初三数学圆的性质定理

1、初三数学圆的性质定理1、圆的对称性：圆是 轴对称图形，任一条直径所在的直线都是它的对称轴.2、垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条 弧.3、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧4、垂径定理的应用：用直尺和圆规平分一条弧 .作法是过圆心作弧所对弦的垂线，理由是垂径定理;在利用垂径定理计算或证明时，我们通常将其化为一个直角三角形的边和角，这 个特殊直角三角形的三边分别是半径、弦的一半和圆心到弦的垂线段AD交小圆于B、C.例1、如图，已知以点 O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦（1）求证：AB=CD（2）如果AD=6cm , BC=4cm ,求圆

2、环的面积.1 .圆周角定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角2 .圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 圆心角的一半.3 .推论：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧一定相等.半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形4 .圆的内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，这个多边形叫做圆内接多边形, 这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补例2、如图，AB是。O的直径，BC O的半径.是弦，OD XBC 于

3、E,交 BC 于 D.若 BC=8 , ED=2 ,求。解:1、如图，已知 AB是。的直径，弦CDLAB于点P, CD=10cm , AP : PB=1 ： 5,那么。O的半径是（ .cm）2、圆的半径为 13cm,两弦AB /CD , AB=24cm , CD=10cm ,则两弦 AB、CD的距离是)A. 7cmB . 17cmC . 12cm(D. 7cm 或 17cmC作弦3、如下图所示，AB是。O的一条固定直径，它把。O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点CD±AB, / OCD的平分线交。O于点P,当点雷在上半圆(不包括B两点)移动时，点P (4、如上中图，BD是。O购直径1

4、弦(AC、BD相交于点E,则下列结论不成立的是() /A. /ABD=/ACD B .C. / BAE= / BDC D. / ABD= / BDC5、如上右图，O O的直径CD过弦EF的中点G, / EOD=40 ° ,则/ DCF等于 )(A. 80 ° B ,50° C, 40 ° D . 20 °7、如上左二图， ABC的顶点都在。上，/ C=30 0 , AB=2cm ,则。的半径为 cm .8、如上左三图，在平面直角坐标系中，P是经过O (0, 0) , A (0, 2) , B (2, 0)的圆上的一个动点(P 与 0、A、B 不

5、重合)，则/ OAB= /_OPB=9、如右上图， ABC 内接于。0, / B=/OAC, OA=8c?,则 AC=cm .10、如图， ABC 内接于。0, / BAC=120 / AB=AC , SDft。0 的直径，AD=6 , BC=_/ 则一11、如图，O O中的弦AB、CD互相垂直于 E, AE=5cm , BE=13cm ,。到AB的距离为 .求。O I13、如图，AB为。O的直径, 点A重合.BD是。O的弦，延长到 C,使BD = DC,连接AC交。O于点F,点F不半径及O到CD的距离./12、如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2m,拱顶高出水面2.4m,现有一艘

6、宽3m,船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过这里， .此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由. lit.H事flJ1 /, (2)按角的大小分类，请你判断并说明理由.ABC属王哪F类三角形,8(1) AB与AC的大小有什么关系？为什么?A所连的线段为半径就可以作一个确定了下来.所以以点 A以外的任意一点为圆心，以这一点与点 圆.由于圆心是任意的.因此这样的圆有无数个.如图 (1).(2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径.因此圆心到A、B的距离相等.根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则工确定圆的条件(1)因为作圆实质

7、上是确定圆心和半径，要经过已知点 A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之AB 的垂直平分线上在AB 的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、 B 两点的距离相等，所以在 AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径，圆就确定下来了.由于线段 AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个.如图(2).(3)要作一个圆经过 A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等.因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到 B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆

8、的圆心.因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆.过不在同一条直线上的三点确定一个圆2、经过三角形三个顶点的圆，叫做 三角形的外接圆，外接圆的圆心是二角形三边垂直平分线的交点， 叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.因为画圆的关键是确定圆心和半径，所以作三角形的外接圆时，只要找三边垂直平分线的交点， 这就是圆心，以这点到三角形任一顶点间的距离为半径就可作出三角形的外接圆.3、利用尺规过不在同一条产线上的三个点作圆的方法1 .连结 AB、 BC作法2 .分别作AB、BC的垂直平分线DE和FG, DE和FG相交于点O3 .以O为圆心，OA为半径作 圆O

9、O就是所要求作的圆例1、已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？(1)(2)(3)II A II/ IJr V例3、如图而A、B、jC表示一个如庄,现要建一座淙喝井io盘响二个林庄分别送水，为便三条输水管线长度相同,水泵界应建在何处，请画出图，并说明理由.6 uCB.外心是三条高的交点、C.外心是三条中线的交点D.外心是二中的三直平分线耳交心"1、下列关于外心的说法正确的是（ A.外心是三个角的平分线的交点2、下列条件中不能确定一个圆的是（A.圆心和半径B,直径C.三角杉的D平面上的三个已知点3、三角形的外心具有的性质是（a.到三边的距离相等b.到三个顶点的心盘等QiC： “卜心三角形外4、D.外心在三角形内）5、6、A.重心A.点P如图,B.垂心C.外心D.5X5正方形网格中，一件圆弧化过B.点QC.点RA, B, C 三点D.点M是 ABC 的外接圆，/ BAC=30 ° , BC=2、m,那么这条圆弧所在圆的圆心