第一类曲面积分（课堂PPT）

1、111.4 第一类曲面积分第一类曲面积分（对面积的面积积分对面积的面积积分） 11.4 11.5教学要求教学要求：了解了解两类曲面积分的概念和性质；两类曲面积分的概念和性质；掌握掌握两两类曲面积分的计算方法；类曲面积分的计算方法；2一、概念的引入一、概念的引入 若若曲曲面面 是是光光滑滑的的, 它它的的面面密密度度为为连连续续函函数数),(zyx , 求求它它的的质质量量.实例实例 所谓曲面光滑所谓曲面光滑即曲面上各点处都即曲面上各点处都有切平面有切平面, ,且当点在且当点在曲面上连续移动时曲面上连续移动时, ,切平面也连续转动切平面也连续转动. .对面积的曲面积分对面积的曲面积分3 若若曲曲

2、面面 是是光光滑滑的的, 它它的的面面密密度度为为连连续续函函数数),(zyx , 求求它它的的质质量量 M . 实例实例xyz0 iS （1）用一组曲线网将）用一组曲线网将 分成分成 n 个小曲面个小曲面 nSSS ,21直径：直径：n ,21（2）作和，求质量的近似值）作和，求质量的近似值 ),(iii ,),(iiiiiSM ,),(1 niiiiiSM （3）取极限，求质量的精确值）取极限，求质量的精确值,max21n 取取 niiiiiSM10),(lim 则则4二、对面积的曲面积分的定义二、对面积的曲面积分的定义1.1.定义定义5即即 dSzyxf),(iiiniiSf ),(li

3、m10 叫叫被被积积函函数数，其其中中),(zyxf.叫积分曲面叫积分曲面 积分和积分和对面积的曲面积分又称为第一类曲面积分。对面积的曲面积分又称为第一类曲面积分。（1）对面积的曲面积分具有以下两个主要特征）对面积的曲面积分具有以下两个主要特征 积分和是在曲面积分和是在曲面 上作出的；上作出的； 积分和中的微元素是小块曲面的面积。积分和中的微元素是小块曲面的面积。（2）当）当 光滑，光滑，f (x , y , z) 在在 上连续上连续时，第一类时，第一类曲面积分存在。曲面积分存在。 几点说明：几点说明：6 dSzyxf),( 21),(),(dSzyxfdSzyxf.则则及及可分为分片光滑的曲

4、面可分为分片光滑的曲面若若,21 （3）面密度为）面密度为 (x , y , z) 的空间曲面的空间曲面 ，其质量为，其质量为 dSzyxM),( （4）（5）第一类曲面积分的性质与第一类曲线积分的性质）第一类曲面积分的性质与第一类曲线积分的性质完全相似：线性性质、有限可加性及不等式性质等。完全相似：线性性质、有限可加性及不等式性质等。如不等式性质：如不等式性质： 若在若在 上，上，则则),(),(zyxgzyxf dSzyxgdSzyxf),(),( dSzyxfdSzyxf| ),(|),(|及及7设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(yxfz ,Dxoy 面面上上的的投投影影区区域域为为

5、在在,Dd 设设小小区区域域,),( dyx 点点.),(,(的的切切平平面面上上过过为为yxfyxMS .dsdAdAdsszd 则则有有，为为；截截切切平平面面为为柱柱面面，截截曲曲面面轴轴的的小小于于边边界界为为准准线线，母母线线平平行行以以如图，如图， d),(yxMdAxyzs o 补充：空间曲面的面积补充：空间曲面的面积8,面面上上的的投投影影在在为为xoydAd ,cos dAd,11cos22yxff dffdAyx221,122 DyxdffA 曲面曲面S的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：dxdyAxyDyzxz 22)()(19设曲面的方程为：设曲面的方程

6、为：),(xzhy 曲面面积公式为：曲面面积公式为： .122dzdxAzxDxyzy 设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式为：曲面面积公式为： ;122dydzAyzDzxyx 同理可得同理可得曲面面积公式为：曲面面积公式为：dxdyAxyDyzxz 22)()(1设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(yxfz 10三、第一类曲面积分的计算方法三、第一类曲面积分的计算方法),(:. 1yxzz 若若曲曲面面 dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 xyz0 iS ),(iii 设设 在在 xoy 面上的投影为面上的投影为yxDiS 在在 xoy 面上的投

7、影为面上的投影为yxi)( yxi)( ),(ii ),(iiiz yxidxdyzzSyxi)(221 yxiiiyiixzz)( ),(),(122 yxiii)(),( 其中其中11),(:. 1yxzz 若若曲曲面面 dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 ,)( ),(),(122yxiiiyiixizzS ,)(),(yxiii ),(iiiz dSzyxf),( ),(,lim10iiiniizf yxiiiyiixzz)( ),(),(122 ),(,lim10iiiniizf yxiiiyiixzz)( ),(),(122 yxDyxydxdyxzyxzyxzy

8、xf),(),(1),(,2212 yxDyxydxdyxzyxzyxzyxf),(),(1),(,22),(:. 1yxzz 若若曲曲面面 dSzyxf),(（2）确定）确定 在在 xoyxoy 面上的投影区域面上的投影区域yxD（3）将曲面方程）将曲面方程),(yxzz 及及ydxdyxzyxzSdyx),(),(122 代入代入 dSzyxf),(中即可。中即可。（1）确定）确定 的方程的方程: :);,(yxzz 一投、二代、三换一投、二代、三换13dxdzyyzzxyxfxzDzx 221),(, dSzyxf),(则则.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf

9、),(),(. 3zyxx ：若若曲曲面面则则（4）若）若 是是 xoy 面上的一个闭区域面上的一个闭区域 D 时，则时，则 , 0 z, 0 yxzz dSzyxf),( Ddxdyyxf)0 ,(（5）若）若 f (x , y , z) = 1，则，则 的面积的面积 dS),(. 2zxyy 的方程为的方程为若曲面若曲面14例例1 1积积分分曲曲面面 : yz 5 , 解解投投影影域域 ：25| ),(22 yxyxDxy dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy dszyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2 dd 5020)cos5(2

10、.2125 15解解 依对称性知：依对称性知：被积函数被积函数 | xyz 关于关于 x 和和 y 为偶函数为偶函数 面对称，面对称，和和关于关于积分曲面积分曲面xozyoz xyz dSzyx| dSzyx|4dxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 0, 0, 1| ),(22 yxyxyxDyx dSzyx4为为第第一一卦卦限限中中的的部部分分其其中中 16例例 2 2 计计算算dSxyz |, 其其中中 为为抛抛物物面面 22yxz （10 z）. dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 dSzyx| dd 10222041sincos42 dd 10

11、250412sin22.42015125 dSzyx| dSzyx|4dxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 0, 0, 1| ),(22 yxyxyxDyx dSzyx4为为第第一一卦卦限限中中的的部部分分其其中中 17（1）请注意本题所用到的对称性原理；）请注意本题所用到的对称性原理；（2）本题若不用对称性，会给计算带来什么困难？）本题若不用对称性，会给计算带来什么困难？18 利利用用极极坐坐标标 trxcos , trysin ,rdrrrttrdt 102222041sincos4 drrrtdt21050412sin22 令令241ru duuu251)41(41

12、 .42015125 19例例3 32 3 1 解解 xdS 1xdS 2xdS 3xdS202 3 1 解解 xdS 1xdS 2xdS 3xdS, 0:1 z（1）, yxdddS 1| ),(221 yxyxDyx 1xdS 1yxDyxdxd, 0 （2）, 2:2 xzyxddzzdSyx221 ,2yxdd ,1| ),(222 yxyxDyx 2xdS 22yxDyxddx, 0 例例3 3212 3 1 解解 xdS 1xdS 2xdS 3xdS3 （3）在）在上，上，, 122 yx, 20 xz显然显然3 关于关于 xoz 面对称，面对称，被积函数关于被积函数关于 y 为偶

13、函数，为偶函数，所以所以 3xdS,213 xdS为位于为位于 xoz 面右边的半片面右边的半片31 例例3 322解解 xdS 1xdS 2xdS 3xdS3 （3）在）在上，上，, 122 yx, 20 xz显然显然3 关于关于 xoz 面对称，面对称，被积函数关于被积函数关于 y 为偶函数，为偶函数，所以所以 3xdS,213 xdS为位于为位于 xoz 面右边的半片面右边的半片31 xoz13 即即:31 ,12xy , 11 x, 20 xz例例3 323解解 xdS 1xdS 2xdS 3xdS3 （3）在）在上，上，, 122 yx, 20 xzxoz13 所以所以 3xdS,2

14、13 xdS为位于为位于 xoz 面右边的半片面右边的半片31 即即:31 ,12xy , 11 x, 20 xz例例3 324解解 xdS 1xdS 2xdS 3xdS3 （3）在）在上，上，, 122 yx, 20 xz所以所以 3xdS,213 xdS为位于为位于 xoz 面右边的半片面右边的半片31 即即:31 ,12xy , 11 x, 20 xz, 11| ),(3 xzxDxoz , 20 xz例例3 3xz01 12 xz3xozD25解解 xdS 1xdS 2xdS 3xdS所以所以 3xdS,213 xdS:31 ,12xy , 11| ),(3 xzxDxoz , 20

15、xzdxdzyydSzx221 zdxdx211 3xdS 32112xozDdxdzxx 1120212xdzdxxx, 例例3 326解解 xdS 1xdS 2xdS 3xdS, 021 xdSxdS,3 xdS2 3 1 00 xdS思考题：在计算思考题：在计算 3xdS若不利用对称性，如何计算？若不利用对称性，如何计算？时，时，例例3 327 计计算算 dSx2, 其其中中 是是球球 4222 zyx 的的表表面面. 例例4 4解解xy0z1 方法一：方法一： 关于三个坐标面均对称关于三个坐标面均对称而被积函数关于而被积函数关于 x , y , z 均是偶函数均是偶函数所以有所以有 1

16、228dSxdSx,4:221yxz 0, 0, 4| ),(221 yxyxyxDyxydxdzzdSyx221 ydxdyx2242 dSx2 1222428yxDyddxyxx28 计计算算 dSx2, 其其中中 是是球球 4222 zyx 的的表表面面. 例例4 4,4:221yxz 0, 0, 4| ),(221 yxyxyxDyx dSx2 1222428yxDyddxyxx 1224)cos(28yxDdd 2023024cos162 dd 364 xy0z1 解解29 计计算算 dSx2, 其其中中 是是球球 4222 zyx 的的表表面面. 例例4 4解解xy0z1 方法二：

17、方法二： 坐标轮换坐标轮换 的方程关于的方程关于 x , y , z 对称，故对称，故 dSzdSydSx222 dSx2 dSzyx)(31222 dS431 dS34的面积的面积 34)24(342 364 重要技巧重要技巧：利用曲面方程化简被积函数。：利用曲面方程化简被积函数。30 计计算算dSzyx)(222 , 其其中中 为为内内接接于于球球面面2222azyx 的的八八面面体体azyx |表表面面.例例5 5被被积积函函数数 ),(zyxf222zyx ,解解关关于于坐坐标标面面、原原点点均均对对称称 , 积积分分曲曲面面 也也具具有有对对称称性性 , (其其中中1 表表示示第第一

18、一卦卦限限部部分分曲曲面面)31dxdyzzdSyx221 dxdy3 dSzyx)(222 1)(8222dSzyxdxdyyxayxxyD 3)(8222.324a 计计算算dSzyx)(222 , 其其中中 为为内内接接于于球球面面2222azyx 的的八八面面体体azyx |表表面面.例例5 51 ：azyx , 即即yxaz 解解 (其其中中1 表表示示第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)32作业：习题作业：习题11-4: 3, 7, 8, 1133一、一、 填空题填空题: :1 1、 已知曲面已知曲面 的面的面a积为积为, , 则则 ds10_；2 2、 dszyxf),(= = yzDzyzyxf),),(_dydz；3 3、 设设 为球面为球面2