质可知，PN = PN, .PM-PNPM PNE MN,当P,M , N三点共线时，取“ 二”，:正方形边长为 8, .AC=&AB=8 J2 , O 为 AC 中点，AO=OC=4 J2 , N 为 OA 中点，. ON=20）上的一点，过点 P作,X-2于点Q,连结OP, OQ.当点P在曲线C上运动，且式得至U Sa POQ =x轴的垂线交直线 AB: y=y一(x - 2)+3,PQ=-x+2,根据三角形面积公 x 2根据二次函数的

24、性质即可求得最大值.，设 P (x,)，贝U Q (x,x- 2) SPOQ=x+2,2 +2)?x= - (x-2) 2+34【解答】解：: PQ，x轴,73,解不等式求得a把x=代入代数式即可求得.【解答】 解：二.抛物线 y=ax2+4ax+4a+1 (aw0)过点A (m, 3), B (n, 3)两点，.irH-n _ 4a _ o 2 2 2a线段AB的长不大于4,.-4a+132 - a +a+1的取小值为:故答案为.418. (2019江苏宿迁)(3分)如图，正方形ABCD的边长为4, E为BC上一点，且BE=1,F为AB边上的一个动点，连接 EF,以EF为边向右侧作等边 EF

25、G ,连接CG,则CG 的最小值为与.【分析】由题意分析可知，点 F为主动点，G为从动点，所以以点 E为旋转中心构造全等关系，得到点 G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值.【解答】解：由题意可知，点 F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点 G也 一定在直线轨迹上运动将4EFB绕点E旋转60，使EF与EG重合，得到 EFBA EHG从而可知 EBH为等边三角形，点 G在垂直于HE的直线HN上作CMXHN ,则CM即为CG的最小值作EPXCM ,可知四边形 HEPM为矩形，【点评】 本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判 断出点G的运动

26、轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问 题中比较典型的类型.14. （2019陕西）如图，在正方形 ABCD中，AB=8, AC与BD交于点O, N是AO的中点, 点M在BC边上，且BM=6. P为对角线 BD上一点，则 PM - PN的最大值为 2 .【解答】解：如图所示，作以 BD为对称轴作N的对称点N,连接PN, MN, 根据轴对称性质可知，PN=PN,PM - PN = PM - PNY MN, 当P, M, N三点共线时，取“=.正方形边长为8,AC = V2AB = 8V2，. O为AC中点,AO= OC= 4衣，. N为OA中点，ON=|WL.ON=CN=

27、 ?机， .AN=/2,BM =6,.CM = AB-BM = 8-6= 2,EM Air 3 .PM /AB/CD, / CMN=90 / NCM = 45 , . NCM为等腰直角三角形，.-.CM = MN=2,即PM-PN的最大值为2,14（2019浙江嘉兴）（4分）如图，在。0中，弦AB=1,点C在AB上移动，连结OC,过点C作CD，OC交。于点D ,则CD的最大值为【分析】连接OD,如图，利用勾股定理得到CD,利用垂线段最短得到当 OCLAB时,【解答】解：连接OD,产如图，、，OC最小，根据勾股定理求出 OC,代入求出即可.COD = 90 , .CD =当OC的值最小时，CD的

28、值最大,而OCAB时，OC最小，此时 OC = .CD的最大值为2 r 2 1 &口2、 r -(r -yAB )AB故答案为:16. （2019浙江嘉兴）（4分）如图，一副含30和45角的三角板 ABC和EDF拼合在个平面上，边 AC与EF重合，AC = 12cm.E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动.当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为(24-12逞cm;连接BD ,则 ABD的面积最大值为(24/1+36/2 - 1/)cm2.【分析】过点D作DNAC于点N,作DMXBC于点M,由直角三角形的性质可得BC=4代cm, AB=8-/3cm, ED =

29、DF = 6cm,由 “ AAS 可证 DNEA DMF,可得DN=DM,即点D在射线CD上移动，且当EDUAC时，DD值最大，则可求点 D运动的路径长，由三角形面积公式可求X ACX DN- XBCXDM =SADB=-BC X24份+春(1246) XDN,则 EDAC 时，SaadB 有最大值.【解答】 解：AC=12cm, /A=30 , / DEF =45，BC=4。氐cm, AB = 8。行cm, ED = DF=61/cm如图，当点 E沿AC方向下滑时，得 EDF,过点D作DNAC于点N,作DMXBCEDN = /FDM,且/ DNE=/ DMF=90 , ED=DF . DNE

30、A DMF (AAS) . DN = DM ,且 DN,AC, DM CM CD平分/ ACM即点E沿AC方向下滑时，点 D在射线CD上移动,当 EDAC 时，DD 值最大，最大值= 72ED -CD= ( 12-672) cm，当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长=2X （12-6在）=（24-12回） cm如图，连接BD, AD,- SaADB= SaABC+SaADC - SaBDCSaadB = BCX AC+X ACX DN-X BCXDM =241J (12-4/1) X DN 2222当EDAC时，SDB有最大值，SADB 最大值=24_J_+ (12- 4/3) X 6x

31、/2 = ( 243+36x/2 - 126) cm2.故答案为：(24-12加)，(246+36&-12)【点评】本题考查了轨迹，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形面积公式等知识，确定点D的运动轨迹是本题的关键.22. （2019浙江绍兴）（12分）有一块形状如图的五边形余料 ABCDE , AB=AE=6, BC=5, /A=/B=90 , / C=135 , / E90 ,要在这块余料中截取一块矩形材料，其中 一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大.（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE,求矩形材料的面积.（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形

32、材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大【分析】（1）若所截矩形材料的一条边是 BC,过点C作CFLAE于F,得出S1 = AB ?BC = 6X 5= 30;若所截矩形材料的一条边是 AE,过点E作EF / AB交CD于F, FGXAB于G ,过点 C作CH LFG于H,则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，证出 CHF为等腰 三角形，得出 AE=FG = 6, HG=BC=5, BG=CH = FH,求出 BG = CH = FH=FG - HG =1, AG = ABBG=5,得出 比=AE?AG = 6X 5= 30;（2）在CD上取点F,过点F作FMXAB于M, FNAE于N

33、,过点C作CGXFM于G, 则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，证出 CGF为等腰三角形，得出MG = BC=5, BM=CG, FG=DG,设 AM = x,贝U BM = 6- x, FM = GM+FG = GM+CG= BC+BM = 11-x,得出S=AMXFM=x （11 -x） = - x2+11x,由二次函数的性质即可得出结果.【解答】解：（1）若所截矩形材料的一条边是 BC,如图1所示：过点 C 作 CFLAE 于 F, S1 = AB?BC=6X5=30;若所截矩形材料的一条边是 AE,如图2所示：过点E作EF / AB交CD于F, FG，AB于G ,过点C作CH

34、，FG于H ,则四边形AEFG为矩形，四边形 BCHG为矩形，. / C= 135 , ./ FCH = 45 ,.CHF为等腰直角三角形，AE=FG = 6, HG = BC=5, BG = CH=FH,BG= CH = FH = FG - HG = 6- 5= 1,.AG= AB - BG = 6- 1 = 5,.S2=AE?AG = 6X5=30;(2)能；理由如下：在CD上取点F,过点F作FMAB于M, FNAE于N,过点C作CG FM于G,则四边形ANFM为矩形，四边形 BCGM为矩形， / C= 135 , ./ FCG=45o , .CGF为等腰直角三角形，mg = bc=5,

35、bm = cg, fg = dg,设 AM=x,贝U BM=6x,fm = gm+fg = gm+cg= BC+BM= 11 - x, , s= Am XFM=x (11x)= x +11 x= ( x - 5.5) +30.25, 当x=5.5时，S的最大值为 30.25.【点评】 本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形面积公式以及二 次函数的应用等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等腰直角三角形是解题的关 键.16（2019浙江台州）（5分）如图，直线11/12/13, A, B, C分别为直线11, 12, 13上的 动点，连接AB, BC, AC,线段AC交直线12

36、于点D.设直线11, 12之间的距离为 m,直 线12/3之间的距离为n,若/ ABC=90。，BD = 4,且史=二，则m+n的最大值为 生 .n 2 3 CG【分析】 过B作BEL1于E,延长EB交13于F,过A作AN，12于N,过C作CM，12 于 M,设 AE=x, CF = y, BN = x, BM = y,得到 DM=y-4, DN = 4-x,根据相似三角形的性质得到xy=mn, y=-&x+10,由里=，得到n=-m,于是得到（m+n）最大=至2 n 322m,然后根据二次函数的性质即可得到结论.【解答】 解：过B作BEL11于E,延长EB交13于F,过A作ANL12于N,过

37、C作CM 口2 于 M,设 AE = x, CF = y, BN=x, BM =y, BD= 4,DM = y- 4, DN = 4-x,. / ABC=Z AEB=Z BFC = / CMD =/ AND =90 ,Z EAB+ Z ABE = Z ABE+ Z CBF = 90 , ./ EAB=Z CBF ,ABEABFCID. AE BE , BF -CF xy= mn,/ ADN = Z CDM ,. CMDsAND,x+10,(m+n)最大=，当m最大时，（m+n）最大=m,3. mn=xy=x( x+10)=-x2+10x =m2,当x=一102乂号）芈时，mn最大二50T m2

38、, m最大=10m+n的最大值为x10T25E故答案为：学.【点评】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，正确的作出辅助线是解题的关键.17. （2019山东聊城）（3分）数轴上O, A两点的距离为4, 一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点Ai处，第2次从Ai点跳动到AiO的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4, A5, A6,_ （ n3, n是整数）.An. （n3, n是整数）处，那么线段 AnA的长度为 4-【分析】根据题意，得第一次跳动到 OA的中点Ai处，即在离原点的长度为 4 X4,第

39、二次从Ai点跳动到A2处，即在离原点的长度为（-1） 2X4,则跳动n次后，即跳到了离原点的长度为（工）nX4=L-,再根据线段的和差关系可得线段AnA的长度.22”一?【解答】解：由于OA = 4,所有第一次跳动到 OA的中点Ai处时，OAi =Loa= X 4= 2, 22同理第二次从 Ai点跳动到A2处，离原点的（4）2X4处，同理跳动n次后，离原点的长度为（ 与）nX4= 故线段AnA的长度为4- （n3, n是整数）故答案为：4 -【点评】考查了两点间的距离，本题是一道找规律的题目， 这类题型在中考中经常出现. 对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.本题

40、注意根据题意表示出各个点跳动的规律.17（20i9山东潍坊）（3分）如图，直线y=x+i与抛物线y=x2-4x+5交于A, B两点，点【分析】根据轴对称，可以求得使得PAB的周长最小时点 P的坐标，然后求出点 P到直线AB的距离和AB的长度，即可求得 PAB的面积，本题得以解决.点A的坐标为（1, 2）,点B的坐标为（4, 5）,AB=居(4-1) = 3V 2 ,作点A关于y轴的对称点A,连接A B与y轴的交于P,则此时 PAB的周长最小,点A的坐标为（-1, 2）,点B的坐标为（4, 5）,设直线A B的函数解析式为y= kx+ b,直线A B的函数解析式为当x=0时，y= 即点P的坐标为

41、（0,孕）5将x=0代入直线y=x+1中，得y=1,直线y=x+1与y轴的夹角是45 ,，点P到直线 AB的距离是：（孕-1） Xsin45552512PAB的面积是：J =华，2519故答案为：华.5/ 6【点评】 本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称-最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.边上的一点，且 AM =17. （2019内蒙古通辽）（3分）如图，在边长为 3的菱形ABCD中，/ A=60 , M是AD,N是AB边上的一动点，将 AMN沿MN所在直线翻折得到AA MN,连接A C.则A C长度的最小值是 _V19_J【分析】过点M作MH XCD,

42、由勾股定理可求 MC的长，由题意可得点A在以M为圆心，AM为半径的圆上，则当点 A在线段MC上时，AC长度有最小值.【解答】解：过点M作MH LCD交CD延长线于点H ,连接CM,CAD=CD = 3.AM =.AM = 1, MD = 2. CD / AB, ./ HDM =Z A = 60HD =md =1, hm = Vshd = 73 .CH = 4-mc = 7mH2+CH2 = 将 AMN沿MN所在直线翻折得到 A MN ,.AM =AM = 1,点A在以M为圆心，AM为半径的圆上,，当点A在线段MC上时，AC长度有最小值AC长度的最小值= MC - MA = VH- 1故答案为：

43、VH-1【点评】本题考查了翻折变换，菱形的性质，勾股定理，确定AC长度有最小值时，点A的位置是本题的关键.16. （2019湖北武汉）（3分）问题背景：如图 1,将 ABC绕点A逆时针旋转60得到ADE, DE与BC交于点P,可推出结论：PA+PC = PE.问题解决：如图 2,在4MNG中，MN = 6, /M = 75, MG =.点。是 MNG内一点，则点。到 MNG三个顶点的距离和的最小值是 _2J2【分析】（1）在BC上截取BG=PD,通过三角形求得证得 AG = AP,得出 AGP是等边三角形，得出/ AGC=60 =/ APG,即可求得/ APE = 60 ,连接EC,延长BC到

44、F,使CF = PA,连接EF,证得 ACE是等边三角形，得出 AE=EC = AC,然后通过证得APEA ECF （SAS,得出PE=PF,即可证得结论；（2）以MG为边作等边三角形 MGD,以OM为边作等边 OME .连接ND,可证GMOA DME ,可得 GO = DE,贝U MO+NO+GO = NO+OE + DE,即当 D、E、O、N 四点 共线时，MO + NO+GO值最小，最小值为 ND的长度，根据勾股定理先求得 MF、DF ,然 后求ND的长度，即可求 MO+NO+GO的最小值.【解答】（1）证明：如图1,在BC上截取BG=PD,在 ABG和 ADP中rAB=AD& ZBZD, ,BG=FDABGA ADP (SAS),，AG=AP, /BAG = /DAP, . / GAP=Z BAD = 60 ,. .AGP是等边三角形， ./ AGC= 60 =Z APG, ./ APE = 60 , ./ EPC=60 ,连接EC,延长BC到F,使CF = PA,连接EF, 将 ABC绕点A逆时针旋转 60得